資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第二章 方程（組）與不等式（組）
第二節(jié) 一元二次方程及其應(yīng)用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1一元二次方程的相關(guān)概念 ☆ 本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右. 預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．
考點2一元二次方程的解法 ☆☆
考點3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 ☆
考點4 一元二次方程的應(yīng)用 ☆☆
1．一元二次方程的定義：
兩邊都是 ，只含有 ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，這樣的方程叫做一元二次方程．我們把 稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，a，b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．
2．一元二次方程的解法：
一元二次方程的解法有 ， ， ， 四種.
(1)開平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用開平方法．
(2)配方法：一般步驟：①化二次項系數(shù)為 ；②移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；③配方，即方程兩邊都加上 ；④化為(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用 求出方程的解．
(3)公式法：求根公式 (其中 )．
(4)因式分解法：一般步驟：①將方程右邊化為 ；②將方程化為A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A(yù)＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式：Δ=b2－4ac
①當(dāng)Δ＞0時，方程 實數(shù)根．
②當(dāng)Δ＝0時，方程 實數(shù)根．
③當(dāng)Δ＜0時，方程 實數(shù)根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩個根為，則，
4．一元二次方程的實際應(yīng)用：
常見的等量問題：
(1)平均增長率(下降率)問題：
如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用b表示，增長率(下降率)用x表示，時間間隔用n表示，那么可用等量關(guān)系表示為 ．
(2)利潤問題：
利潤＝售價－ ，利潤率＝ ，
銷售價＝(1＋ )×進(jìn)貨價．
(3)利息問題：
利息＝本金× ×?xí)r間，本息和＝ ＋利息．
(4)面積問題：
如圖，對于矩形中有條形通道的求面積問題，通常把圖①中的通道平移轉(zhuǎn)化為如圖②的形狀，再求 面積．
設(shè)通道的寬為x，則S空白＝ ．
■考點一　一元二次方程的有關(guān)概念
◇典例1：（2023 蘭溪市模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2023﹣a﹣b的值為（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 永嘉縣校級模擬）下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣x﹣y2＝0 B．x（x﹣2）＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．
2．（2021 永嘉縣模擬）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
3．（2023 長興縣二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一個根，則a﹣b的值是 　　．
■考點二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2021 寧波模擬）解方程：x2﹣1＝3（x﹣1）．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 桐廬縣一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為 　6+　．
2．（2023 臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
3．（2021 寧波模擬）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2時，圓圓同學(xué)的解答如下：
去括號，得x2﹣2x＝x﹣2．
移項，得x2﹣3x＝﹣2．
兩邊同時加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圓圓的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．
6．（2021 湖州模擬）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．
■考點三 一元二次方程根的判別式
◇典例3：（2023 龍灣區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝k有兩個不相等實數(shù)根，k的取值范圍是（　　）
A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 龍泉市一模）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝0
2．（2022 金東區(qū)二模）已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一個合適的數(shù)字．使該方程有兩個不相等的實數(shù)根，則添加的數(shù)字可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（2023春 鎮(zhèn)海區(qū)期末）定義：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足b＝ac．則稱此方程為“蛟龍”方程．
（1）當(dāng)b＜0時，判斷此時“蛟龍”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情況，并說明理由．
（2）若“蛟龍”方程2x2+mx+n＝0 有兩個相等的實數(shù)根，請解出此方程．
■考點四 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
◇典例4：（2023 海曙區(qū)模擬）已知a為正實數(shù)，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個根，則＝（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 諸暨市模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一個解為x＝1，則該方程的另一個解為（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2022 寧波模擬）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，則x1+x2﹣x1x2＝　　．
■考點五　 一元二次方程的應(yīng)用
◇典例5：（2023 舟山模擬）某公司去年10月份的營業(yè)額為2500萬元，后來公司改變營銷策略，12月份的營業(yè)額達(dá)到3780萬元，已知12月份的增長率是11月份的1.3倍，求11月份的增長率，設(shè)11月份的增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為（　　）
A．2500（1+x）（1+1.3x）＝3780 B．2500（1+x）2＝3780
C．2500（1+1.3x）2＝3780 D．2500（1+2.3x）＝3780
2．（2021 寧波模擬）美麗的鮮花為人們傳遞著各種各樣的情感：桔梗象征著永恒；水仙象征著尊敬；康乃馨象征著母親的愛；風(fēng)鈴草象征著知恩圖報…3月里，花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，且風(fēng)鈴草的單價是桔梗單價的．
（1）若3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，則桔梗的單價至少為多少元？
（2）根據(jù)往年的經(jīng)驗，4月份的桔梗更美，它的進(jìn)價也會有所提升，因此商家決定將桔梗的單價在（1）中的最少單價的基礎(chǔ)上提高m%，預(yù)計桔梗的銷量將比3月份提高4m%，則4月份桔梗的銷售額將比（1）中總銷售額最低時風(fēng)鈴草的銷售額多192元，求m的值．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 衢江區(qū)二模）某超市將進(jìn)價為40元件的商品按50元/件出售時，每月可售出500件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)漲價多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價x元，則依據(jù)題意可列方程為（　　）
A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000
C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000
2．（2023 拱墅區(qū)三模）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺2021年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2023年的新注冊用戶數(shù)為64萬，設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均下降率為x（x＞0），則x＝　　（用百分?jǐn)?shù)表示）．
3．（2022 德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計劃對其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．
（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m2，求新的矩形綠地的長與寬；
（2）擴(kuò)充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．
1．（2022 婺城區(qū)模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（　　）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
2．（2021 麗水）用配方法解方程x2+4x+1＝0時，配方結(jié)果正確的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
3．（2023 浦江縣模擬）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
4．（2022 溫州）若關(guān)于x的方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（　　）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
4．（2021 臺州）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
5．（2023 衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
6．（2022 婺城區(qū)模擬）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．設(shè)長為x步，則可列方程為（　　）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
3．（2021 杭州模擬）如圖，在長為62米、寬為42米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪．要使草坪的面積為2400平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（　　）
A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400
7．（2023 武義縣一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的兩根分別為x1，x2，則代數(shù)式x1+x2＝　 　．
8．（2022 金華模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一個根為x＝1，寫出滿足條件的實數(shù)a，b的值 　 　．
9．（2021 嘉善縣一模）新能源汽車節(jié)能環(huán)保，越來越受到消費者的喜愛，各種品牌相繼投放市場．某地2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，銷售量逐年增加，到2020年為125.6萬輛．若年增長率x不變，則x的值是多少？根據(jù)題意可列方程為　 　．
10．（2022 衢州）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：　 　（不必化簡）．
11．（2021 婺城區(qū)模擬）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．
12．（2023 杭州）設(shè)一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．
13．（2023 舟山一模）在學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系一課時老師出示了這樣一個題目：已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，求m的值．波波同學(xué)的解答過程如右框：波波的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
14．（2023 寧波模擬）在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通過圖解法能得到其中的一個正根：如圖，先畫Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝，連結(jié)CD，那么圖中某條線段的長就是一元二次方程的其中一個正根．
（1）用含a，b的代數(shù)式表示AD的長．
（2）圖中哪條線段的長是一元二次方程x2+ax＝b2的一個正根？請說明理由．
15．（2021 柯城區(qū)模擬）根據(jù)中國傳統(tǒng)習(xí)俗，過年長輩總要給家里小朋友紅包．小王統(tǒng)計了自己在2019年和2021年收到的五份“紅包”數(shù)，詳見表：
2019年“紅包”數(shù)（單位：元） 300 800 500 500 400
2021年“紅包”數(shù)（單位：元） 1000 m n 500 800
（1）求2019年收到的五份“紅包”的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)．
（2）已知小王2021年收到的五份“紅包”的平均數(shù)是720元，
①求從2019年到2021年，小王收到的“紅包”的平均數(shù)的平均年增長率；
②若小王每次收到的“紅包”都為百元的整數(shù)倍，且2021年收到的五份“紅包”的中位數(shù)是800元，最多的是1000元，當(dāng)m＞n時，求m，n的值．
1．（2023 永康市一模）方程x2﹣2x＝1經(jīng)過配方后，其結(jié)果正確的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1
2．（2023 金東區(qū)一模）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
3．（2023 慶元縣一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方結(jié)果正確的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
4．（2023 湖州）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（　　）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
5．（2023 溫嶺市一模）若關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣n＝0沒有實數(shù)根，則n的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
6．（2023 金華模擬）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（　　）
A B C D
兩邊同時除以 （x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
7．（2021 溫州模擬）若關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個根為x1＝1，x2＝3，則關(guān)于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的兩個根為（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝﹣5
C．x1＝3，x2＝5 D．x1＝3，x2＝﹣5
8．（2023 北侖區(qū)一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，則m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
9．（2022 臺州模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
10．（2022 寧波模擬）已知實數(shù)a≠b，且滿足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，則的值為（　　）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
11．（2023 金華模擬）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一個根為x＝﹣1，則b的值為 　2022　．
12．（2023 鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）燃放煙花爆竹是中國春節(jié)的傳統(tǒng)民俗．某品牌的煙花2013年除夕每箱進(jìn)價100元，售價250元，銷售40箱．而2014年除夕當(dāng)天和去年相比，該店的銷售量下降了4a%（a為正整數(shù)），每箱售價提高了a%，成本增加了50%，其銷售利潤僅為去年當(dāng)天利潤的50%，則a的值為　　．
13．（2023 路橋區(qū)二模）陽光體育用品商店籃球銷售價為每只100元，一次購買10只以上（含10只）可降價銷售，購買30只以上（含30只）可再次降價銷售．若兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，且一次購買30只，共需費用為2430元．若設(shè)每次降價的百分?jǐn)?shù)為x，則可列方程為 　 　．
14．（2023 嘉善縣一模）已知2m2﹣8m﹣3＝0，，且m≠n，則＝　　．
15．（2023 吳興區(qū)一模）解方程：x（x﹣2）﹣3＝0．
16．（2021 西湖區(qū)二模）解方程：（x﹣5）（3x﹣2）＝10．
17．（2021 浙江）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：
小敏： 兩邊同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 則x＝6． 小霞： 移項，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
18．（2023 拱墅區(qū)三模）如圖，點A與點C表示的數(shù)分別為1和3，宸宸同學(xué)在數(shù)軸上以C為直角頂點作Rt△ABC，BC＝1，再以A為圓心，AB為半徑畫圓，交數(shù)軸于D、E兩點，蓮蓮?fù)瑢W(xué)說，若D、E分別表示m和n，我發(fā)現(xiàn)x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一個根，琮琮說x＝n一定不是此方程的根．
（1）寫出m與n表示的數(shù)
（2）求出b的值
（3）你認(rèn)為琮琮說的對嗎？為什么？
19．（2021 菏澤）列方程（組）解應(yīng)用題
端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：
小王：該水果的進(jìn)價是每千克22元；
小李：當(dāng)銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？
20．（2021 永嘉縣校級模擬）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（長方形ABCD），飼養(yǎng)場的一面靠墻（墻最大可用長度為27米），另三邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄），建成后木欄總長57米，設(shè)飼養(yǎng)場（長方形ABCD）的寬為a米．
（1）飼養(yǎng)場的長為　　米（用含a的代數(shù)式表示）．
（2）若飼養(yǎng)場的面積為288m2，求a的值．
21．（2021 重慶）某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價比B產(chǎn)品的銷售單價高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價和為500元．
（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價分別是多少元？
（2）隨著5G時代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時期．今年，該工廠計劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計A產(chǎn)品在售價不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加a%．求a的值．
22．（2023 大渡口區(qū)模擬）某社區(qū)在開展“美化社區(qū)，幸福家園”活動中，計劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長），用40米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，AD兩邊），設(shè)AB＝x米．
（1）若花園的面積為300米2，求x的值；
（2）若在直角墻角內(nèi)點P處有一棵桂花樹，且與墻BC，CD的距離分別是10米，24米，要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），則花園的面積能否為400米2？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．
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第二章 方程（組）與不等式（組）
第二節(jié) 一元二次方程及其應(yīng)用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1一元二次方程的相關(guān)概念 ☆ 本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右. 預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．
考點2一元二次方程的解法 ☆☆
考點3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 ☆
考點4 一元二次方程的應(yīng)用 ☆☆
1．一元二次方程的定義：
兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2次 ，這樣的方程叫做一元二次方程．我們把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為已知數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，a，b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．
2．一元二次方程的解法：
一元二次方程的解法有 開平方法，配方法，公式法，因式分解法四種.
(1)開平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用開平方法．
(2)配方法：一般步驟：①化二次項系數(shù)為1；②移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；③配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；④化為(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用開平方法求出方程的解．
(3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)．
(4)因式分解法：一般步驟：①將方程右邊化為零；②將方程化為A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A(yù)＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式：Δ=b2－4ac
①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．
②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根．
③當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩個根為，則，
4．一元二次方程的實際應(yīng)用：
常見的等量問題：
(1)平均增長率(下降率)問題：
如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用b表示，增長率(下降率)用x表示，時間間隔用n表示，那么可用等量關(guān)系表示為a(1±x)n＝b．
(2)利潤問題：
利潤＝售價－成本，利潤率＝×100%，
銷售價＝(1＋利潤率)×進(jìn)貨價．
(3)利息問題：
利息＝本金×利率×?xí)r間，本息和＝本金＋利息．
(4)面積問題：
如圖，對于矩形中有條形通道的求面積問題，通常把圖①中的通道平移轉(zhuǎn)化為如圖②的形狀，再求 面積．
設(shè)通道的寬為x，則S空白＝(a－x)(b－x)．
■考點一　一元二次方程的有關(guān)概念
◇典例1：（2023 蘭溪市模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2023﹣a﹣b的值為（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024
【考點】一元二次方程的解．
【答案】D
【點撥】由題意知，a+b+1＝0，則a+b＝﹣1，根據(jù)2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），計算求解即可．
【解析】解：由題意知，a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2023﹣a﹣b
＝2023﹣（a+b）
＝2024．
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，掌握解一元二次方程的方法是關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 永嘉縣校級模擬）下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣x﹣y2＝0 B．x（x﹣2）＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．
【考點】一元二次方程的定義．
【答案】B
【點撥】利用一元二次方程的定義對各選項進(jìn)行判斷．
【解析】解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2個未知數(shù)，所以A選項不符合題意；
B、方程整理為x2﹣2x＝0，它為一元二次方程，所以B選項符合題意；
C、當(dāng)a＝0時，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C選項不符合題意；
D、方程含有分式，它不是一元二次方程，所以D選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（2021 永嘉縣模擬）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
【考點】一元二次方程的一般形式．
【答案】B
【點撥】方程整理為一般形式即可．
【解析】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．
故選：B．
【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)且a≠0）．
3．（2023 長興縣二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一個根，則a﹣b的值是 　2　．
【考點】一元二次方程的解．
【答案】2．
【點撥】利用一元二次方程根的定義把x＝﹣1代入方程可得到a﹣b的值．
【解析】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0得a﹣b﹣2＝0，
所以a﹣b＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
■考點二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2021 寧波模擬）解方程：x2﹣1＝3（x﹣1）．
【考點】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】（1）x1＝2，x2＝1；
【點撥】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
【解析】解：方程整理得：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0
∴x1＝2，x2＝1；
【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 桐廬縣一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為 　6+　．
【考點】解一元二次方程﹣直接開平方法．
【答案】6+．
【點撥】先利用直接開平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它們代入2a+b中計算即可．
【解析】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
解得x1＝2+．x2＝2﹣，
∵方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，
∴a＝2+，b＝2﹣，
∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．
故答案為：6+．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
2．（2023 臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】B
【點撥】先移項得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解兩個一次方程即可．
【解析】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故選：B．
【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（2021 寧波模擬）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2時，圓圓同學(xué)的解答如下：
去括號，得x2﹣2x＝x﹣2．
移項，得x2﹣3x＝﹣2．
兩邊同時加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圓圓的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元一次方程．
【答案】圓圓的解答錯誤，正確解答見解析．
【點撥】利用因式分解法求解即可．
【解析】解：圓圓的解答錯誤，
正確解答如下：
∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2021 湖州模擬）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．
【考點】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】x1＝5，x2＝﹣2．
【分析】方程移項后，利用因式分解法求出解即可．
【解析】解：方程移項得：x2﹣4﹣3（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x﹣2）﹣3（x+2）＝0，
即（x+2）（x﹣2﹣3）＝0，
所以x+2＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2．
【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
■考點三 一元二次方程根的判別式
◇典例3：（2023 龍灣區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝k有兩個不相等實數(shù)根，k的取值范圍是（　　）
A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜
【考點】根的判別式．
【答案】B
【點撥】利用判別式的意義得到Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：根據(jù)題意得Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故選：B．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 龍泉市一模）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝0
【考點】根的判別式．
【答案】A
【點撥】根據(jù)各選項中各方程的系數(shù)，利用根的判別式Δ＝b2﹣4ac可求出各方程的根的判別式Δ的值，取Δ＝0的選項即可得出結(jié)論．
【解析】解：A．x2﹣2x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+1＝2x有兩個相等的實數(shù)根，選項A符合題意；
B．x2+1＝0，
∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴方程x2+1＝0沒有實數(shù)根，選項B不符合題意；
C．x2﹣2x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴方程x2﹣2x﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，選項C不符合題意；
D．x2﹣2x＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程x2﹣2x＝0有兩個不相等的實數(shù)根，選項D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．”是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 金東區(qū)二模）已知方程□x2﹣4x+2＝0，在□中添加一個合適的數(shù)字．使該方程有兩個不相等的實數(shù)根，則添加的數(shù)字可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考點】根的判別式．
【答案】B
【分析】由方程有兩個不等實數(shù)根可得b2﹣4ac＞0，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于□的一元一次不等式，解不等式即可得出□的取值，根據(jù)□的值即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵方程□x2﹣4x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣8×□＞0，且□≠0，
解得：□＜2．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了根的判別式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）Δ＞0 方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0 方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0 方程沒有實數(shù)根．
3.（2021 長興縣模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0．
（1）若方程的一個根為1，求m的值；
（2）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【考點】根的判別式．
【答案】（1）1；
（2）見解析．
【分析】（1）將x＝1代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過解方程求得m的值；
（2）由根的判別式符號進(jìn)行證明．
【解析】（1）解：∵方程的一個根為1，
∴1+m+m﹣3＝0，
∴m＝1；
（2）證明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
■考點四 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
◇典例4：（2023 海曙區(qū)模擬）已知a為正實數(shù)，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個根，則＝（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】C
【點撥】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把變形為，然后利用整體代入的方法計算．
【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個根，
∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，
∴＝
＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1
＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1
＝a2﹣a2﹣2a+1
＝﹣2a+1．
故選：C．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，，．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 諸暨市模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一個解為x＝1，則該方程的另一個解為（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．
【答案】D
【點撥】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系將x＝1代入求出答案即可．
【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一個根是1，設(shè)另一根為m，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：1×m＝﹣2，
∴另一根為﹣2，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（2022 寧波模擬）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，則x1+x2﹣x1x2＝　2　．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．
【答案】2．
【點撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，將其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出結(jié)論．
【解析】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，
∴x1+x2＝3、x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案為2．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．
■考點五　 一元二次方程的應(yīng)用
◇典例5：（2023 舟山模擬）某公司去年10月份的營業(yè)額為2500萬元，后來公司改變營銷策略，12月份的營業(yè)額達(dá)到3780萬元，已知12月份的增長率是11月份的1.3倍，求11月份的增長率，設(shè)11月份的增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為（　　）
A．2500（1+x）（1+1.3x）＝3780 B．2500（1+x）2＝3780
C．2500（1+1.3x）2＝3780 D．2500（1+2.3x）＝3780
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】A
【點撥】設(shè)11月份的增長率為x，則12月份的增長率是1.3x，故11月份的營業(yè)額為2500（1+x），12月份的營業(yè)額為2500（1+x）（1+1.3x），根據(jù)12月份的營業(yè)額達(dá)到3780萬元，即可列方程．
【解析】解：設(shè)11月份的增長率為x，則12月份的增長率是1.3x，故11月份的營業(yè)額為2500（1+x），12月份的營業(yè)額為2500（1+x）（1+1.3x），
依題意可列方程為：2500（1+x）（1+1.3x）＝3780．
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2021 寧波模擬）美麗的鮮花為人們傳遞著各種各樣的情感：桔梗象征著永恒；水仙象征著尊敬；康乃馨象征著母親的愛；風(fēng)鈴草象征著知恩圖報…3月里，花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，且風(fēng)鈴草的單價是桔梗單價的．
（1）若3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，則桔梗的單價至少為多少元？
（2）根據(jù)往年的經(jīng)驗，4月份的桔梗更美，它的進(jìn)價也會有所提升，因此商家決定將桔梗的單價在（1）中的最少單價的基礎(chǔ)上提高m%，預(yù)計桔梗的銷量將比3月份提高4m%，則4月份桔梗的銷售額將比（1）中總銷售額最低時風(fēng)鈴草的銷售額多192元，求m的值．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．
【答案】（1）3元；（2）20．
【點撥】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以得到桔梗的單價至少為多少元；
（2）根據(jù)題意，可以得到關(guān)于m的方程，從而可以求得m的值．
【解析】解：（1）設(shè)桔梗的單價為x元，則風(fēng)鈴草的單價是x元，
∵花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，
∴風(fēng)鈴草的銷量為1000×＝600（朵），桔梗的銷量為1000﹣600＝400（朵），
∵3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，
∴400x+600×x≥3600，
解得x≥3，
即桔梗的單價至少為3元；
（2）[3（1+m%）]×[400×（1+4m%）]＝600××3+192，
解得m1＝20，m2＝﹣145（舍去），
即m的值是20．
【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的不等式和一元二次方程，利用不等式的性質(zhì)和方程的知識解答．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 衢江區(qū)二模）某超市將進(jìn)價為40元件的商品按50元/件出售時，每月可售出500件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)漲價多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價x元，則依據(jù)題意可列方程為（　　）
A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000
C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】C
【點撥】設(shè)這種商品每件漲價x元，則銷售量為（500﹣10x）件，根據(jù)“總利潤＝每件商品的利潤×銷售量”列出一元二次方程．
【解析】解：設(shè)這種商品每件漲價x元，則銷售量為（500﹣10x）件，
根據(jù)題意，得：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
故選：C．
【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目中蘊含的相等關(guān)系．
2．（2023 拱墅區(qū)三模）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺2021年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2023年的新注冊用戶數(shù)為64萬，設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均下降率為x（x＞0），則x＝　20%　（用百分?jǐn)?shù)表示）．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；百分?jǐn)?shù)的互化．
【答案】20%．
【點撥】利用2023年的新注冊用戶數(shù)＝2021年的新注冊用戶數(shù)×（1+新注冊用戶數(shù)的年平均增長率）2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解析】解：根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.8（不符合題意，舍去），
∴x的值為20%．
故答案為：20%．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及百分?jǐn)?shù)的互化，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2022 德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計劃對其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．
（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m2，求新的矩形綠地的長與寬；
（2）擴(kuò)充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．
【答案】（1）新的矩形綠地的長為40m，寬為20m；
（2）新的矩形綠地面積為1500m2．
【點撥】（1）設(shè)將綠地的長、寬增加x m，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值分別代入（35+x）及（15+x）中，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)將綠地的長、寬增加y m，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面積計算公式，即可求出新的矩形綠地面積．
【解析】解：（1）設(shè)將綠地的長、寬增加x m，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，
根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20m．
（2）設(shè)將綠地的長、寬增加y m，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，
根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形綠地面積為1500m2．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
1．（2022 婺城區(qū)模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（　　）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【考點】一元二次方程的解．
【答案】D
【點撥】利用一元二次方程解的定義得到a+b＝﹣1，然后把2022﹣a﹣b變形為2022﹣（a+b），再利用整體代入的方法計算．
【解析】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
2．（2021 麗水）用配方法解方程x2+4x+1＝0時，配方結(jié)果正確的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
【考點】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】D
【點撥】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解析】解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故選：D．
【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023 浦江縣模擬）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】A
【點撥】利用因式分解法解答，即可求解．
【解析】解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2022 溫州）若關(guān)于x的方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（　　）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
【考點】根的判別式．
【答案】C
【點撥】方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可計算出c的值．
【解析】解：∵方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故選：C．
【點睛】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時Δ＝0．
4．（2021 臺州）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【考點】根的判別式．
【答案】D
【點撥】利用判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故選：D．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
5．（2023 衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】C
【點撥】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）＝36．
【解析】解：由題意得：1+x+x（1+x）＝36，
故選：C．
【點睛】本題考查的是根據(jù)實際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2022 婺城區(qū)模擬）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．設(shè)長為x步，則可列方程為（　　）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程；數(shù)學(xué)常識．
【答案】A
【點撥】由長和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解析】解：∵長為x步，寬比長少12步，
∴寬為（x﹣12）步．
依題意，得：x（x﹣12）＝864．
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2021 杭州模擬）如圖，在長為62米、寬為42米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪．要使草坪的面積為2400平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（　　）
A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】A
【點撥】設(shè)道路的寬為x米，利用“道路的面積”作為相等關(guān)系可列方程（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
【解析】解：設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)題意得（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
故選：A．
【點睛】本題考查的是根據(jù)實際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2023 武義縣一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的兩根分別為x1，x2，則代數(shù)式x1+x2＝　2　．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】2．
【點撥】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求則可．若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，則，．
【解析】解：∵2x2﹣4x+1＝0，
這里a＝2，b＝﹣4，
∴．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)比值的相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
8．（2022 金華模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一個根為x＝1，寫出滿足條件的實數(shù)a，b的值 　a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）　．
【考點】一元二次方程的解．
【答案】a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
【點撥】把x＝1代入方程得到a與b的關(guān)系式，確定出一對a與b的值即可．
【解析】解：把x＝1代入方程得：a+b﹣2019＝0，
當(dāng)a＝2019時，b＝0，
則滿足條件的實數(shù)a，b的值為a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
故答案為：a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
【點睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
9．（2021 嘉善縣一模）新能源汽車節(jié)能環(huán)保，越來越受到消費者的喜愛，各種品牌相繼投放市場．某地2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，銷售量逐年增加，到2020年為125.6萬輛．若年增長率x不變，則x的值是多少？根據(jù)題意可列方程為　50.7（1+x）2＝125.6　．
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】50.7（1+x）2＝125.6．
【點撥】根據(jù)2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，到2020年為125.6萬輛，若年增長率x不變，可得關(guān)于x的一元二次方程．
【解析】解：依題意，得：50.7（1+x）2＝125.6．
故答案為：50.7（1+x）2＝125.6．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2022 衢州）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：　15x（10﹣x）＝360　（不必化簡）．
【考點】一元二次方程的解；幾何體的展開圖；一元二次方程的定義．
【答案】15x（10﹣x）＝360．
【點撥】根據(jù)題意表示出長方體的長與寬，進(jìn)而表示出長方體的體積即可．
【解析】解：由題意可得：長方體的高為：15cm，寬為：（20﹣2x）÷2（cm），
則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15x（10﹣x）＝360．
故答案為：15x（10﹣x）＝360．
【點睛】此題主要考查了有實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出長方體的棱長是解題關(guān)鍵．
11．（2021 婺城區(qū)模擬）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝﹣，x2＝2．
【點撥】先移項得到（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】解：（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣1﹣1）＝0，
2x+3＝0或x﹣1﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝2．
【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
12．（2023 杭州）設(shè)一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．
【考點】根的判別式；解一元二次方程﹣公式法．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】先根據(jù)這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中選取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
選②解方程，則這個方程為：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
選③解方程，則這個方程為：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【點睛】本題主要考查的是根據(jù)一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式小于0，方程無解．
13．（2023 舟山一模）在學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系一課時老師出示了這樣一個題目：已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，求m的值．波波同學(xué)的解答過程如右框：波波的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】波波的解法不正確．正確的解法見解答．
【點撥】波波的解法沒有考慮根的判別式的意義，所以他的解法不正確．先利用根的判別式的意義得到m≤，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m2+2m﹣3＝0，解得m1＝1，m2＝﹣3，最后利用k的取值范圍確定m的值．
【解析】解：波波的解法不正確．
正確解法為：
根據(jù)題意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝3，
∴x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+（2m﹣1）+1＝3，
整理得m2+2m﹣3＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
∵m≤，
∴m的值為﹣3．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，，．也考查了根的判別式．
14．（2023 寧波模擬）在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通過圖解法能得到其中的一個正根：如圖，先畫Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝，連結(jié)CD，那么圖中某條線段的長就是一元二次方程的其中一個正根．
（1）用含a，b的代數(shù)式表示AD的長．
（2）圖中哪條線段的長是一元二次方程x2+ax＝b2的一個正根？請說明理由．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；數(shù)學(xué)常識．
【答案】（1）；
（2）線段AD的長是一元二次方程x2+ax＝b2的一個正根，理由見解析．
【點撥】（1）由勾股定理求出AB的長，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)AD＝x，則AB＝AD+BD＝x+，由勾股定理得出方程，即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝；
（2）線段AD的長是一元二次方程x2+ax＝b2的一個正根，理由如下：
設(shè)AD＝x，則AB＝AD+BD＝x+，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，
整理得：x2+ax＝b2，
∴線段AD的長是一元二次方程x2+ax＝b2的一個正根．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理以及數(shù)學(xué)常識，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
15．（2021 柯城區(qū)模擬）根據(jù)中國傳統(tǒng)習(xí)俗，過年長輩總要給家里小朋友紅包．小王統(tǒng)計了自己在2019年和2021年收到的五份“紅包”數(shù)，詳見表：
2019年“紅包”數(shù)（單位：元） 300 800 500 500 400
2021年“紅包”數(shù)（單位：元） 1000 m n 500 800
（1）求2019年收到的五份“紅包”的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)．
（2）已知小王2021年收到的五份“紅包”的平均數(shù)是720元，
①求從2019年到2021年，小王收到的“紅包”的平均數(shù)的平均年增長率；
②若小王每次收到的“紅包”都為百元的整數(shù)倍，且2021年收到的五份“紅包”的中位數(shù)是800元，最多的是1000元，當(dāng)m＞n時，求m，n的值．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；中位數(shù)；眾數(shù)．
【答案】（1）500，500，500．
（2）①20%；②m1＝800元，n1＝500元；m2＝900元，n2＝400；m3＝1000元，n3＝300元．
【點撥】（1）將數(shù)據(jù)重新排列后根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義求解可得出答案；
（2）①設(shè)平均數(shù)的平均年增長率x，可列出一元二次方程求出答案．
②根據(jù)平均數(shù)列等式，得到關(guān)于m、n的關(guān)系式，然后再利用m＞n，中位數(shù)是800，得到滿足條件得m、n．
【解析】（1）2019年“紅包”的平均數(shù)＝（300+800+500+500+400）÷5＝500（元），
眾數(shù)500元，中位數(shù)500元．
（2）①設(shè)2019年到2021年小收到的紅色的平均數(shù)的平均年增長率為x，
根據(jù)題意列方程：500（1+x）2＝720，
即（1+x）2＝1.44，
則1+x＝±1.2，
∴x＝20%或x＝﹣2.2（不合題意舍去）．
②由題意：1000+m+n+500+800＝720×5，
∴m+n＝1300．
∵m＞n，中位數(shù)是800，
∴m1＝800元，n1＝500元；
m2＝900元，n2＝400；
m3＝1000元，n3＝300元．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義，根據(jù)表格得出數(shù)據(jù)，并熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
1．（2023 永康市一模）方程x2﹣2x＝1經(jīng)過配方后，其結(jié)果正確的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1
【考點】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】A
【點撥】利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得．
【解析】解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故選：A．
【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．
2．（2023 金東區(qū)一模）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【考點】根的判別式．
【答案】A
【點撥】根據(jù)根的判別式可以求得一元二次方程x2+x﹣1＝0 的根的情況，從而可以解答本題．
【解析】解：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴一元二次方程x2+x﹣1＝0 有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
【點睛】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是由根的判別式可以判斷一元二次方程根的情況．
3．（2023 慶元縣一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方結(jié)果正確的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
【考點】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】A
【點撥】在本題中，把常數(shù)項﹣1移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)4的一半的平方．
【解析】解：把方程x2+4x﹣1＝0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2+4x＝1
方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4
配方得（x+2）2＝5．
故選：A．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
4．（2023 湖州）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（　　）
A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2
C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】D
【點撥】根據(jù)“2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛”列方程求解．
【解析】解：由題意得：20（1+x）2﹣20＝31.2，
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 溫嶺市一模）若關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣n＝0沒有實數(shù)根，則n的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
【考點】根的判別式．
【答案】D
【點撥】根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣n＝0沒有實數(shù)根，得到Δ＜0，求出n的取值范圍，再找出符合條件的n的值即可．
【解析】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣n＝0沒有實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣n）＝4+4n＜0，
解得：n＜﹣1．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程沒有實數(shù)根它的判別式小于零是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2023 金華模擬）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（　　）
A B C D
兩邊同時除以 （x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
【考點】根的判別式；解一元一次方程；一元二次方程的一般形式；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】D
【點撥】方程右邊整體移到左邊，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．
【解析】解：A．不符合解一元二次方程的方法；故A錯誤；
B．c＝3不是﹣3，故B錯誤；
C．配方時，等式兩邊應(yīng)該加4，故C錯誤，
D．x（x﹣1）＝3（x﹣1），
x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝3．故D正確；
故選：D．
【點睛】此題考查了解二元一次方程﹣因式分解法，直接開方法，公式法，以及配方法，熟練掌握各自解法是解本題的關(guān)鍵．
7．（2021 溫州模擬）若關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個根為x1＝1，x2＝3，則關(guān)于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的兩個根為（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝﹣5
C．x1＝3，x2＝5 D．x1＝3，x2＝﹣5
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】A
【點撥】根據(jù)題意可得x+2＝1或x+2＝3，解方程即可求解．
【解析】解：∵關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個根為x1＝1，x2＝3，
∴關(guān)于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的兩個根滿足x+2＝1或x+2＝3，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 北侖區(qū)一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，則m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【考點】根的判別式．
【答案】A
【點撥】利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1x2與x1+x2，已知等式整理后代入計算即可求出m的值．
【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故選：A．
【點睛】此題考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
9．（2022 臺州模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
【考點】根的判別式．
【答案】D
【點撥】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0．
【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
則k的取值范圍是k≥﹣且k≠0．
故選：D．
【點睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況．
10．（2022 寧波模擬）已知實數(shù)a≠b，且滿足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，則的值為（　　）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．
【答案】B
【點撥】根據(jù)（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的兩個根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
【解析】解：∵a、b是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的兩個根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均為負(fù)數(shù)．
因此．
故選：B．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件把a、b看成是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的兩個根．
11．（2023 金華模擬）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一個根為x＝﹣1，則b的值為 　2022　．
【考點】一元二次方程的解．
【答案】2022．
【點撥】一元二次方程x2+bx+2021＝0的一個根為x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，從而可直接求b的值．
【解析】解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案為：2022．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解根與方程的關(guān)系．
12．（2023 鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）燃放煙花爆竹是中國春節(jié)的傳統(tǒng)民俗．某品牌的煙花2013年除夕每箱進(jìn)價100元，售價250元，銷售40箱．而2014年除夕當(dāng)天和去年相比，該店的銷售量下降了4a%（a為正整數(shù)），每箱售價提高了a%，成本增加了50%，其銷售利潤僅為去年當(dāng)天利潤的50%，則a的值為　10　．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】10
【點撥】根據(jù)等量關(guān)系：2014年銷售利潤僅為2013年當(dāng)天利潤的50%列出關(guān)系式，解方程即可確定出a的值．
【解析】解：根據(jù)題意得：40（1﹣4a%）×[250（1+a%）﹣（1+50%）×100]＝40×（250﹣100）×50%，
整理得：（1﹣4a%）（100+2.5a）＝75，即（a+25）（a﹣10）＝0，
解得：a＝﹣25（舍去）或a＝10，
則a的值為10．
故答案為：10．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
13．（2023 路橋區(qū)二模）陽光體育用品商店籃球銷售價為每只100元，一次購買10只以上（含10只）可降價銷售，購買30只以上（含30只）可再次降價銷售．若兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，且一次購買30只，共需費用為2430元．若設(shè)每次降價的百分?jǐn)?shù)為x，則可列方程為 　100（1﹣x）2 30＝2430　．
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】100（1﹣x）2 30＝2430．
【點撥】根據(jù)原銷售價每只100元，連續(xù)兩次降價，兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，且一次購買30只，共需費用為2430元，列一元二次方程即可．
【解析】解：根據(jù)題意，得100（1﹣x）2 30＝2430，
故答案為：100（1﹣x）2 30＝2430．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2023 嘉善縣一模）已知2m2﹣8m﹣3＝0，，且m≠n，則＝　　．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；分式的化簡求值．
【答案】．
【點撥】根據(jù)m≠0，把方程2m2﹣8m﹣3＝0兩邊同時除以m2，然后把，看成3x2+8x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
【解析】解：由題意知：m≠0，n≠0，
把2m2﹣8m﹣3＝0變形為，
∵，，且m≠n，
∴把，看成3x2+8x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
15．（2023 吳興區(qū)一模）解方程：x（x﹣2）﹣3＝0．
【考點】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】x1＝3，x2＝﹣1．
【點撥】整理為一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解析】解：方程整理，得：x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
則x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
16．（2021 西湖區(qū)二模）解方程：（x﹣5）（3x﹣2）＝10．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝0，x2＝．
【點撥】先將方程整理為一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解析】整理為一般式，得：3x2﹣17x＝0，
∴x（3x﹣17）＝0，
則x＝0或3x﹣17＝0，
解得x1＝0，x2＝．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
17．（2021 浙江）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：
小敏： 兩邊同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 則x＝6． 小霞： 移項，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
【考點】換元法解一元二次方程；解一元一次方程；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】小敏：沒有考慮x﹣3＝0的情況；
小霞：提取公因式時出現(xiàn)了錯誤．
利用因式分解法解方程即可．
【解析】解：小敏：×；
小霞：×．
正確的解答方法：移項，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程時可以采取公式法，因式分解法，配方法以及換元法等，至于選擇哪一解題方法，需要根據(jù)方程的特點進(jìn)行選擇．
18．（2023 拱墅區(qū)三模）如圖，點A與點C表示的數(shù)分別為1和3，宸宸同學(xué)在數(shù)軸上以C為直角頂點作Rt△ABC，BC＝1，再以A為圓心，AB為半徑畫圓，交數(shù)軸于D、E兩點，蓮蓮?fù)瑢W(xué)說，若D、E分別表示m和n，我發(fā)現(xiàn)x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一個根，琮琮說x＝n一定不是此方程的根．
（1）寫出m與n表示的數(shù)
（2）求出b的值
（3）你認(rèn)為琮琮說的對嗎？為什么？
【考點】一元二次方程的解；實數(shù)與數(shù)軸．
【答案】（1）m＝+1，n＝﹣+1；
（2）b＝﹣2；
（3）琮琮說得不對．
【點撥】（1）先利用勾股定理計算出AB＝，則OE＝AE﹣OA＝﹣1，OD＝AD+OA＝+1，然后表示出點D、E表示的數(shù)，從而得到m、n的值；
（2）把x＝+1代入方程x2+bx﹣4＝0得（+1）2+（+1）b﹣4＝0，然后解關(guān)于b的方程即可；
（3）把x＝﹣+1代入方程得（﹣+1）2﹣2（﹣+1）﹣4＝5＝0，所以可判斷x＝n一定是此方程的根，原式可判斷琮琮說得不對．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴AE＝AD＝AB＝，
∵OA＝1，
∴OE＝AE﹣OA＝﹣1，OD＝AD+OA＝+1，
∴D點表示的數(shù)為+1，即m＝+1，
E點表示的數(shù)為﹣+1，即n＝﹣+1；
（2）把x＝+1代入方程x2+bx﹣4＝0得（+1）2+（+1）b﹣4＝0，
解得b＝﹣2，
即b的值為﹣2；
（3）琮琮說得不對．
理由如下：
把x＝﹣+1代入方程得（﹣+1）2﹣2（﹣+1）﹣4＝5﹣2+1+2﹣2﹣4＝0，
所以x＝n一定是此方程的根．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
19．（2021 菏澤）列方程（組）解應(yīng)用題
端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：
小王：該水果的進(jìn)價是每千克22元；
小李：當(dāng)銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？
【考點】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】設(shè)每千克降低x元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【解析】解：設(shè)每千克降低x元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要盡可能讓顧客得到實惠，
∴x＝9，
∴售價為38﹣9＝29元/千克．
答：水果的銷售價為每千克29元時，超市每天可獲得銷售利潤3640元．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
20．（2021 永嘉縣校級模擬）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（長方形ABCD），飼養(yǎng)場的一面靠墻（墻最大可用長度為27米），另三邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄），建成后木欄總長57米，設(shè)飼養(yǎng)場（長方形ABCD）的寬為a米．
（1）飼養(yǎng)場的長為　（60﹣3a）　米（用含a的代數(shù)式表示）．
（2）若飼養(yǎng)場的面積為288m2，求a的值．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】（1）（60﹣3a）；
（2）a＝12．
【點撥】（1）用總長減去3a后加上三個1米寬的門即為所求；
（2）由（1）表示飼養(yǎng)場面積計算即可，注意a的范圍討論．
【解析】解：（1）由已知飼養(yǎng)場的長為57﹣2a﹣（a﹣1）+2＝60﹣3a；
故答案為：（60﹣3a）；
（2）由（1）飼養(yǎng)場面積為a（60﹣3a）＝288，
解得a＝12或a＝8；
當(dāng)a＝8時，60﹣3a＝60﹣24＝36＞27，
故a＝8舍去，
則a＝12．
【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
21．（2021 重慶）某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價比B產(chǎn)品的銷售單價高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價和為500元．
（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價分別是多少元？
（2）隨著5G時代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時期．今年，該工廠計劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計A產(chǎn)品在售價不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加a%．求a的值．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．
【答案】（1）A產(chǎn)品的銷售單價為300元，B產(chǎn)品的銷售單價為200元；
（2）a＝20．
【點撥】（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價為（x+100）元，根據(jù)1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價和為500元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)去年每個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)總銷售額＝銷售單價×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，利用換元法解方程即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價為（x+100）元，
依題意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A產(chǎn)品的銷售單價為300元，B產(chǎn)品的銷售單價為200元．
（2）設(shè)去年每個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，
依題意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
設(shè)a%＝m，則原方程可化簡為5m2﹣m＝0，
解得：m1＝，m2＝0（不合題意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值為20．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
22．（2023 大渡口區(qū)模擬）某社區(qū)在開展“美化社區(qū)，幸福家園”活動中，計劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長），用40米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，AD兩邊），設(shè)AB＝x米．
（1）若花園的面積為300米2，求x的值；
（2）若在直角墻角內(nèi)點P處有一棵桂花樹，且與墻BC，CD的距離分別是10米，24米，要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），則花園的面積能否為400米2？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．
【考點】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】（1）x的值為10或30；
（2）花園的面積不能為400米2，理由見解析．
【點撥】（1）由矩形面積公式得出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意可得方程x（40﹣x）＝400，求出x的值，然后再根據(jù)P處這棵樹是否被圍在花園內(nèi)進(jìn)行分析即可．
【解析】解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（40﹣x）米，
由題意得：x（40﹣x）＝300，
解得：x1＝10，x2＝30，
即x的值為10或30；
（2）花園的面積不能為400米2，理由如下：
由題意得：x（40﹣x）＝400，
解得：x1＝x2＝20，
當(dāng)x＝20時，40﹣x＝40﹣20＝20，
即當(dāng)AB＝20米，BC＝20米＜24米，這棵樹沒有被圍在花園內(nèi)，
∴將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），則花園的面積不能為400米2．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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