資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程（組）與不等式（組）
第三節 分式方程及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式方程的解法 ☆☆ 中考中本考點考查內容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數、二次函數結合考察，年年考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將繼續考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．
考點2 分式方程的增根或無解 ☆
考點3分式方程的應用 ☆☆☆
1．分式方程的概念： 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程轉化為整式方程．
(2)基本方法和步驟：①去分母：在方程兩邊同時都乘 轉化為整式方程；②解這個整式方程；③檢驗：把求得的根代入 ，使 的就是原方程的根，使最簡公分母＝0的就是增根，應舍去．有時需要把求得的根代入原分式方程左右兩邊進行檢驗．
（3）分式方程的增根：解分式方程時，把分式方程轉化為整式方程這一過程中，產生了使原分式方程的最簡公分母等于0的未知數的值，稱為增根．
（4）分式方程的無解：分式方程無解有兩種可能的情況：(1)去分母后的整式方程無解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最簡公分母為0，分式方程也無解
3．分式方程的應用：
（1）列分式方程解應用題的一般步驟：審(審清題意)、設(設未知數)、找(找相等關系)、列(列方程)、解(解出這個方程)、驗(既要檢驗所得的根是否是所列分式方程的根，又要檢驗這個根是否符合題意)、答(寫出答案)．
（2）常見類型及數量關系
■考點一　解分式方程
◇典例1：（2023 西湖區二模）解分式方程：
小明同學是這樣解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括號，得：x+4＝3x﹣6．
移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣10．
兩邊同時除以﹣2，得：x＝5．
經檢驗，x＝5是原方程的解．
小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
◆變式訓練
1．（2022 余杭區一模）把分式方程去分母后化為整式方程為（　　）
A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣1
2．（2022 北侖區一模）方程的解為 　　．
3．（2022 仙居縣二模）解方程：．
4．（2022 定海區一模）閱讀下列解題過程．
解方程：．
解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2），
方程兩邊化簡，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）
去括號，移項，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0
解這個方程，得x＝2
∴x＝2是原方程的解．
你認為此解法是否正確？若不正確，請寫正確的解題過程．
■考點二 分式方程的解
◇典例2：（2023 日照）若關于x的方程的解為正數，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞ B．m＜
C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠
◆變式訓練
1．（2023 齊齊哈爾）如果關于x的分式方程的解是負數，那么實數m的取值范圍是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
2．（2021 浙江模擬）已知關于x的方程無解，則m的值為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
■考點三 分式方程的應用
◇典例3：（2023 樂清市模擬）1月份，甲、乙兩商店從批發市場購進了相同單價的某種商品，甲商店用1050元購進的商品數量比乙商店用1260元購進的數量少10件．
（1）求該商品的單價；
（2）2月份，兩商店以單價a元/件（低于1月份單價）再次購進該商品，購進總價均不變．
①試比較兩家商店兩次購進該商品的平均單價的大小．
②已知a＝15，甲商店1月份以每件30元的標價售出了一部分，剩余部分與2月份購進的商品一起售賣，2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數量的一半，第二次在第一次基礎上再降價2元全部售出，兩個月的總利潤為1050元，求甲商店1月份可能售出該商品的數量．
◆變式訓練
1．（2023 鄖陽區模擬）《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天，如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間．設規定時間為x天，則可列方程為（　　）
A．900（x+1）×2＝900（x﹣3） B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2
C．90（x+1）×2＝900（x+3） D．900（x+1）＝900（x+3）×2
2．（2023 縉云縣二模）“我市為處理污水，需要鋪設一條長為4000米的管道，為了盡量減少施工對交通所造成的影響，實際施工時每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成任務．”根據題意可得方程，則方程中x表示（　　）
A．實際每天鋪設管道的長度 B．實際施工的天數
C．原計劃每天鋪設管道的長度 D．原計劃施工的天數
3．（2022 北侖區二模）新華書店決定用不多于28000元購進甲乙兩種圖書共1200本進行銷售，已知甲種圖書進價是乙種圖書每本進價的1.4倍，若用1680元購進甲種圖書的數量比用1400元購進的乙種圖書的數量少10本．
（1）甲乙兩種圖書的進價分別為每本多少元？
（2）新華書店決定甲種圖書售價為每本40元，乙種圖書售價每本30元，問書店應如何進貨才能獲得最大利潤？（購進的兩種圖書全部銷售完）
1．（2023 義烏市模擬）若分式的值為1，則x的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
2．（2022 永嘉縣三模）解方程，以下去分母正確的是（　　）
A．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5 B．x2﹣3x﹣x2+3＝5
C．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5（x﹣2） D．x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2）
3．（2022 寧波一模）分式方程的解為（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
4．（2022 麗水一模）在如下解分式方程的4個步驟中，根據等式基本性質的是（　　）
x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5．（2022 麗水）某校購買了一批籃球和足球．已知購買足球的數量是籃球的2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貴30元．根據題意可列方程，則方程中x表示（　　）
A．足球的單價 B．籃球的單價 C．足球的數量 D．籃球的數量
6．（2021 舟山）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊買了兩種價格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費30元，熒光棒共花費40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價是熒光棒的1.5倍．若設熒光棒的單價為x元，根據題意可列方程為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 仙居縣二模）某店有某商品現打8折，用320元購買該商品，打折后比打折前可以多買1件．設原價為x元，則根據題意可列出方程（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 蕭山區一模）如圖，邊長為a的大正方形剪去4個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋紙盒．若無蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，則根據題意可知a，x滿足的關系式為（　　）
A． B． C． D．
9．（2022 金華）若分式的值為2，則x的值是 　　．
10．（2023 紹興）方程的解是 　　．
11．（2023 南湖區模擬）分式方程：的解是 　　．
12．（2023 上城區二模）現有甲、乙兩種糖混合而成的什錦糖50千克，兩種糖的千克數和單價如表．商店以糖果的平均價格作為什錦糖的單價，要使什錦糖的單價每千克提高1元，需加入甲種糖 　10　千克．
甲種糖果 乙種糖果
千克數 20 30
單價（元/千克） 25 15
13．（2022 寧波）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a b＝．若（x+1） x＝，則x的值為 　　．
14．（2023 鄞州區校級一模）如果關于x的方程無解，則a的值為　　．
15．（2023 慈溪市一模）對于實數x，y（x≠y），我們定義運算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．則方程F（x，1）＝2的解為 　　．
16．（2023 浙江）小丁和小迪分別解方程過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
17．（2022 嘉興）解方程：．
18．（2022 柯城區二模）解分式方程：．
19．（2022 衢州）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產車．
燃油車 油箱容積：40升 油價：9元/升 續航里程：a千米 每千米行駛費用：元 新能源車 電池電量：60千瓦時 電價：0.6元/千瓦時 續航里程：a千米 每千米行駛費用：_____元
（1）用含a的代數式表示新能源車的每千米行駛費用．
（2）若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．
①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．
②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新能源車的年費用更低？（年費用＝年行駛費用+年其它費用）
20．（2023 溫州一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計獎品購買及兌換方案？
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數量比用160元購買鋼筆的數量多8件．
素材2 某學校花費400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”， 兩種獎品的購買數量均不少于20件，且購買筆記本的數量是10的倍數．
素材3 學校花費400元后，文具店贈送m張（1＜m＜10）兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數量相同．
問題解決
任務1 探求商品單價 請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務2 探究購買方案 探究購買鋼筆和筆記本數量的所有方案．
任務3 確定兌換方式 運用數學知識，確定一種符合條件的兌換方式．
1．（2023 海南）分式方程的解是（　　）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5
2．（2023 淄博）已知x＝1是方程的解，那么實數m的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3．（2021 湖州模擬）解分式方程時，去分母正確的是（　　）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2 B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝2
4．（2023 黑龍江）已知關于x的分式方程的解是非負數．則m的取值范圍是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
5．（2023 鹿城區校級二模）某校購買了一批籃球和足球，購買的籃球和足球的數量相同，其中足球花費2000元，籃球花費3500元，已知籃球單價比足球貴30元．設足球的單價為x元．則下列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 新昌縣模擬）為迎接亞運，某校購買了一批籃球和足球，已知購買足球的數量是籃球的2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貴30元，根據題意可列方程，則方程中關于x的含義理解正確的是（　　）
A．籃球有x個 B．每個籃球x元 C．足球有x個 D．每個足球x元
7．（2023 椒江區一模）“杭臺高鐵”臺州至杭州鐵路長為236千米，從臺州到杭州乘某趟“G”字頭列車比乘某趟“D”字頭列車少用15分鐘，“G”字頭列車比“D”字頭列車每小時多行駛40千米，設“G”字頭列車速度為每小時x千米，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 無錫）分式方程有增根，則m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
9．（2021 杭州模擬）若實數x滿足，則的值為（　　）
A．3 B．0 C．3或0 D．±3
10．（2021 蕭山區模擬）若分式的值等于﹣1，則x＝　　．
11．（2022 嵊州市模擬）分式方程的解為 　　．
12．（2021 西湖區校級二模）當x＝　0　時，代數式與的值相等．
13．（2023 寧波模擬）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a b＝．若（x﹣1） （x+1）＝，則x的值為 　　．
14．（2023 路橋區一模）定義一種新運算，當a≠b時，．若2※x＝4，則x＝　　．
15．（2021 杭州模擬）若關于x的分式方程無解，則a的值為 　　．
16．（2021 湖州）解分式方程：．
17．（2023 金華模擬）解方程：．
18．（2022 玉環市一模）解方程：．
19．（2023 濱江區模擬）小輝在解一道分式方程的過程如下：
方程整理，得，
去分母，得x﹣1﹣1＝3x﹣4，
移項，合并同類項，得x＝1，
檢驗，經檢驗x＝1是原來方程的根．
小輝的解答是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
20．（2022 鎮海區二模）4月23日是“世界讀書日”，寧波某學校為了更好地營造讀書好、好讀書、讀好書的書香校園．學校圖書館決定去選購甲、乙兩種圖書．已知甲圖書每本價格是乙圖書每本價格的2.5倍，用800元單獨購買甲圖書比用800元單獨購買乙圖書要少24本．
（1）甲、乙兩種圖書每本價格分別為多少元？
（2）如果學校圖書館計劃購買乙圖書的本數比購買甲圖書本數的2倍多8本，且用于購買甲、乙兩種圖書的總經費不超過1060元，那么該學校圖書館最多可以購買甲和乙圖書共多少本？
21．（2023 舟山模擬）某歐洲客商準備采購一批特色商品，下面是一段對話：
（1）根據對話信息，求一件A，B型商品的進價分別為多少元；
（2）若該歐洲客商購進A，B型商品共160件進行試銷，其中A型商品的件數不大于B型商品的件數，且不小于78件，已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件，且全部售出，則共有哪幾種進貨方式？
（3）在第（2）問的條件下，哪種進貨方式利潤最大，并求出最大利潤．
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第二章 方程（組）與不等式（組）
第三節 分式方程及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式方程的解法 ☆☆ 中考中本考點考查內容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數、二次函數結合考察，年年考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將繼續考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．
考點2 分式方程的增根或無解 ☆
考點3分式方程的應用 ☆☆☆
1．分式方程的概念： 分母中含有未知數的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程轉化為整式方程．
(2)基本方法和步驟：①去分母：在方程兩邊同時都乘 最簡公分母轉化為整式方程；②解這個整式方程；③檢驗：把求得的根代入 最簡公分母，使最簡公分母≠0的就是原方程的根，使最簡公分母＝0的就是增根，應舍去．有時需要把求得的根代入原分式方程左右兩邊進行檢驗．
（3）分式方程的增根：解分式方程時，把分式方程轉化為整式方程這一過程中，產生了使原分式方程的最簡公分母等于0的未知數的值，稱為增根．
（4）分式方程的無解：分式方程無解有兩種可能的情況：(1)去分母后的整式方程無解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最簡公分母為0，分式方程也無解
3．分式方程的應用：
（1）列分式方程解應用題的一般步驟：審(審清題意)、設(設未知數)、找(找相等關系)、列(列方程)、解(解出這個方程)、驗(既要檢驗所得的根是否是所列分式方程的根，又要檢驗這個根是否符合題意)、答(寫出答案)．
（2）常見類型及數量關系
■考點一　解分式方程
◇典例1：（2023 西湖區二模）解分式方程：
小明同學是這樣解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括號，得：x+4＝3x﹣6．
移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣10．
兩邊同時除以﹣2，得：x＝5．
經檢驗，x＝5是原方程的解．
小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝1．
【點撥】根據解分式方程的步驟計算即可．
【解析】解：有錯誤．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括號，得：x﹣4＝3x﹣6，
移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣2，
兩邊同時除以﹣2，得：x＝1．
經檢驗，x＝1是原方程的解．
【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解答本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 余杭區一模）把分式方程去分母后化為整式方程為（　　）
A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣1
【考點】解分式方程．
【答案】C
【點撥】分式方程變形后，兩邊同乘（x﹣2）去分母化為整式方程，判斷即可．
【解析】解：分式方程去分母得：3＝x﹣2+1．
故選：C．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
2．（2022 北侖區一模）方程的解為 　x＝﹣5　．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝﹣5．
【點撥】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：2x+4＝x﹣1，
解得：x＝﹣5，
檢驗：把x＝﹣5代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解為x＝﹣5．
故答案為：x＝﹣5．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
3．（2022 仙居縣二模）解方程：．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝2．
【點撥】按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
【解析】解：，
x﹣x2＝x（x﹣3），
解得：x＝0或x＝2，
檢驗：當x＝0時，x（x﹣2）＝0，
∴x＝0是原方程的增根，
當x＝2時，x（x﹣3）≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．
4．（2022 定海區一模）閱讀下列解題過程．
解方程：．
解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2），
方程兩邊化簡，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）
去括號，移項，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0
解這個方程，得x＝2
∴x＝2是原方程的解．
你認為此解法是否正確？若不正確，請寫正確的解題過程．
【考點】解分式方程；分式的混合運算．
【答案】x＝．
【點撥】不正確，寫出正確的解題過程即可．
【解析】解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）+4x＝﹣2（x+2），
去括號得：x﹣2+4x＝﹣2x﹣4，
移項合并得：7x＝﹣2，
解得：x＝，
檢驗：把x＝代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解為x＝．
【點睛】此題考查了解分式方程，以及分式的混合運算，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關鍵．
■考點二 分式方程的解
◇典例2：（2023 日照）若關于x的方程的解為正數，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞ B．m＜
C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠
【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】D
【點撥】先解分式方程，根據分式方程的解為正數和分式方程無意義的情況，即可得出m的取值范圍．
【解析】解：，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝，
∵分式方程的解為正數，
∴4﹣3m＞0且，
∴m＜且m≠．
故選：D．
【點睛】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 齊齊哈爾）如果關于x的分式方程的解是負數，那么實數m的取值范圍是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】D
【點撥】解含參的分式方程，結合已知條件及分式有意義的條件求得m的取值范圍即可．
【解析】解：將分式方程兩邊同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移項，合并同類項得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是負數，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故選：D．
【點睛】本題考查根據含參分式方程解的情況確定參數的取值范圍，特別注意解得的分式方程的解不能使最簡公分母為0．
2．（2021 浙江模擬）已知關于x的方程無解，則m的值為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考點】分式方程的解．
【答案】C
【點撥】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．
【解析】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m，
∵分式方程無解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：1+m＝3，
解得：m＝2，
故選：C．
【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程無解的條件是解本題的關鍵．
■考點三 分式方程的應用
◇典例3：（2023 樂清市模擬）1月份，甲、乙兩商店從批發市場購進了相同單價的某種商品，甲商店用1050元購進的商品數量比乙商店用1260元購進的數量少10件．
（1）求該商品的單價；
（2）2月份，兩商店以單價a元/件（低于1月份單價）再次購進該商品，購進總價均不變．
①試比較兩家商店兩次購進該商品的平均單價的大小．
②已知a＝15，甲商店1月份以每件30元的標價售出了一部分，剩余部分與2月份購進的商品一起售賣，2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數量的一半，第二次在第一次基礎上再降價2元全部售出，兩個月的總利潤為1050元，求甲商店1月份可能售出該商品的數量．
【考點】分式方程的應用．
【答案】（1）該商品的單價為21元；
（2）①甲的平均單價等于乙的平均單價；②26或28．
【點撥】（1）設該商品的單價為x元，根據商店用1050元購進的商品數量比乙商店用1260元購進的數量少10件列出方程求解即可；
（2）①分別求出甲、乙兩次一共購買的商品數量，進而求出甲、乙的平均單價，然后比較大小即可；②先求出甲商品一月份一共購進的商品數量為50件 二月份甲購進的商品數量為70件，設一月份售出m件，二月份第一次售出n件，則二月份第二次售出（120﹣m﹣n）件，再根據銷售額＝成本+利潤列出方程推出，再由m、n都是正整數，得到m＜30，由2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數量的一半，得到m≥25，進而得到25≤m＜30且m是正整數，再由也是正整數，得到m必須是偶數，即m的值為26或28．
由題意得，30m+30×0.9n+（30×0.9﹣2）（120﹣m﹣n）＝1050+1050+1050，
【解析】解：（1）設該商品的單價為x元，
由題意得，，
解得x＝21，
經檢驗，x＝21是原方程的解，
∴該商品的單價為21元；
（2）①由題意得，甲兩次一共購買的商品數量為件，乙兩次一共購買的商品數量為，
∴甲的平均單價為＝，乙的平均單價為＝，即＝，
∴甲的平均單價等于乙的平均單價；
②甲商品一月份一共購進的商品數量為件
當a＝15時，則二月份甲購進的商品數量為件，
設一月份售出m件，二月份第一次售出n件，則二月份第二次售出50+70﹣m﹣n＝（120﹣m﹣n）件，
由題意得，30m+30×0.9n+（30×0.9﹣2）（120﹣m﹣n）＝1050+1050+1050，
∴30m+27n+3000﹣25m﹣25n＝3150，
∴5m+2n＝150；
∴，
∵m、n都是正整數，
∴150﹣5m＞0，
∴m＜30，
∵2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數量的一半，
∴，
∴，
∴m≥25，
∴25≤m＜30且m是正整數，
又∵也是正整數，
∴m必須是偶數，
∴m的值為26或28．
【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，分式混合計算的實際應用，二元一次方程的解，一元一次不等式組的實際應用，正確理解題意找到等量關系和不等式關系是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 鄖陽區模擬）《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天，如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間．設規定時間為x天，則可列方程為（　　）
A．900（x+1）×2＝900（x﹣3） B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2
C．90（x+1）×2＝900（x+3） D．900（x+1）＝900（x+3）×2
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】B
【點撥】首先設規定時間為x天，則快馬所需的時間為（x﹣3）天，慢馬所需的時間為（x+1）天，由題意得等量關系：慢馬速度×2＝快馬速度，根據等量關系，可得方程．
【解析】解：設規定時間為x天，則快馬所需的時間為（x﹣3）天，慢馬所需的時間為（x+1）天，由題意得：
，
即900（x+1）＝900（x﹣3）×2，
故選：B．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．
2．（2023 縉云縣二模）“我市為處理污水，需要鋪設一條長為4000米的管道，為了盡量減少施工對交通所造成的影響，實際施工時每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成任務．”根據題意可得方程，則方程中x表示（　　）
A．實際每天鋪設管道的長度 B．實際施工的天數
C．原計劃每天鋪設管道的長度 D．原計劃施工的天數
【考點】分式方程的應用．
【答案】A
【點撥】根據方程中的實際意義求解即可．
【解析】解：由方程可得，
方程中x表示實際每天鋪設管道的長度．
故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應用題，能正確分析題目中的等量關系是解題的關鍵．
3．（2022 北侖區二模）新華書店決定用不多于28000元購進甲乙兩種圖書共1200本進行銷售，已知甲種圖書進價是乙種圖書每本進價的1.4倍，若用1680元購進甲種圖書的數量比用1400元購進的乙種圖書的數量少10本．
（1）甲乙兩種圖書的進價分別為每本多少元？
（2）新華書店決定甲種圖書售價為每本40元，乙種圖書售價每本30元，問書店應如何進貨才能獲得最大利潤？（購進的兩種圖書全部銷售完）
【考點】分式方程的應用．
【答案】（1）甲種圖書進階每本28元，乙種圖書進階每本20元；
（2）書店甲種圖書進貨500本，乙種圖書進貨700本時利潤最大，最大利潤是13000元．
【點撥】（1）設乙種圖書進階每本x元，則甲種圖書進階為每本1.4x元，由題意：用1680元購進甲種圖書的數量比用1400元購進的乙種圖書的數量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）設書店甲種圖書進貨a本，總利潤為w元，由題意：甲種圖書售價為每本40元，乙種圖書售價每本30元，求出w＝2a+12000，再由新華書店決定用不多于28000元購進甲乙兩種圖書共1200本進行銷售，列出a的一元一次不等式，解得a≤500，再由一次函數的性質求出最大利潤即可．
【解析】解：（1）設乙種圖書進階每本x元，則甲種圖書進階為每本1.4x元，
由題意得：﹣＝10，
解得：x＝20，
經檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意，
則1.4x＝1.4×20＝28，
答：甲種圖書進階每本28元，乙種圖書進階每本20元；
（2）設書店甲種圖書進貨a本，總利潤為w元，
由題意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，
∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，
解得：a≤500，
∵w隨a的增大而增大，
∴當a最大時w最大，
∴當a＝500時，w最大＝2×500+12000＝13000（元），
此時，乙種圖書進貨本數為1200﹣500＝700（本）
答：書店甲種圖書進貨500本，乙種圖書進貨700本時利潤最大，最大利潤是13000元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用；解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．
1．（2023 義烏市模擬）若分式的值為1，則x的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
【考點】解分式方程．
【答案】A
【點撥】根據題意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根據題意得：＝1，
去分母得：x﹣2＝3，
解得：x＝5，
檢驗：把x＝5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解為x＝5．
故選：A．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
2．（2022 永嘉縣三模）解方程，以下去分母正確的是（　　）
A．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5 B．x2﹣3x﹣x2+3＝5
C．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5（x﹣2） D．x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2）
【考點】解分式方程．
【答案】D
【點撥】利用等式的性質在分式方程兩邊分別乘（x﹣2）即可．
【解析】解：A、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此選項不符合題意．
B、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此選項不符合題意．
C、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此選項不符合題意．
D、x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2），故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了解分式方程去分母，根據等式的性質在分式方程兩邊分別乘以分母的最簡公分母，熟練掌握等式的性質是解此題的關鍵．
3．（2022 寧波一模）分式方程的解為（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3
【考點】解分式方程．
【答案】C
【點撥】方程兩邊都乘x﹣1得出1＝﹣x+2（x﹣1），求出方程的解，再進行檢驗即可．
【解析】解：，
方程兩邊都乘x﹣1，得1＝﹣x+2（x﹣1），
解得：x＝3，
檢驗：當x＝3時，x﹣1≠0，
所以x＝3是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝3，
故選：C．
【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．
4．（2022 麗水一模）在如下解分式方程的4個步驟中，根據等式基本性質的是（　　）
x﹣（3﹣x）＝x﹣2……① x﹣3+x＝x﹣2……② x+x﹣x＝﹣2+3……③ ∴x＝1……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【考點】解分式方程．
【答案】B
【點撥】觀察4個步驟，找出根據等式的基本性質即可．
【解析】解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①（等式的基本性質）
x﹣3+x＝x﹣2……②（去括號法則）
x+x﹣x＝﹣2+3……③（等式的基本性質）
∴x＝1……④（合并同類項法則）．
故選：B．
【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關鍵．
5．（2022 麗水）某校購買了一批籃球和足球．已知購買足球的數量是籃球的2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貴30元．根據題意可列方程，則方程中x表示（　　）
A．足球的單價 B．籃球的單價 C．足球的數量 D．籃球的數量
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】D
【點撥】設籃球的數量為x個，足球的數量是2x個，列出分式方程解答即可．
【解析】解：設籃球的數量為x個，足球的數量是2x個．
根據題意可得：＝﹣30，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，得到相應的關系式是解決本題的關鍵．
6．（2021 舟山）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊買了兩種價格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費30元，熒光棒共花費40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價是熒光棒的1.5倍．若設熒光棒的單價為x元，根據題意可列方程為（　　）
A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】B
【點撥】若設熒光棒的單價為x元，則繽紛棒單價是1.5x元，根據等量關系“繽紛棒比熒光棒少20根”列方程即可．
【解析】解：若設熒光棒的單價為x元，則繽紛棒單價是1.5x元，
根據題意可得：．
故選：B．
【點睛】考查了由實際問題抽象出分式方程，應用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據另一量來列等量關系的．本題分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
7．（2023 仙居縣二模）某店有某商品現打8折，用320元購買該商品，打折后比打折前可以多買1件．設原價為x元，則根據題意可列出方程（　　）
A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】C
【點撥】根據原價是x元，則打折后的價格為0.8x元，利用數量＝總價÷單價，結合打折后比打折前可以多買1件，即可得出關于x的分式方程．
【解析】解：由題意可得打折后價格為0.8x元，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
8．（2023 蕭山區一模）如圖，邊長為a的大正方形剪去4個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋紙盒．若無蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，則根據題意可知a，x滿足的關系式為（　　）
A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】A
【點撥】根據無蓋紙盒的底面積為（a﹣2x）2，表面積為a2﹣4x2，無蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，可得，化簡即可得出答案．
【解析】解：∵無蓋紙盒的底面積為（a﹣2x）2，表面積為a2﹣4x2，無蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
9．（2022 金華）若分式的值為2，則x的值是 　4　．
【考點】解分式方程．
【答案】4．
【點撥】依據題意列出分式方程，解分式方程即可求得結論．
【解析】解：由題意得：＝2，
去分母得：2＝2（x﹣3），
去括號得：2x﹣6＝2，
移項，合并同類項得：2x＝8，
∴x＝4．
經檢驗，x＝4是原方程的根，
∴x＝4．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，解分式方程需要驗根，這是容易丟掉的步驟．
10．（2023 紹興）方程的解是 　x＝3　．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝3．
【點撥】解分式方程得結論．
【解析】解：去分母，得3x＝9，
∴x＝3．
經檢驗，x＝3是原方程的解．
故答案為：x＝3．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解決本題的關鍵．
11．（2023 南湖區模擬）分式方程：的解是 　x＝5　．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝5．
【點撥】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5，
經檢驗x＝5是分式方程的解，
故答案為：x＝5．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
12．（2023 上城區二模）現有甲、乙兩種糖混合而成的什錦糖50千克，兩種糖的千克數和單價如表．商店以糖果的平均價格作為什錦糖的單價，要使什錦糖的單價每千克提高1元，需加入甲種糖 　10　千克．
甲種糖果 乙種糖果
千克數 20 30
單價（元/千克） 25 15
【考點】分式方程的應用．
【答案】10．
【點撥】設需加入甲種糖x千克，利用單價＝總價÷數量，結合要使什錦糖的單價每千克提高1元，可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．
【解析】解：設需加入甲種糖x千克，
根據題意得：，
解得：x＝10，
經檢驗，x＝10是所列方程的解，且符合題意，
∴需加入甲種糖10千克．
故答案為：10．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
13．（2022 寧波）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a b＝．若（x+1） x＝，則x的值為 　　．
【考點】解分式方程．
【答案】
【點撥】根據新定義列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解析】解：根據題意得：，
化為整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝，
檢驗：當x＝時，x（x+1）≠0，
∴原方程的解為：x＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了解分式方程，新定義，根據新定義列出分式方程是解題的關鍵．
14．（2023 鄞州區校級一模）如果關于x的方程無解，則a的值為　2或1　．
【考點】分式方程的解．
【答案】1或2
【點撥】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解析】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
當a﹣2＝0時，
∴a＝2，
此時方程無解，滿足題意，
當a﹣2≠0時，
∴x＝﹣，
將x＝﹣代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
綜上所述，a＝1或a＝2，
故答案為：1或2．
【點睛】本題考查分式方程的解法，解題的關鍵是熟練運用分式方程的解法，本題屬于基礎題型．
15．（2023 慈溪市一模）對于實數x，y（x≠y），我們定義運算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．則方程F（x，1）＝2的解為 　x＝3　．
【考點】解分式方程；實數的運算．
【答案】x＝3．
【點撥】根據新定義，可知F（x，1）＝，可得＝2，解分式方程即可．
【解析】解：根據新定義，可知F（x，1）＝，
∴＝2，
解得x＝3，
經檢驗，x＝3是原分式方程的根，
∴方程F（x，1）＝2的解為x＝3，
故答案為：x＝3．
【點睛】本題考查了解分式方程，新定義，理解新定義是解題的關鍵．
16．（2023 浙江）小丁和小迪分別解方程過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
【考點】解分式方程．
【答案】×；×；正確步驟見解答過程．
【點撥】根據解分式方程的步驟進行計算并判斷即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都不正確，正確步驟如下：
，
兩邊同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移項，合并同類項得：x＝1，
檢驗：將x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
則x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【點睛】本題考查解分式方程，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
17．（2022 嘉興）解方程：．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝﹣2．
【點撥】首先去分母化分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后驗根．
【解析】解：去分母得x﹣3＝2x﹣1，
∴﹣x＝3﹣1，
∴x＝﹣2，
經檢驗x＝﹣2是分式方程的解，
∴原方程的解為：x＝﹣2．
【點睛】本題分別考查了解分式方程，解分式方程的基本方法時去分母．
18．（2022 柯城區二模）解分式方程：．
【考點】解分式方程．
【答案】無解．
【點撥】按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
【解析】解：，
2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，
解得：x＝3，
檢驗：當x＝3時，x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原方程無解．
【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必須檢驗．
19．（2022 衢州）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產車．
燃油車 油箱容積：40升 油價：9元/升 續航里程：a千米 每千米行駛費用：元 新能源車 電池電量：60千瓦時 電價：0.6元/千瓦時 續航里程：a千米 每千米行駛費用：_____元
（1）用含a的代數式表示新能源車的每千米行駛費用．
（2）若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．
①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．
②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新能源車的年費用更低？（年費用＝年行駛費用+年其它費用）
【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）根據表中的信息，可以計算出新能源車的每千米行駛費用；
（2）①根據燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元和表中的信息，可以列出相應的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗；
②根據題意，可以列出相應的不等式，然后求解即可．
【解析】解：（1）由表格可得，
新能源車的每千米行駛費用為：＝（元），
即新能源車的每千米行駛費用為元；
（2）①∵燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
經檢驗，a＝600是原分式方程的解，
∴＝0.6，＝0.06，
答：燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元；
②設每年行駛里程為x km，
由題意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：當每年行駛里程大于5000km時，買新能源車的年費用更低．
【點睛】本題考查分式方程的應用、一元一次不等式的應用、列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程和不等式．
20．（2023 溫州一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計獎品購買及兌換方案？
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數量比用160元購買鋼筆的數量多8件．
素材2 某學校花費400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”， 兩種獎品的購買數量均不少于20件，且購買筆記本的數量是10的倍數．
素材3 學校花費400元后，文具店贈送m張（1＜m＜10）兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數量相同．
問題解決
任務1 探求商品單價 請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務2 探究購買方案 探究購買鋼筆和筆記本數量的所有方案．
任務3 確定兌換方式 運用數學知識，確定一種符合條件的兌換方式．
【考點】分式方程的應用．
【答案】（1）筆記本的單價為5元，鋼筆的單價為10元；
（2）可購買鋼筆30支，筆記本20本；或購買鋼筆25支，筆記本30本；或購買鋼筆20支，筆記本40本．
（3）文具店贈送5張兌換券，其中3張兌換鋼筆，2張兌換筆記本．（答案不唯一）
【點撥】任務1：設筆記本的單價為x元，根據用120元購買筆記本的數量比用160元購買鋼筆的數量多8件列出分式方程，解方程即可；
任務2：設購買鋼筆為a支，筆記本為b本，根據總的花費為400元，列出方程，根據a≥20，b≥20，且b是10的倍數，求出a、b的值即可；
任務3：可以就鋼筆和筆記本數量的一種情況進行解答，答案合理即可．
【解析】解：任務1：設筆記本的單價為x元，根據題意，得，
解得x＝5，
經檢驗，x＝5是原方程的根，
這時2x＝10．
∴筆記本的單價為5元，鋼筆的單價為10元；
任務2：設購買鋼筆為a支，筆記本為b本，根據題意，得10a+5b＝400，化簡得，
由題意，a≥20，b≥20，且b是10的倍數，
∴或或，
∴可購買鋼筆30支，筆記本20本；或購買鋼筆25支，筆記本30本；或購買鋼筆20支，筆記本40本．
任務3：當原有鋼筆30支，筆記本20本時，設有y張兌換券兌換鋼筆，根據題意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均為正整數，
∴經嘗試檢驗得，
∴文具店贈送5張兌換券，其中3張兌換鋼筆，2張兌換筆記本．（答案不唯一）
【點睛】本題主要考查了分式方程和二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據等量關系，列出方程，準確解方程．
1．（2023 海南）分式方程的解是（　　）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5
【考點】解分式方程．
【答案】A
【點撥】根據解方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，系數化為1，得出方程的解，注意檢驗．
【解析】解：去分母，得1＝x﹣5，
移項，得﹣x＝﹣5﹣1，
合并同類項，得﹣x＝﹣6，
系數化為1，得x＝6，
經檢驗，x＝6是原方程的解，
∴方程的解是x＝6．
故選：A．
【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是關鍵．
2．（2023 淄博）已知x＝1是方程的解，那么實數m的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考點】分式方程的解．
【答案】B
【點撥】將x＝1代入原方程即可求出m的值．
【解析】解：將x＝1代入方程，得：，
解得：m＝2．
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關鍵是將x＝1代入原方程中得到關于m的方程．
3．（2021 湖州模擬）解分式方程時，去分母正確的是（　　）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2 B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝2
【考點】解分式方程．
【答案】A
【點撥】分式方程去分母轉化為整式方程，即可作出判斷．
【解析】解：分式方程整理得：，
去分母得：1﹣4（x﹣3）＝﹣2．
故選：A．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
4．（2023 黑龍江）已知關于x的分式方程的解是非負數．則m的取值范圍是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】C
【點撥】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程的解是非負數，確定出m的范圍即可．
【解析】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非負數，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故選：C．
【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
5．（2023 鹿城區校級二模）某校購買了一批籃球和足球，購買的籃球和足球的數量相同，其中足球花費2000元，籃球花費3500元，已知籃球單價比足球貴30元．設足球的單價為x元．則下列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】C
【點撥】設足球的單價為x元．根據其中足球花費2000元，籃球花費3500元，已知籃球單價比足球貴30元解方程即可得到結論．
【解析】解：根據題意得，，
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
6．（2023 新昌縣模擬）為迎接亞運，某校購買了一批籃球和足球，已知購買足球的數量是籃球的2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貴30元，根據題意可列方程，則方程中關于x的含義理解正確的是（　　）
A．籃球有x個 B．每個籃球x元 C．足球有x個 D．每個足球x元
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】D
【點撥】由所列方程，可找出表示購買足球的數量，進而可得出x表示足球的單價．
【解析】解：∵購買足球的數量是籃球的2倍，且所列方程為，
∴表示購買足球的數量，表示購買籃球的數量，
∴每個足球x元．
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
7．（2023 椒江區一模）“杭臺高鐵”臺州至杭州鐵路長為236千米，從臺州到杭州乘某趟“G”字頭列車比乘某趟“D”字頭列車少用15分鐘，“G”字頭列車比“D”字頭列車每小時多行駛40千米，設“G”字頭列車速度為每小時x千米，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【答案】D
【點撥】根據“G”字頭列車速度為每小時x千米，可知“D”字頭列車速度為每小時（x﹣40）千米．根據時間＝路程÷速度公式，結合“G”字頭列車比乘某趟“D”字頭列車少用15分鐘，即可列出關于x的分式方程．
【解析】解：∵“G”字頭列車速度為每小時x千米，
∴“D”字頭列車速度為每小時（x﹣40）千米．
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，找準等量關系式，正確列出分式方程是解題的關鍵．本題的易錯點在于單位不統一，列方程時需注意單位的轉換．
8．（2021 無錫）分式方程有增根，則m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【考點】分式方程的增根．
【答案】D
【點撥】根據題意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．
【解析】解：，
，
6+2（x﹣2）＝﹣m，
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝中，
2＝，
解得：m＝﹣6，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．
9．（2021 杭州模擬）若實數x滿足，則的值為（　　）
A．3 B．0 C．3或0 D．±3
【考點】換元法解分式方程．
【答案】A
【點撥】本題需先對方程進行變形，再用換元法即可求出的值．
【解析】解：由題意可得
，
故=3或0（其中0不符合題意，舍去）
故選：A．
【點睛】本題主要考查了如何用換元法解分式方程，在解題時要能夠對分式方程進行變形，并要換元法解出方程是本題的關鍵．
10．（2021 蕭山區模擬）若分式的值等于﹣1，則x＝　3　．
【考點】解分式方程．
【答案】3．
【點撥】根據題意得出分式方程，再求出分式的解即可．
【解析】解：根據題意得：＝﹣1，
2＝﹣（1﹣x），
2＝﹣1+x，
解得：x＝3，
經檢驗x＝3是所列方程的解，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵，注意：解分式方程一定要檢驗．
11．（2022 嵊州市模擬）分式方程的解為 　x＝3　．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝3
【點撥】先把分式方程轉化成整式方程，求出方程的解，最后進行檢驗即可．
【解析】解：方程兩邊都乘以x（x﹣1）得：2x＝3（x﹣1），
解得：x＝3，
檢驗：∵當x＝3時，x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是原方程的解，
∴原方程的解為x＝3，
故答案為：x＝3．
【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵，注意：解分式方程一定要進行檢驗．
12．（2021 西湖區校級二模）當x＝　0　時，代數式與的值相等．
【考點】解分式方程；代數式求值．
【答案】x＝0．
【點撥】根據題意列出分式方程，按分式方程的解法步驟解方程即可得解．
【解析】解：依題意得：=，
兩邊同時乘x﹣7得，x2＝7x，
即x（x﹣7）＝0，
解得：x1＝0，x2＝7．
檢驗：當x＝0時，x﹣7≠0，
所以x＝0是原方程的根，
當x＝7時，x﹣7＝0，
所以x＝7不是原方程的根．
所以原方程的解為：x＝0．
故答案為：x＝0．
【點睛】本題考查了分式方程的解法．掌握其解法是解決此題關鍵．
13．（2023 寧波模擬）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a b＝．若（x﹣1） （x+1）＝，則x的值為 　x＝2　．
【考點】解分式方程；實數的運算．
【答案】x＝2．
【點撥】根據題干的新定義，得到．再解這分式方程，進而求得x．
【解析】解：由題意得，．
去分母，得x+1+x﹣1＝3x﹣2．
移項，得x+x﹣3x＝﹣2+1﹣1．
合并同類項，得﹣x＝﹣2．
x的系數化為1，得x＝2．
檢驗：當x＝2，（x+1）（x﹣1）≠0．
∴該分式方程的解為x＝2．
故答案為：x＝2．
【點睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程是解決本題的關鍵．
14．（2023 路橋區一模）定義一種新運算，當a≠b時，．若2※x＝4，則x＝　4或　．
【考點】解分式方程；有理數的混合運算．
【答案】4或．
【點撥】根據題中所給新定義運算可分類進行求解．
【解析】解：由題意可知：當x＜2時，則，
解得：，
經檢驗當時，2﹣x≠0，且x＜2，
∴是原方程的解；
當x＞2時，則，
解得：x＝4，
經檢驗當x＝4時，x﹣2≠0，且x＞2，
∴x＝4是原方程的解．
故答案為：4或．
【點睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．
15．（2021 杭州模擬）若關于x的分式方程無解，則a的值為 　0.5或1.5　．
【考點】分式方程的解．
【答案】0.5或1.5
【點撥】直接解分式方程，再分類討論當1﹣2a＝0時，當1﹣2a≠0時，分別得出答案．
【解析】解：，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
當1﹣2a＝0時，方程無解，故a＝0.5；
當1﹣2a≠0時，x＝時，分式方程無解，則a＝1.5，
則a的值為0.5或1.5．
故答案為：0.5或1.5．
【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確分類討論是解題關鍵．
16．（2021 湖州）解分式方程：．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝4．
【點撥】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：2x﹣1＝x+3，
解得：x＝4，
當x＝4時，x+3≠0，
∴分式方程的解為x＝4．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
17．（2023 金華模擬）解方程：．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝3．
【點撥】方程兩邊都乘x（x﹣2）得出x＝3（x﹣2），求出方程的解，再進行檢驗即可．
【解析】解：，
方程兩邊都乘x（x﹣2），得x＝3（x﹣2），
解得：x＝3．
檢驗：當x＝3時，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝3．
【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵，注意：解分式方程一定要進行檢驗．
18．（2022 玉環市一模）解方程：．
【考點】解分式方程．
【答案】x＝3．
【點撥】根據分式方程的求法：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．
【解析】解：，
x﹣1+x﹣2＝3，
2x＝6，
x＝3，
經檢驗，x＝3是方程的解，
∴原方程的解為x＝3．
【點睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，注意對分式方程根進行檢驗是解題的關鍵．
19．（2023 濱江區模擬）小輝在解一道分式方程的過程如下：
方程整理，得，
去分母，得x﹣1﹣1＝3x﹣4，
移項，合并同類項，得x＝1，
檢驗，經檢驗x＝1是原來方程的根．
小輝的解答是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【考點】解分式方程．
【答案】有錯誤，正確解答過程見解析．
【點撥】將分式方程轉化為整式方程，然后解方程，注意分式方程的結果要進行檢驗．
【解析】解：有錯誤，
正確的解答如下：
整理，得：，
去分母，得：x﹣1﹣（x﹣2）＝3x﹣4，
解得：x＝，
檢驗：當x＝時，x﹣2≠0，
∴x＝是原分式方程的解．
【點睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題關鍵，注意分式方程的結果要進行檢驗．
20．（2022 鎮海區二模）4月23日是“世界讀書日”，寧波某學校為了更好地營造讀書好、好讀書、讀好書的書香校園．學校圖書館決定去選購甲、乙兩種圖書．已知甲圖書每本價格是乙圖書每本價格的2.5倍，用800元單獨購買甲圖書比用800元單獨購買乙圖書要少24本．
（1）甲、乙兩種圖書每本價格分別為多少元？
（2）如果學校圖書館計劃購買乙圖書的本數比購買甲圖書本數的2倍多8本，且用于購買甲、乙兩種圖書的總經費不超過1060元，那么該學校圖書館最多可以購買甲和乙圖書共多少本？
【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．
【答案】（1）甲圖書每本價格是50元，乙圖書每本價格為20元；
（2）該學校圖書館最多可以購買甲和乙圖書共38本．
【點撥】（1）設乙圖書每本價格為x元，則甲圖書每本價格是2.5x元，由題意：用800元單獨購買甲圖書比用800元單獨購買乙圖書要少24本．列出分式方程，解方程即可；
（2）設購買甲種圖書a本，則購買乙種圖書（2a+8）本，由題意：用于購買甲、乙兩種圖書的總經費不超過1060元，列出一元一次不等式，解不等式，進而得出結論．
【解析】解：（1）設乙圖書每本價格為x元，則甲圖書每本價格是2.5x元，
根據題意得：，
解得：x＝20，
經檢驗得：x＝20是原方程的根，
則2.5x＝50，
答：甲圖書每本價格是50元，乙圖書每本價格為20元；
（2）設購買甲種圖書a本，則購買乙種圖書（2a+8）本，
由（1）知，乙種圖書每本20元，甲種圖書每本50元，
由題意得：50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
∴2a+8≤28，
則10+28＝38，
答：該學校圖書館最多可以購買甲和乙圖書共38本．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．
21．（2023 舟山模擬）某歐洲客商準備采購一批特色商品，下面是一段對話：
（1）根據對話信息，求一件A，B型商品的進價分別為多少元；
（2）若該歐洲客商購進A，B型商品共160件進行試銷，其中A型商品的件數不大于B型商品的件數，且不小于78件，已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件，且全部售出，則共有哪幾種進貨方式？
（3）在第（2）問的條件下，哪種進貨方式利潤最大，并求出最大利潤．
【考點】分式方程的應用；一元一次不等式組的應用．
【答案】（1）一件A型商品的進價為160元，一件B型商品的進價為150元；
（2）購進A型商品78件，B型商品82件；購進A型商品79件，B型商品81件；購進A型商品80件，B型商品80件．
（3）購進A型商品80件，B型商品80件獲得利潤最大，最大利潤為12 000元．
【點撥】（1）設一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10）元，由數量關系列出方程，即可求解；
（2）設購進A型商品m件，則購進B型商品（160﹣m）件．由A型商品的件數不大于B型商品的件數，且不小于78件，列出不等式，即可求解；
（3）分別求出三種方案的利潤，即可求解．
【解析】解：（1）設一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10）元，
根據題意，得，
解得x＝150．
經檢驗，x＝150是原方程的解，且符合題意．
∴x+10＝160．
答：一件A型商品的進價為160元，一件B型商品的進價為150元．
（2）設購進A型商品m件，則購進B型商品（160﹣m）件．
根據題意，得，
解得78≤m≤80，
因為m為整數，所以m可以為78，79，80；
所以共有3種進貨方式：購進A型商品78件，B型商品82件；購進A型商品79件，B型商品81件；購進A型商品80件，B型商品80件．
（3）方式1獲得的利潤為（240﹣160）×78+（220﹣150）×82＝11 980（元）；
方式2獲得的利潤為（240﹣160）×79+（220﹣150）×81＝11 990（元）；
方式3獲得的利潤為（240﹣160）×80+（220﹣150）×80＝12 000（元）．
因為11 980＜11 990＜12 000，
所以購進A型商品80件，B型商品80件獲得利潤最大，最大利潤為12 000元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，找出正確的數量關系是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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