資源簡介

3.1 函數的概念及其表示（講）
函數的概念
設、是非空的數集,如果按照某種確定的對應關系,使對于集合A中的任意一個數,在集合中都有唯一確定的數和它對應,那么就稱為從集合到集合的一個函數,記作
其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數的定義域;與值相對應的叫做值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。顯然，值域是集合的子集。
函數的三要素（定義域、值域、對應關系）
在中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域，仍然叫做函數值，的取值范圍叫做值域。其中表示的是自變量與函數值的對應關系，該對應關系常體現在解析式中。定義域、值域、對應關系統稱函數的三要素。
考點1 具體函數的定義域
【例1】已知集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得集合后，與集合進行交運算即可.
【詳解】令，
解得，
所以，
又，
故，
故選：B.
【變式1-1】設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據函數式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得.
【詳解】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，
故.
故選:B.
【變式1-2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由被開方數大于等于0及真數大于0計算即可得.
【詳解】要使函數有意義需滿足，解得，則函數的定義域為.
故選：A.
【變式1-3】已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
【答案】
【分析】利用給定的函數有意義，列不等式求解作答.
【詳解】函數的定義域為，則由有意義，
得，解得，即，
所以函數的定義域為.
故答案為：
【變式1-4】函數的定義域是 .
【答案】
【分析】由真數大于零及分母不等于零計算即可得.
【詳解】由題意可得、，故且，
故該函數定義域為.
故答案為：.
考點2 抽象函數的定義域
【例2】已知函數的定義域為，求的定義域 .
【答案】
【分析】根據定義域的意義和括號內取值范圍相同可求得結果.
【詳解】∵的定義域為，即，
∴，
故需，
∴．
∴的定義域為．
故答案為：
【變式2-1】若函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】結合已知條件，利用抽象函數的定義域以及對數、分式的定義域求法求解即可.
【詳解】因為函數的定義域是，
所以對于有：，
解得：且，
故函數的定義域是，
故選：B．
【變式2-2】已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據抽象函數定義域求解即可.
【詳解】因為定義域為，所以的定義域為，解得，
由分母不為，得，即，所以函數定義域為：.
故選：.
【變式2-3】已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定的函數關系，結合抽象函數定義域，列出不等式組求解即得.
【詳解】由函數的定義域為，得，
因此函數中，，解得或，
所以函數的定義域為.
故選：D
考點3 復合函數的定義域
【例3】已知的定義域為，則函數的定義域為
【答案】
【分析】根據函數成立的條件，建立條件關系即可.
【詳解】因為的定義域為，
要使函數有意義，則，
即，解得，
所以定義域為.
故答案為：
【變式3-1】若函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用函數有意義并結合抽象函數的定義域求解作答.
【詳解】由函數的定義域為，即，得，
因此由函數有意義，得，解得，
所以函數的定義域為.
故選：D
【變式3-2】已知函數，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得的定義域，進而求得的定義域.
【詳解】由，解得，所以的定義域為.
令，則，所以的定義域為.
故選：D
【變式3-3】已知函數的定義域為，則函數的定義域是 ．
【答案】
【分析】根據函數解析式列出其需滿足的條件，即可求得答案.
【詳解】由題意知函數需滿足，即，
解得且，即，
故函數的定義域是，
故答案為：
考點4 求函數值
【例4】已知，則 ．
【答案】0
【分析】由解析式直接代入求解即可.
【詳解】因為，
，
所以.
故答案為：0.
【變式4-1】已知函數，則 .
【答案】
【分析】將代入函數解析式中計算即可.
【詳解】因為函數，
所以，
故答案為：.
【變式4-2】已知函數，則
【答案】
【分析】先求出并判斷是否大于1，再代入求解即可.
【詳解】，
所以，
故答案為：
【變式4-3】已知函數，則 .
【答案】7
【分析】根據解析式代入即可求解.
【詳解】因為，所以.
故答案為：7
考點5 求函數值域
【例5】若，則函數的值域是 .
【答案】
【分析】先將函數變形為，再利用基本不等式求最值即可求得函數的值域.
【詳解】∵.
當時，，
當且僅當，即時取等號；
故函數的值域為.
故答案為：.
【變式5-1】求函數的值域．
【答案】
【分析】先分離常數，再分類討論與，結合換元法與對勾函數的性質即可得解.
【詳解】，
當時，，
當時，，
令，則，，
所以，
由對勾函數的值域可知，當時，，
所以，
所以．
綜上所述，函數的值域為．
【變式5-2】已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求解出時的值域，然后根據分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當時，，此時，
當且時，，
此時，且，所以不滿足；
當且時，，
由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，此時，
若要滿足的值域為，只需要，解得；
當且時，因為均在上單調遞增，
所以在上單調遞增，且時，，時，，
所以此時，此時顯然能滿足的值域為；
綜上可知，的取值范圍是，
故答案為：.
【變式5-3】函數的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用換元法以及直線斜率的幾何意義、直線與圓的位置關系進行求解.
【詳解】依題意且，所以函數的定義域為.
設，，則，，其幾何含義表示點與的斜率，為圓弧上一動點，
如圖，當為圓弧為右端點時，斜率最小，最小值為，
當與圓弧相切時，直線的斜率存在且最大，設，即，
則圓心到直線的距離，即，如圖，顯然，所以.
所以函數的值域為.
故選：C.

考點6 判斷函數是否相等
【例6】下列各組函數中表示同一函數的是（　　）
A．與
B．與
C．與
D．與
【答案】D
【分析】根據相等函數的定義域和對應關系相同依次討論各選項即可得答案.
【詳解】對于A選項，定義域為，的定義域為，故不滿足條件；
對于B選項，定義域為，的定義域為，，故不滿足條件；
對于C選項，定義域為，的定義域為，故不滿足條件；
對于D選項，與定義域相同，對應關系相同，故滿足條件．
故選：D．
【變式6-1】以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
【答案】B
【分析】根據相同函數的定義，逐個判斷即可.
【詳解】從定義域，對應關系，值域是否相同，逐項判斷即可．
對于A：的值域為，的值域為，所以A錯誤；
對于B：的定義域需滿足，即為，
的定義域滿足，即為，且，
所以和是同一個函數，B正確；
對于C：的定義域為，的定義域為，所以C錯誤；
對于D：的定義域滿足，即為，
的定義域需滿足，即為，所以D錯誤，
故選：B
【變式6-2】下列各組函數表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判斷函數的定義域是否相同，再在定義域基礎上，化解解析式是否一致即可.
【詳解】對于A，，定義域和對應法則不一樣，故不為同一函數；
對于B，，定義域不同，故不為同一函數；
對于C，，定義域和對應法則均相同，故為同一函數：
對于D，，定義域不同，故不為同一函數．
故選：C．
【變式6-3】下列各組函數表示相等函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【分析】根據相等函數的定義即可求解.
【詳解】由題知：
對于A：的定義域為，
的定義域為，兩者的定義域不同，不是相等函數.故A選項錯誤；
對于B：，其定義域為，
的定義域為，兩者定義域相同對應法則相同，所以是相等函數.
故B選項正確；
對于C：與對應法則不同，不是相等函數.故C選項錯誤；
對于D：的定義域為，
的定義域為或，
兩者的定義域不同，不是相等函數.
故D選項錯誤；
故選：B.
考點7 求函數解析式
【例7】已知，則=（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用換元法求解函數解析式，即可得答案.
【詳解】令，則 ，則，
所以，
故選：D.
【變式7-1】已知，那么 ．
【答案】
【分析】利用解方程組法求解即可.
【詳解】∵，，
∴．
聯立方程組，
解得．
故答案為：.
【變式7-2】已知滿足，則 ．
【答案】
【分析】利用方程組法即可得解.
【詳解】因為，所以，
聯立，解得.
故答案為：.
【變式7-3】已知二次函數滿足，且．求的解析式；
【答案】
【分析】由題意設，再由已知得，根據多項式相等列方程求參即可.
【詳解】由，設，
由，則，
整理得，則，解得．
所以．3.1 函數的概念及其表示（講）
函數的概念
設、是非空的數集,如果按照某種確定的對應關系,使對于集合A中的任意一個數,在集合中都有唯一確定的數和它對應,那么就稱為從集合到集合的一個函數,記作
其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數的定義域;與值相對應的叫做值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。顯然，值域是集合的子集。
函數的三要素（定義域、值域、對應關系）
在中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域，仍然叫做函數值，的取值范圍叫做值域。其中表示的是自變量與函數值的對應關系，該對應關系常體現在解析式中。定義域、值域、對應關系統稱函數的三要素。
考點1 具體函數的定義域
【例1】已知集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
【變式1-4】函數的定義域是 .
考點2 抽象函數的定義域
【例2】已知函數的定義域為，求的定義域 .
【變式2-1】若函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
考點3 復合函數的定義域
【例3】已知的定義域為，則函數的定義域為
【變式3-1】若函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知函數，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】已知函數的定義域為，則函數的定義域是 ．
考點4 求函數值
【例4】已知，則 ．
【變式4-1】已知函數，則 .
【變式4-2】已知函數，則
【變式4-3】已知函數，則 .
考點5 求函數值域
【例5】若，則函數的值域是 .
【變式5-1】求函數的值域．
【變式5-2】已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【變式5-3】函數的值域為（ ）
A． B．
C． D．
考點6 判斷函數是否相等
【例6】下列各組函數中表示同一函數的是（　　）
A．與
B．與
C．與
D．與
【變式6-1】以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
【變式6-2】下列各組函數表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】下列各組函數表示相等函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
考點7 求函數解析式
【例7】已知，則=（ ）．
A． B．
C． D．
【變式7-1】已知，那么 ．
【變式7-2】已知滿足，則 ．
【變式7-3】已知二次函數滿足，且．求的解析式；

展開更多......

收起↑