資源簡介

3.2 函數(shù)的性質(zhì)
（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）
函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
(3)函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
單調(diào)性的常見運(yùn)算
單調(diào)性的運(yùn)算
①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗
②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘
③為↗，則為↘，為↘
④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗
⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘
⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
奇偶性
①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（大前提）
②奇偶性的定義：
奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱
③奇偶性的運(yùn)算
周期性（差為常數(shù)有周期）（拓展）
①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）
對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）（拓展）
軸對稱
①若，則的對稱軸為
②若，則的對稱軸為
點(diǎn)對稱
①若，則的對稱中心為
②若，則的對稱中心為
周期性對稱性綜合問題（拓展）
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對稱性綜合問題（拓展）
①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：
②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：
考點(diǎn)1 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間
【例1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
【答案】.
【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】令且其對稱軸為，且，
的單調(diào)減區(qū)間是， 又∵在上是增函數(shù)，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：.
【變式1-1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【答案】
【分析】作出的圖像，根據(jù)圖像即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到或，
函數(shù)的圖像如圖所示，
由圖知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故答案為：.

【變式1-2】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”可得答案.
【詳解】由得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在時單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：.
【變式1-3】已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性結(jié)合圖象平移分析求解.
【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度得到，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求學(xué)生了解函數(shù)圖象的平移與單調(diào)性和奇偶性的綜合關(guān)系．
考點(diǎn)2 由單調(diào)性解不等式
【例2】函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)將不等式等價變形，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式即可求解.
【詳解】由為奇函數(shù)，得，
所以不等式等價于.
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，即.
故選：A
【變式2-1】設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：∵奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
∴在上為增函數(shù)，，
則不等式等價為不等式，即.
∴當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；
當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；
∴不等式的解集為.
故選：B.
【變式2-2】若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，不等式變形為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
求出在上單調(diào)遞增，且，分與兩種情況進(jìn)行求解，得到答案.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，則，故，
當(dāng)時，則，故，
綜上：的解集為.
故選：B
【變式2-3】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，變換得到，解不等式即可.
【詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即，故，解得.
故選：A.
考點(diǎn)3 由奇偶性求參數(shù)值
【例3】已知是奇函數(shù)，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性由化簡代入計(jì)算可解得.
【詳解】由函數(shù)可知其定義域?yàn)椋?br/>所以.
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
即，解得.
故答案為：
【變式3-1】若為偶函數(shù)，則 .
【答案】2
【分析】由誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得，解出a，驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，
所以.
故答案為：2.
【變式3-2】若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算化簡可得.
【詳解】的定義域?yàn)镽，
，
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以，
所以恒成立，故，即.
故答案為：
【變式3-3】函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，即可求解，再代入函數(shù)解析式求值.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，
所以，解得，
則.
故答案為：1
考點(diǎn)4 由奇偶性求解析式
【例4】為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時， ．
【答案】
【分析】由時，得到，從而，再利用為定義在上的奇函數(shù)求解.
【詳解】解：當(dāng)時，，
則，
因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，
所以．
故答案為：
【變式4-1】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時， ．
【答案】
【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解，注意當(dāng)時要單調(diào)獨(dú)驗(yàn)證.
【詳解】解：當(dāng)，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，
所以，解得，
又，所以當(dāng)．
故答案為：.
【變式4-2】已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，.則當(dāng)時， .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求對稱區(qū)間的解析式即可.
【詳解】函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，.
則當(dāng)時，，所以.
故答案為：.
【變式4-3】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則 ．
【答案】
【分析】由奇函數(shù)定義計(jì)算即可.
【詳解】由函數(shù)是上的奇函數(shù)，得，
而當(dāng)時，，
所以有，
綜上所述，，
故答案為：
考點(diǎn)5 由奇偶性解不等式
【例5】若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析函數(shù)在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋煽傻茫瑒t，解得，
因此，滿足的的取值范圍是.
故選：C.
【變式5-1】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件可求得時的解析式，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)繼而可求得當(dāng)時的解析式，分情況解出不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，則，
則，所以，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則，
則當(dāng)時，不等式為，
解得，
當(dāng)時，不等式為，
解得，
故不等式的解集為，
故選：A.
【變式5-2】已知是偶函數(shù)，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題意可得或的解集，再分和兩種情況求不等式的解集.
【詳解】由題意可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，則，由已知可得，解得，又，所以；
當(dāng)時，，則，
由已知可得或，解得或，又，所以.
綜上，可得不等式的解集為.
故選：A
【變式5-3】在上滿足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性化簡不等式，結(jié)合函數(shù)的定義域求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴.
∵，∴.
∴，解得，
∴的取值范圍是.
故答案為：.
考點(diǎn)6 由周期性求函數(shù)值
【例6】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分析可知的圖象關(guān)于直線對稱，是以8為周期的周期函數(shù)，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因?yàn)椋芍膱D象關(guān)于直線對稱，
且是定義在上的奇函數(shù)，
則，且，
即，
可知是以8為周期的周期函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時，，可得，
則
.
故選：C.
【變式6-1】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)在上的奇函數(shù)，且，得到的周期為4求解.
【詳解】解：因?yàn)樵谏系钠婧瘮?shù)，且，
所以，即，
所以，則的周期為，
所以，
故選：A
【變式6-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋簦瑒t（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用賦值法對進(jìn)行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.
【詳解】令，得，即，
令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得與已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函數(shù)的周期為4.
.
故選：A.
【變式6-3】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（ ）
A．2024 B． C． D．0
【答案】D
【分析】根據(jù)表達(dá)式得出規(guī)律，即可求出的值.
【詳解】由題意，
在中， 定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，
即
當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，解得：，
……函數(shù)值周期性變化，周期為3，
∵，
可得：
，
故選：D.
考點(diǎn)7 由對稱性求函數(shù)問題
【例7】已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由條件結(jié)合圖象平移得到的圖象，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到，
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則其圖象關(guān)于軸對稱，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
又在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，
又，則有，
當(dāng)，即時，需，
解得或；
當(dāng)，即時，需，無解；
綜上，不等式的解集為.
故選：D
【變式7-1】已知，則（ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【答案】D
【分析】先得到，然后利用倒序相加來求和即可.
【詳解】，
即
設(shè)①，
則②
①+②得
，
所以，
又，
所以.
故選：D.
【變式7-2】已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且滿足，，，給出以下四個命題：
①；
②；
③；
④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用賦值法推出，判斷①，利用賦值法得，結(jié)合，可判斷②；利用賦值法結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出，判斷③，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的對稱性可判斷④.
【詳解】對于，令，則，
即，①錯誤；
令，則，即，
而對于，令，則，矛盾，
故②錯誤；
由題意知，，
令，則，
令，則，
故，③錯誤；
又可得，
設(shè)，則，
即，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，④正確，
故選：B
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是④的判斷，解答時要根據(jù)已知等式進(jìn)行變形為，從而設(shè)，可得，即可判斷其正誤.
【變式7-3】定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，
則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
則，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
當(dāng)時，，
作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數(shù)在上的圖象與函數(shù)的圖象共有個交點(diǎn)，
且這個交點(diǎn)有三對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，
因此，函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過其對稱性和奇偶性得到其周期性，再作出兩函數(shù)圖象則得到交點(diǎn)個數(shù).
考點(diǎn)8 函數(shù)的性質(zhì)綜合問題
【例8】已知定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則方程所有根之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于點(diǎn)對稱，分別畫出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖像，利用交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于對稱即可求得所有根之和.
【詳解】因?yàn)椋缘膱D像關(guān)于點(diǎn)對稱，
又因?yàn)椋瑒t用替換得，，
所以的圖像關(guān)于直線對稱.由得，，則，所以是以為一個周期的周期函數(shù).
又當(dāng)時，，則在恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)榉匠痰母礊榈母礊榈膱D像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，在直線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以由數(shù)形結(jié)合得，的圖像與直線在區(qū)間上有個交點(diǎn)，所以由圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，得方程所有根之和為.
故選：B.
【變式8-1】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函數(shù)的定義和單調(diào)性的性質(zhì)，即可求解不等式．
【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，時，單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
不等式，則
當(dāng)時，有，即或，解得或，又，；
當(dāng)時，有，即或，又，解得；
綜上，不等式的解集為.
故選：C.
【變式8-2】已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若，其中，則當(dāng)取最小值時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知可得周期，利用周期性和對稱性，結(jié)合可得，然后妙用“1”求最值，根據(jù)最值取得條件即可得a，然后可得答案.
【詳解】根據(jù)可得的圖象關(guān)于對稱，
因?yàn)椋裕?br/>的周期為4，
，，，
，，
，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
．
故選：D．
【變式8-3】已知函數(shù)是定義域?yàn)榍抑芷跒?的奇函數(shù)，當(dāng)時，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
C．的最大值為 D．函數(shù)有8個零點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)條件，對各個選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】對于選項(xiàng)A，由于是定義域?yàn)榍抑芷跒?的奇函數(shù)，故，，
同理，+，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)槭侵芷跒?的函數(shù)，故也是周期為4的函數(shù)，
當(dāng)時，，
所以時，，故，
得到時，，
當(dāng)時，，，
得到時，，
則當(dāng)時，， ，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
則當(dāng)時，，
所以，，
易知，也是周期為4的周期函數(shù)，函數(shù)圖像如圖所示，在x處有最大值，
故，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)B，由圖像知，對稱軸為，
易知，k＝1時，，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)D，畫出與的圖像，
因?yàn)闀r，，時，；時，；時，，
如圖所示，y＝g(x)與y共由9個交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯誤．
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的周期性，從而得出的圖像，利用圖像，數(shù)形結(jié)合來解決問題.3.2 函數(shù)的性質(zhì)
（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）
函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
(3)函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
單調(diào)性的常見運(yùn)算
單調(diào)性的運(yùn)算
①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗
②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘
③為↗，則為↘，為↘
④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗
⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘
⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
奇偶性
①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（大前提）
②奇偶性的定義：
奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱
③奇偶性的運(yùn)算
周期性（差為常數(shù)有周期）（拓展）
①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）
對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）（拓展）
軸對稱
①若，則的對稱軸為
②若，則的對稱軸為
點(diǎn)對稱
①若，則的對稱中心為
②若，則的對稱中心為
周期性對稱性綜合問題（拓展）
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對稱性綜合問題（拓展）
①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：
②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：
考點(diǎn)1 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間
【例1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
【變式1-1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【變式1-2】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
【變式1-3】已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ．
考點(diǎn)2 由單調(diào)性解不等式
【例2】函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)3 由奇偶性求參數(shù)值
【例3】已知是奇函數(shù)，則 .
【變式3-1】若為偶函數(shù)，則 .
【變式3-2】若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【變式3-3】函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
考點(diǎn)4 由奇偶性求解析式
【例4】為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時， ．
【變式4-1】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時， ．
【變式4-2】已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，.則當(dāng)時， .
【變式4-3】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則 ．
考點(diǎn)5 由奇偶性解不等式
【例5】若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】已知是偶函數(shù)，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】在上滿足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是 .
考點(diǎn)6 由周期性求函數(shù)值
【例6】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（ ）
A．3 B．0 C． D．
【變式6-1】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．0 B． C． D．3
【變式6-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋簦瑒t（ ）
A． B． C．2 D．4
【變式6-3】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（ ）
A．2024 B． C． D．0
考點(diǎn)7 由對稱性求函數(shù)問題
【例7】已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】已知，則（ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【變式7-2】已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且滿足，，，給出以下四個命題：
①；
②；
③；
④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式7-3】定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)8 函數(shù)的性質(zhì)綜合問題
【例8】已知定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則方程所有根之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若，其中，則當(dāng)取最小值時，（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】已知函數(shù)是定義域?yàn)榍抑芷跒?的奇函數(shù)，當(dāng)時，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
C．的最大值為 D．函數(shù)有8個零點(diǎn)

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