資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二單元 方程（組）與不等式（組）
第一節 一次方程（組）及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等式的基本性質 ☆ 一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”. 中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合性較強的一類考點. 預計2024年各地中考還將繼續考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．
考點2一次方程（組）的概念 ☆
考點3一次方程（組）的解法 ☆☆
考點4一次方程（組）的應用 ☆☆☆
1．一次方程（組）的相關概念：
(1)方程是指含有未知數的 ．
(2)只含有 未知數，并且未知數的指數是 ，這樣的方程叫做一元一次方程．
（3）二元一次方程：含有兩個未知數且含有未知數的項的次數只有一次的整式方程.
(4) 二元一次方程組：由兩個一次方程組成，并且含有 的方程組，叫做二元一次方程組．
(5)方程的解： 使方程左右兩邊的值 的未知數的值叫做方程的解．
2.等式的性質：
（1）等式的兩邊都加上(或減去) ，所得結果仍是等式；
（2）等式的兩邊都乘或都除以 ，所得結果仍是等式．
3．解一元一次方程的步驟：
(1) ：在方程兩邊都乘各分母的 ，注意不要漏乘．
(2) ：注意括號前的系數與符號．
(3) ：把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項移到另一邊，注意移項要 ．
(4) ：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數，得x＝．
4.解二元一次方程組的一般方法
解二元一次方程組的基本思想是消元，有 消元法與 消元法，還有一種常用的解法是換元法．
(1)代入法：將方程組中一個方程的某個未知數用 含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最后求得方程組得解.
（2）加減法：通過將方程組中兩個方程的某一未知數的系數轉化為相同或相反數，再把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程組化為一元一次方程，最后求得方程組得解.
5．一次方程（組）的應用：
列方程（組）解應用題的步驟：① ；② ；③找出能夠包含未知數的 ；④列出 ；⑤ ；⑥ ．
■考點一　等式的基本性質
◇典例1：（2023 衢江區三模）已知a＝b，下列等式不一定成立的是（　?。?br/>A．5a＝5b B．a+4＝b+4 C．b﹣2＝a﹣2 D．
◆變式訓練
1．（2022 青海）根據等式的性質，下列各式變形正確的是（　?。?br/>A．若，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b
C．若a2＝b2，則a＝b D．若，則x＝﹣2
2．（2021 安徽）設a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
■考點二 一次方程（組）的相關概念
◇典例2：1．（2023 安吉縣一模）已知3是關于x的方程2x﹣a＝1的解，則a的值為（　?。?br/>A．﹣5 B．5 C．7 D．﹣7
2．（2022 上城區一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2021 杭州一模）已知﹣2是關于x的方程2x+a＝1的解，則a＝　 　．
2．（2021 涼山州）已知是方程ax+y＝2的解，則a的值為　 ?。?br/>3．（2023 舟山模擬）已知是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣2023的值為 　 ?。?br/>■考點三 一次方程（組）的解法
◇典例3：1．（2023 杭州一模）解方程：．
2．（2021 嘉興二模）解方程組．
小海同學的解題過程如下：
判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．
◆變式訓練
1．（2023 溫州一模）將方程去分母，結果正確的是（　?。?br/>A．3（x+3）+6＝2（x﹣2） B．3（x+3）+1＝2（x﹣2）
C．3x+3+1＝2x﹣2 D．3x+3+6＝2x﹣2
2．（2023 臨平區二模）以下是圓圓解方程的解答過程．
解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1，
去括號，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1，
移項，得6x﹣4x＝1﹣1+1，
合并同類項，得2x＝1，
兩邊同除以，得．
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
3．（2022 婺城區模擬）解方程組：．
■考點四　一次方程（組）的應用
◇典例4：1．（2023 龍游縣一模）一家商店某種衣服按進價提高50%后標價，又以八折優惠賣出，結果每件衣服獲利100元，則這件衣服的進價是　　元．
2．（2023 浙江模擬）某商場第1次用39萬元購進A，B兩種商品，銷售完后獲得利潤6萬元，它們的進價和售價如表（總利潤＝單件利潤×銷售量）：
價格 商品 進價（元/件） 售價（元/件）
A 1200 1350
B 1000 1200
（1）該商場第1次購進A，B兩種商品各多少件？
（2）商場第2次以原進價購進A，B兩種商品，購進A商品的件數不變，而購進B商品的件數是第1次的2倍，A商品按原售價銷售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經營活動獲得利潤等于5.4萬元，則B種商品是按幾折銷售的？
◆變式訓練
1．（2023 余姚市二模）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題；今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？設雞x只，根據題意，可列出的方程是（　　）
A．4x+2（35﹣x）＝94 B． C．2x+4（35﹣x）＝94 D．
2．（2023 柯橋區一模）甲、乙兩個足球隊連續進行對抗賽，規定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，共賽10場，甲隊保持不敗，得22分，甲隊勝 　6　場．
3．（2022 椒江區二模）李師傅從杭州駕車到椒江辦事，汽車在高速路段平均油耗為6升/百公里（100公里油耗為6升），在非高速路段平均油耗為7.5升/百公里，從杭州到椒江的總油耗為16.5升，總路程為270公里．
（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；
（2）若汽油價格為8元/升，高速路段過路費為0.45元/公里，求此次杭州到椒江的單程交通費用（交通費用＝油費+過路費）．
1．（2022 下城區校級二模）下列說法正確的是（　　）
A．若a＝b，則a+c＝b﹣c B．若a＝b，則ac2＝bc2
C．若＝，則a＝b D．若ac2＝bc2，則a＝b
2．（2023 衢州）下列各組數滿足方程2x+3y＝8的是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2021 溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（　　）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
4．（2021 蒼南縣模擬）若x、y滿足方程組，則x﹣y的值為（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2023 錢塘區三模）我國古代數學著作《孫子算經》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數和車數各多少？設車x輛，根據題意，可列出的方程是（　?。?br/>A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9
6．（2023 紹興）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 鎮海區校級一模）關于x，y的方程組（其中a，b是常數）的解為，則方程組的解為（　?。?br/>A． B． C． D．
8．（2023 麗水模擬）已知關于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，則m的值為 　?。?br/>9．（2023 長興縣校級一模）若關于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一個解是，則a＝　?。?br/>10．（2021 浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數解 　　．
11．（2021 溫州三模）某商品的買入價為a元，出售價為50元，則毛利率為（0＜a＜50）．若用p的代數式表示a＝　?。?br/>12．（2022 黃巖區一模）方程組的解是 　　．
13．（2023 永康市一模）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了6小時，則戴宗的速度為 　　里/小時．
14．（2021 蕭山區模擬）設M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，則P＝　?。?br/>15．（2021 余杭區二模）已知x＝﹣2是關于x的方程（1﹣2ax）＝x+a的解，求a的值．
16．（2023 衢州）小紅在解方程時，第一步出現了錯誤：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處．
（2）寫出你的解答過程．
17．（2023 臺州）解方程組：．
18．（2021 臺州）小華輸液前發現瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標有“15滴/毫升”．輸液開始時，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時調整了藥液流速，輸液20分鐘時，瓶中的藥液余量為160毫升．
（1）求輸液10分鐘時瓶中的藥液余量；
（2）求小華從輸液開始到結束所需的時間．
19．（2021 吳興區二模）織里童裝城某拉鏈專賣店出售甲、乙兩種拉鏈，已知該店進貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．
（1）求出甲、乙兩種拉鏈的進價；
（2）已知專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費45元，求有哪幾種購買方案；
（3）在（2）條件下，不同方案專賣店獲利是否發生變化，如果變化，請求出最大值；如果不變，請說明理由．
1．（2020 三門縣一模）已知x＝y，則下列等式不一定成立的是（　?。?br/>A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky
2．（2023 永州）關于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
3．（2021 下城區一模）若，則（　?。?br/>A．3x＝2+1 B．3x＝1﹣2 C．3x﹣1＝ D．3x﹣1＝1
4．（2022 濱州）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U、導體的電阻R之間有以下關系：，去分母得IR＝U，那么其變形的依據是（　?。?br/>A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
5．（2023 平陽縣一模）解方程，以下去分母正確的是（　?。?br/>A．4（x+2）+3（2x﹣1）＝12 B．4（x+2）+3（2x﹣1）＝1
C．x+2+2x﹣1＝12 D．3（x+2）+4（2x﹣1）＝12
6．（2021 寧波模擬）若，其中a，b，c是實數，則（　　）
A．b+c＝a B． C． D．b+c＝abc
7．（2023 溫州三模）若方程組的解也是方程3x+ky＝10的解，則k的值為（　?。?br/>A．7 B． C．10 D．15
8．（2021 杭州）某景點今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次．設該景點今年四月到五月接待游客人次的增長率為x（x＞0），則（　?。?br/>A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5 C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
9．（2023 寧波）茶葉作為浙江省農業十大主導產業之一，是助力鄉村振興的民生產業．某村有土地60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2022 諸暨市二模）已知是方程4x﹣ay＝7的一個解，那么a的值是 　　．
11．（2022 松陽縣一模）已知關于x，y的二元一次方程組（a，b為實數）．
（1）若x＝2a﹣1，則a的值是 　　；
（2）若x，y同時滿足ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，則a+b的值是 　?。?br/>12．（2022 定海區一模）《九章算術》是我國古代數學名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買一只羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數、羊價各是多少？設羊價為x錢，所列方程是 　?。?br/>13．（2022 舟山二模）如圖，用圖1中的a張長方形和b張正方形紙板作側面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒，若a+b的值在285和315之間（不含285與315），且用完這些紙板做豎式紙盒比橫式紙盒多30個，則a的值可能是 　 ?。?br/>14．（2021 杭州模擬）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）．
15．（2022 臺州）解方程組：．
16．（2021 衢江區一模）對于方程，某同學解法如下：
解：方程兩邊同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括號，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同類項，得﹣x﹣3＝1③
移項，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答過程從第 　　步開始出現錯誤．
（2）請寫出正確的解答過程．
17．（2023 淳安縣一模）用消元法解方程組時，兩位同學的消元方法如下：
小吳解法：由①﹣②，得3x＝3．
小嚴解法：由②，得3x+（x﹣3y）＝2．③
把①代入③，得3x+5＝2．
（1）上述兩位同學的消元過程是否有誤，請判斷．
（2）請選擇一種你喜歡的方法，解出方程組．
18．（2022 永嘉縣三模）某品牌掃地機數據如表（開始工作時，已完成充電）．
剩余電量 掃地速度（平方米/分鐘） 工作時間（分鐘）
≥55% 一檔 60
55%﹣5% 二檔
≤5% 回充 30
小銘記錄了該品牌掃地機的工作情況，如表．
工作時間（分鐘） 5 16 28 50 52 57
掃地面積（平方米） 8.75 28 49 78.75 80.5 84.875
（1）設一檔，二檔掃地速度分別為a平方米/分鐘，b平方米/分鐘，求a，b的值．
（2）設掃地速度為一檔時的最長連續工作時間為t分鐘，求t的值．
（3）若掃地機工作100分鐘，求它完成的掃地面積．
19．（2021 婺城區模擬）為加快推進“人工智能實驗區”的工作，信息中心計劃購進一批機器人套件和3D打印機．經過市場考察得知，購買1份機器人套件和2臺3D打印機需要3.5萬元，購買2份機器人套件和1臺3D打印機需要2.5萬元．
（1）求每份機器人套件、每臺3D打印機各多少萬元？
（2）根據區內學校實際，需購進機器人套件和3D打印機共300臺，總費用不超過300萬元，但不低于280萬元，請你通過計算求出費用最低的購買方案．
20．（2023 甌海區一模）
如何分配工作，使公司支付的總工資最少
素材1 某包裝公司承接到21600個旅行包的訂單，策劃部準備將其任務分配給甲、乙兩個車間去完成．由于他們的設備與人數不同，甲車間每天生產的總數是乙車間每天生產總數的2倍，甲車間單獨完成這項工作所需的時間比乙車間單獨完成少18天．
素材2 經調查，甲車間每人每天生產60個旅行包，乙車間每人每天生產40個旅行包．為提高工作效率，人事部到甲、乙兩車間抽走相等數量的工人．策劃部為了使抽走后甲、乙兩車間每天生產的總數之和保持不變，余下的所有工人每天生產個數需要提高20%．因此，甲車間每天工資提高到3400元，乙車間每天工資提高到1560元．
問題解決
任務1 確定工作效率 求甲、乙車間原來每天分別生產多少個旅行包？
任務2 探究抽走人數 甲、乙每個車間被抽走了多少人？
任務3 擬定設計方案 甲、乙兩車間抽走相等數量的工人后，按每人每天生產個數提高20%計算，如何安排甲、乙兩車間工作的天數，使公司在完成該任務時支付的總工資最少？最少需要多少元？
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第二單元 方程（組）與不等式（組）
第一節 一次方程（組）及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等式的基本性質 ☆ 一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”. 中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合性較強的一類考點. 預計2024年各地中考還將繼續考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．
考點2一次方程（組）的概念 ☆
考點3一次方程（組）的解法 ☆☆
考點4一次方程（組）的應用 ☆☆☆
1．一次方程（組）的相關概念：
(1)方程是指含有未知數的等式．
(2)只含有一個未知數，并且未知數的指數是一次，這樣的方程叫做一元一次方程．
（3）二元一次方程：含有兩個未知數且含有未知數的項的次數只有一次的整式方程.
(4) 二元一次方程組：由兩個一次方程組成，并且含有兩個未知數的方程組，叫做二元一次方程組．
(5)方程的解： 使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解．
2.等式的性質：
（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或式，所得結果仍是等式；
（2）等式的兩邊都乘或都除以同一個數或式(除數不能為0)，所得結果仍是等式．
3．解一元一次方程的步驟：
(1)去分母：在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數，注意不要漏乘．
(2)去括號：注意括號前的系數與符號．
(3)移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項移到另一邊，注意移項要改變符號．
(4)合并同類項：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數，得x＝．
4.解二元一次方程組的一般方法
解二元一次方程組的基本思想是消元，有代入消元法與加減消元法，還有一種常用的解法是換元法．
(1)代入法：將方程組中一個方程的某個未知數用 含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最后求得方程組得解.
（2）加減法：通過將方程組中兩個方程的某一未知數的系數轉化為相同或相反數，再把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程組化為一元一次方程，最后求得方程組得解.
5．一次方程（組）的應用：
列方程（組）解應用題的步驟：①審題；②設元；③找出能夠包含未知數的等量關系；④列出方程組 ；⑤求出方程組的解；⑥驗根并作答．
■考點一　等式的基本性質
◇典例1：（2023 衢江區三模）已知a＝b，下列等式不一定成立的是（　?。?br/>A．5a＝5b B．a+4＝b+4 C．b﹣2＝a﹣2 D．
【考點】等式的性質．
【答案】D
【點撥】根據等式的性質，分別判斷即可．
【解析】解：∵a＝b，
∴5a＝5b，
故A不符合題意，
∵a＝b，
∴a+4＝b+4，
故B不符合題意；
∵a＝b，
∴b﹣2＝a﹣2，
故C不符合題意；
∵a＝b，
∴當c＝0時不成立，故D符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 青海）根據等式的性質，下列各式變形正確的是（　?。?br/>A．若，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b
C．若a2＝b2，則a＝b D．若，則x＝﹣2
【考點】等式的性質．
【答案】A
【點撥】根據等式的性質，進行計算逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、若，則a＝b，故A符合題意；
B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；
C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；
D、，則x＝﹣18，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵．
2．（2021 安徽）設a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是（　?。?br/>A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【考點】等式的性質．
【答案】D
【點撥】根據等式的基本性質，對已知等式進行變形即可．
【解析】解：∵，
∴5b＝4a+c，
在等式的兩邊同時減去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的兩邊同時乘﹣1，則5（a﹣b）＝a﹣c．
故選：D．
【點睛】本題主要考查等式的基本性質，結合已知條件及選項，對等式進行合適的變形是解題關鍵．
■考點二 一次方程（組）的相關概念
◇典例2：1．（2023 安吉縣一模）已知3是關于x的方程2x﹣a＝1的解，則a的值為（　?。?br/>A．﹣5 B．5 C．7 D．﹣7
【考點】一元一次方程的解．
【答案】B
【點撥】將x＝3代入方程計算即可求出a的值．
【解析】解：將x＝3代入方程2x﹣a＝1得：6﹣a＝1，
解得：a＝5．
故選：B．
【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
2．（2022 上城區一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（　　）
A． B． C． D．
【考點】二元一次方程的解．
【答案】C
【點撥】把各選項代入方程，驗證可得結論．
【解析】解：當時，﹣8﹣10＝﹣12≠2，故A選項不是二元一次方程的解；
當時，﹣4﹣2＝﹣6≠2，故B選項不是二元一次方程的解；
當時，4﹣2＝2，故C選項是二元一次方程的解；
當時，8+6＝14≠2，故D選項不是二元一次方程的解；
故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程解的驗證辦法是解決本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2021 杭州一模）已知﹣2是關于x的方程2x+a＝1的解，則a＝　5?。?br/>【考點】一元一次方程的解．
【答案】5
【點撥】把x＝﹣2代入方程即可得到一個關于a的方程，即可求解．
【解析】解：把x＝﹣2代入方程，得：﹣4+a＝1，
解得：a＝5．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了方程的解的定義，理解定義是關鍵．
2．（2021 涼山州）已知是方程ax+y＝2的解，則a的值為　﹣1　．
【考點】二元一次方程的解．
【答案】﹣1．
【點撥】把方程的解代入方程，得到關于a的一元一次方程，解方程即可．
【解析】解：把代入到方程中得：a+3＝2，
∴a＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到關于a的一元一次方程是解題的關鍵．
3．（2023 舟山模擬）已知是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣2023的值為 　﹣2017?。?br/>【考點】二元一次方程的解．
【答案】﹣2017．
【點撥】根據二元一次方程解的定義可得a+2b＝3，再將2a+4b﹣2023化成2（a+2b）﹣2023，整體代入計算即可．
【解析】解：∵是方程ax+by＝3的解，
∴a+2b＝3，
∴2a+4b﹣2023＝2（a+2b）﹣2023
＝6﹣2023
＝﹣2017，
故答案為：﹣2017．
【點睛】本題考查二元一次方程解，理解二元一次方程解的定義是正確解答的前提．
■考點三 一次方程（組）的解法
◇典例3：1．（2023 杭州一模）解方程：．
【考點】解一元一次方程．
【答案】x＝1.5．
【點撥】根據解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，求解即可．
【解析】解：去分母，得2（3x﹣2）﹣6＝5﹣4x，
去括號，得6x﹣4﹣6＝5﹣4x，
移項，合并同類項，得10x＝15，
系數化為1，得x＝1.5．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．
2．（2021 嘉興二模）解方程組．
小海同學的解題過程如下：
判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】（1），（2），（3）．
【點撥】第（1）步，移項沒有變號，第（2）步沒有用乘法分配律，去括號也錯誤了，第（3）步移項沒有變號，寫出正確的解答過程即可．
【解析】解：錯誤的是（1），（2），（3），
正確的解答過程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程組的解為．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉化為一元方程是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 溫州一模）將方程去分母，結果正確的是（　?。?br/>A．3（x+3）+6＝2（x﹣2） B．3（x+3）+1＝2（x﹣2）
C．3x+3+1＝2x﹣2 D．3x+3+6＝2x﹣2
【考點】解一元一次方程．
【答案】A
【點撥】根據等式的性質兩邊都乘以6即可去掉分母．
【解析】解：，
去分母，得3（x+3）+6＝2（x﹣2）．
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．
2．（2023 臨平區二模）以下是圓圓解方程的解答過程．
解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1，
去括號，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1，
移項，得6x﹣4x＝1﹣1+1，
合并同類項，得2x＝1，
兩邊同除以，得．
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【考點】解一元一次方程；等式的性質．
【答案】錯誤，正確的解答過程見解答．
【點撥】根據解一元一次方程的基本步驟可得答案．
【解析】解：圓圓的解答過程錯誤，
正確的解答過程如下：
，
去分母，得2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1），
去括號，得6x﹣2＝6﹣4x+1，
移項，得6x+4x＝6+1+2，
合并同類項，得10x＝9，
兩邊同除以10，得x＝．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，能正確根據等式的性質進行變形是解此題的關鍵．
3．（2022 婺城區模擬）解方程組：．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】．
【點撥】①×2+②得出9x＝36，求出x，再把x＝4代入②求出y即可．
【解析】解：，
①×2+②，得9x＝36，
解得：x＝4，
把x＝4代入②，得4﹣2y＝6，
解得：y＝﹣1，
所以方程組的解是．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．
■考點四　一次方程（組）的應用
◇典例4：1．（2023 龍游縣一模）一家商店某種衣服按進價提高50%后標價，又以八折優惠賣出，結果每件衣服獲利100元，則這件衣服的進價是　500　元．
【考點】一元一次方程的應用．
【答案】500
【點撥】設這件衣服的進價x元，標價為（1+50%）x，根據題意可得等量關系：標價×八折﹣進價＝利潤，根據等量關系列出方程即可．
【解析】解：設這件衣服的進價x元，由題意得：
（1+50%）x×80%﹣x＝100，
解得：x＝500，
即：這件衣服的進價500元．
故答案為：500．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．
2．（2023 浙江模擬）某商場第1次用39萬元購進A，B兩種商品，銷售完后獲得利潤6萬元，它們的進價和售價如表（總利潤＝單件利潤×銷售量）：
價格 商品 進價（元/件） 售價（元/件）
A 1200 1350
B 1000 1200
（1）該商場第1次購進A，B兩種商品各多少件？
（2）商場第2次以原進價購進A，B兩種商品，購進A商品的件數不變，而購進B商品的件數是第1次的2倍，A商品按原售價銷售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經營活動獲得利潤等于5.4萬元，則B種商品是按幾折銷售的？
【考點】二元一次方程組的應用；一元一次方程的應用．
【答案】（1）該商場第1次購進A商品200件，B商品150件；（2）B種商品是打9折銷售的．
【點撥】（1）設該商場第1次購進A商品x件，購進B商品y件，根據“該商場第1次用39萬元購進A、B兩種商品．銷售完后獲得利潤6萬元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設B種商品是打m折銷售，根據第2次經營活動獲得利潤等于54000元，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．
【解析】解：（1）設該商場第1次購進A商品x件，購進B商品y件，
依題意，得：，
解得：．
答：該商場第1次購進A商品200件，B商品150件．
（2）設B種商品是打m折銷售，
依題意，得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200×﹣1000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B種商品是打9折銷售的．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程．
◆變式訓練
1．（2023 余姚市二模）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題；今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？設雞x只，根據題意，可列出的方程是（　?。?br/>A．4x+2（35﹣x）＝94 B． C．2x+4（35﹣x）＝94 D．
【考點】由實際問題抽象出一元一次方程；數學常識．
【答案】C
【點撥】設雞x只，則兔（35﹣x）只，根據共有“94條腿”，即可列出相應的方程．
【解析】解，設雞x只，則兔（35﹣x）只，
由題意可得：2x+4（35﹣x）＝94，
故選：C．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系，列出相應的方程．
2．（2023 柯橋區一模）甲、乙兩個足球隊連續進行對抗賽，規定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，共賽10場，甲隊保持不敗，得22分，甲隊勝 　6　場．
【考點】一元一次方程的應用．
【答案】6．
【點撥】設甲勝了x場，根據“共賽10場，甲隊保持不敗，得22分”列出方程并解答．
【解析】解：設甲勝了x場，
由題意：3x+（10﹣x）＝22，
解得x＝6，
甲隊勝了6場，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出方程．
3．（2022 椒江區二模）李師傅從杭州駕車到椒江辦事，汽車在高速路段平均油耗為6升/百公里（100公里油耗為6升），在非高速路段平均油耗為7.5升/百公里，從杭州到椒江的總油耗為16.5升，總路程為270公里．
（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；
（2）若汽油價格為8元/升，高速路段過路費為0.45元/公里，求此次杭州到椒江的單程交通費用（交通費用＝油費+過路費）．
【考點】二元一次方程組的應用．
【答案】（1）此次杭州到椒江高速路段的路程為250公里；
（2）244.5元．
【點撥】（1）設此次杭州到椒江高速路段的路程為x公里，則非高速路段的路程為y公里，由題意：從杭州到椒江的總油耗為16.5升，總路程為270公里．列出二元一次方程，解方程組即可；
（2）求出此次杭州到椒江的單程油費和過路費，即可解決問題．
【解析】解：（1）設此次杭州到椒江高速路段的路程為x公里，則非高速路段的路程為y公里，
由題意得：，
解得：，
答：此次杭州到椒江高速路段的路程為250公里；
（2）此次杭州到椒江的單程油費為：8×16.5＝132（元），
此次杭州到椒江的單程過路費為：0.45×250＝112.5（元），
∴此次杭州到椒江的單程交通費用為：132+112.5＝244.5（元），
答：此次杭州到椒江的單程交通費用為244.5元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
1．（2022 下城區校級二模）下列說法正確的是（　?。?br/>A．若a＝b，則a+c＝b﹣c B．若a＝b，則ac2＝bc2
C．若＝，則a＝b D．若ac2＝bc2，則a＝b
【考點】等式的性質．
【答案】B
【點撥】根據等式的性質逐個判斷即可．
【解析】解：A．∵a＝b，
∴a+c＝b+c，故本選項不符合題意；
B．∵a＝b，
∴ac2＝bc2，故本選項符合題意；
C．∵＝，
∴a2＝b2，
∴a＝±b，故本選項不符合題意；
D．當c＝0時，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質，能熟記等式的性質是解此題的關鍵，注意：等式的性質1：等式的兩邊都加（或減）同一個數（或式子），等式仍成立；等式的性質2：等式的兩邊都乘同一個數（或式子），等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數，等式仍成立．
2．（2023 衢州）下列各組數滿足方程2x+3y＝8的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】A
【點撥】代入x，y的值，找出方程左邊＝方程右邊的選項，即可得出結論．
【解析】解：A．當x＝1，y＝2時，方程左邊＝2×1+3×2＝8，方程右邊＝8，
∴方程左邊＝方程右邊，選項A符合題意；
B．當x＝2，y＝1時，方程左邊＝2×2+3×1＝7，方程右邊＝8，7≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項B不符合題意；
C．當x＝﹣1，y＝2時，方程左邊＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右邊＝8，4≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項C不符合題意；
D．當x＝2，y＝4時，方程左邊＝2×2+3×4＝16，方程右邊＝8，16≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，牢記“一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解”是解題的關鍵．
3．（2021 溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（　?。?br/>A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
【考點】解一元一次方程．
【答案】D
【點撥】可以根據乘法分配律先將2乘進去，再去括號．
【解析】解：根據乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括號得：﹣4x﹣2＝x，
故選：D．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，去括號法則，解題的關鍵是：括號前面是減號，把減號和括號去掉，括號的各項都要變號．
4．（2021 蒼南縣模擬）若x、y滿足方程組，則x﹣y的值為（　?。?br/>A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組．
【答案】D
【點撥】方程組兩方程相減即可求出結果．
【解析】解：，
①﹣②得：3x﹣3y＝6，
則x﹣y＝2，
故選：D．
【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
5．（2023 錢塘區三模）我國古代數學著作《孫子算經》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數和車數各多少？設車x輛，根據題意，可列出的方程是（　?。?br/>A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9
【考點】由實際問題抽象出一元一次方程；數學常識．
【答案】D
【點撥】設車x輛，根據乘車人數不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【解析】解：設車x輛，根據題意得：3（x﹣2）＝2x+9．
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
6．（2023 紹興）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（　?。?br/>A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組；數學常識．
【答案】B
【點撥】根據“大容器5個，小容器1個，總容量為3斛；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛”，列出關于x、y的二元一次方程組即可．
【解析】解：由題意得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
7．（2023 鎮海區校級一模）關于x，y的方程組（其中a，b是常數）的解為，則方程組的解為（　?。?br/>A． B． C． D．
【考點】二元一次方程組的解．
【答案】C
【點撥】由原方程組的解及兩方程組的特點知，x+y、x﹣y分別相當于原方程組中的x、y，據此列出方程組，解之可得．
【解析】解：由題意知，，
①+②，得：2x＝7，x＝3.5，
①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，
所以方程組的解為，
故選：C．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組，解題的關鍵是得出兩方程組的特點并據此得出關于x、y的方程組．
8．（2023 麗水模擬）已知關于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，則m的值為 　2　．
【考點】一元一次方程的解．
【答案】2
【點撥】直接把x的值代入方程求出答案．
【解析】解：∵關于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，
∴2×3+m﹣8＝0，
解得：m＝2．
故答案為：2．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的解，正確解方程是解題關鍵．
9．（2023 長興縣校級一模）若關于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一個解是，則a＝　4?。?br/>【考點】二元一次方程的解．
【答案】4
【點撥】把x與y的值代入方程計算即可求出a的值．
【解析】解：把代入方程得：9﹣2a＝1，
解得：a＝4，
故答案為：4．
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
10．（2021 浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數解 ?。ù鸢覆晃ㄒ唬。?br/>【考點】二元一次方程的解．
【答案】（答案不唯一）．
【點撥】把y看作已知數求出x，確定出整數解即可．
【解析】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
當y＝1時，x＝11，
則方程的一組整數解為．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
11．（2021 溫州三模）某商品的買入價為a元，出售價為50元，則毛利率為（0＜a＜50）．若用p的代數式表示a＝　?。?br/>【考點】等式的性質；解二元一次方程．
【答案】．
【點撥】利用等式的性質將毛利率的公式進行變形，然后將p看作常數，求出a的值．
【解析】解：等式左右兩邊同時乘以a，可得：ap＝50﹣a，
移項，可得：ap+a＝50，
合并同類項，可得：（p+1）a＝50，
系數化1，可得：a＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查等式的性質，解二元一次方程，掌握等式的性質，將字母p看作常數解關于a的方程是解題關鍵．
12．（2022 黃巖區一模）方程組的解是 　　．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】．
【點撥】應用加減消元法，求出方程組的解即可．
【解析】解：，
①﹣②，可得﹣x＝﹣4，
解得x＝4，
把x＝4代入①，可得：4+y＝1，
解得y＝﹣3，
∴原方程組的解是．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應用．
13．（2023 永康市一模）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了6小時，則戴宗的速度為 　60　里/小時．
【考點】二元一次方程組的應用；一元一次方程的應用．
【答案】60
【點撥】設戴宗的速度為x里/小時，風速為y里/小時，根據順風行走的速度等于戴宗的速度加上風速，逆風行走的速度等于戴宗的速度減去風速，列出二元一次方程組，即可求解．
【解析】解：戴宗順風行走的速度為：180÷2＝90（里/小時），
戴宗逆風行走的速度為：180÷6＝30（里/小時），
設戴宗的速度為x里/小時，風速為y里/小時，
由題意得：，
解得：，
∴設戴宗的速度為60里/小時，
答：戴宗的速度為60里/小時．
故答案為：60．
【點睛】本題考查二元一次方程組解決實際問題，解題的關鍵是能夠根據題意找到相應的等量關系．
14．（2021 蕭山區模擬）設M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，則P＝　6　．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】6．
【點撥】根據題意得到關于x、y的方程組，利用加減消元法求得方程組的解，即可求得P的值，
【解析】解：由題意得，
①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，
①﹣③×2得﹣y＝3，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，
∴P＝xy＝﹣2×（﹣3）＝6，
故答案為6．
【點睛】本題考查了解一元二次方程組，解方程組的方法有加減消元法和代入消元法．
15．（2021 余杭區二模）已知x＝﹣2是關于x的方程（1﹣2ax）＝x+a的解，求a的值．
【考點】一元一次方程的解．
【答案】a＝﹣
【點撥】把x＝﹣2代入（1﹣2ax）＝x+a，即可得出關于a的方程，求出方程的解即可．
【解析】解：把x＝﹣2代入（1﹣2ax）＝x+a得：（1+4a）＝﹣2+a，
解得：a＝﹣．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解的應用，能得出關于a的方程是解此題的關鍵．
16．（2023 衢州）小紅在解方程時，第一步出現了錯誤：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處．
（2）寫出你的解答過程．
【考點】解一元一次方程．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【點撥】（1）根據等式的性質，解一元一次方程的步驟即可判斷；
（2）首先去分母、然后去括號、移項、合并同類項、次數化成1即可求解．
【解析】解：（1）如圖：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括號：14x＝4x﹣1+6，
移項：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同類項：10x＝5，
系數化1：x＝．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數系數化為1，求出解．
17．（2023 臺州）解方程組：．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】．
【點撥】利用加減消元法求解即可．
【解析】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程組的解是．
【點睛】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．
18．（2021 臺州）小華輸液前發現瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標有“15滴/毫升”．輸液開始時，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時調整了藥液流速，輸液20分鐘時，瓶中的藥液余量為160毫升．
（1）求輸液10分鐘時瓶中的藥液余量；
（2）求小華從輸液開始到結束所需的時間．
【考點】一元一次方程的應用．
【答案】（1）200毫升；
（2）60分鐘．
【點撥】（1）先求出藥液流速為5毫升/分鐘，再求出輸液10分鐘的毫升數，用250減去輸液10分鐘的毫升數即為所求；
（2）可設小華從輸液開始到結束所需的時間為t分鐘，根據輸液20分鐘時，瓶中的藥液余量為160毫升，列出方程計算即可求解．
【解析】解：（1）250﹣75÷15×10
＝250﹣50
＝200（毫升）．
故輸液10分鐘時瓶中的藥液余量是200毫升；
（2）設小華從輸液開始到結束所需的時間為t分鐘，依題意有
，
解得t＝60．
故小華從輸液開始到結束所需的時間為60分鐘．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，本題關鍵是求出輸液前10分鐘藥液流速和輸液10分鐘后藥液流速．
19．（2021 吳興區二模）織里童裝城某拉鏈專賣店出售甲、乙兩種拉鏈，已知該店進貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．
（1）求出甲、乙兩種拉鏈的進價；
（2）已知專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費45元，求有哪幾種購買方案；
（3）在（2）條件下，不同方案專賣店獲利是否發生變化，如果變化，請求出最大值；如果不變，請說明理由．
【考點】二元一次方程組的應用．
【答案】（1）甲種拉鏈的進價為1.6元，乙種拉鏈的進價為2元；
（2）有4種購買方案：①甲種拉鏈5條，乙種拉鏈14條；②甲種拉鏈10條，乙種拉鏈10條；③甲種拉鏈15條，乙種拉鏈6條；④甲種拉鏈20條，乙種拉鏈2條；
（3）不變，理由見解析．
【點撥】（1）甲種拉鏈的進價為每條x元，乙種拉鏈的進價為每條y元，由題意：該店進貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．列出方程組，解方程組即可；
（2）設購買甲種拉鏈m條，乙種拉鏈n條，由題意：專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費45元，列出二元一次方程，求出正整數解即可；
（3）求出利潤是恒值，即可得出結論．
【解析】解：（1）設甲種拉鏈的進價為每條x元，乙種拉鏈的進價為每條y元，
由題意得：，
解得：，
答：甲種拉鏈的進價為1.6元，乙種拉鏈的進價為2元；
（2）設購買甲種拉鏈m條，乙種拉鏈n條，
由題意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，
整理得：n＝18﹣m，
∵m、n為正整數，
∴或或或，
即有4種購買方案：
①甲種拉鏈5條，乙種拉鏈14條；②甲種拉鏈10條，乙種拉鏈10條；③甲種拉鏈15條，乙種拉鏈6條；④甲種拉鏈20條，乙種拉鏈2條；
（3）不發生變化，理由如下：
∵利潤w＝0.4m+2×25%×（18﹣m）＝9（元），
∴不同方案專賣店獲利不發生變化．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用、二元一次方程的應用，讀懂題意，找到等量關系，列出二元一次方程組或二元一次方程是解題的關鍵．
1．（2020 三門縣一模）已知x＝y，則下列等式不一定成立的是（　?。?br/>A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky
【考點】等式的性質．
【答案】C
【點撥】根據等式的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解析】解：A、x＝y的兩邊都減去k，該等式一定成立，故本選項不符合題意；
B、x＝y的兩邊都加上2k，該等式一定成立，故本選項不符合題意；
C、x＝y的兩邊都除以k，若k＝0無意義，所以不一定成立，故本選項符合題意；
D、x＝y的兩邊都乘以k，等式一定成立，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等式的基本性質．等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等式仍成立；
2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數或字母，等式仍成立．
2．（2023 永州）關于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（　?。?br/>A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【考點】一元一次方程的解．
【答案】A
【點撥】根據方程的解的定義把x＝1代入方程即可求出m的值．
【解析】解：∵x＝1是關于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數的值是方程的解．
3．（2021 下城區一模）若，則（　?。?br/>A．3x＝2+1 B．3x＝1﹣2 C．3x﹣1＝ D．3x﹣1＝1
【考點】解一元一次方程．
【答案】A
【點撥】根據解一元一次方程步驟中的去分母、移項判斷即可．
【解析】解：，
兩邊同時乘2，得3x﹣1＝2，故C、D不正確；
等號兩邊同時加1得，3x＝2+1，故A正確．
故選：A．
【點睛】此題考查的是解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉化．
4．（2022 濱州）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U、導體的電阻R之間有以下關系：，去分母得IR＝U，那么其變形的依據是（　?。?br/>A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【考點】等式的性質．
【答案】B
【點撥】根據等式的性質，對原式進行分析即可．
【解析】解：將等式，去分母得IR＝U，實質上是在等式的兩邊同時乘R，用到的是等式的基本性質2．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了等式的性質，等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數或字母，等式仍成立．
5．（2023 平陽縣一模）解方程，以下去分母正確的是（　?。?br/>A．4（x+2）+3（2x﹣1）＝12 B．4（x+2）+3（2x﹣1）＝1
C．x+2+2x﹣1＝12 D．3（x+2）+4（2x﹣1）＝12
【考點】解一元一次方程．
【答案】A
【點撥】去分母時，可以等式兩邊同時乘以分母的最小公倍數，即可得出答案．
【解析】解：方程兩邊同時乘以12，
得4（x+2）+3（2x﹣1）＝12．
故選：A．
【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
6．（2021 寧波模擬）若，其中a，b，c是實數，則（　?。?br/>A．b+c＝a B． C． D．b+c＝abc
【考點】等式的性質．
【答案】D
【點撥】根據等式性質，等式兩邊乘以bc即可選出正確答案．
【解析】解：∵．
根據等式的性質，等式兩邊乘以bc，等式仍然成立．
∴．
∴abc＝c+b．
故選：D．
【點睛】本題考查等式的性質，熟練掌握等式的基本性質是解題關鍵．
7．（2023 溫州三模）若方程組的解也是方程3x+ky＝10的解，則k的值為（　?。?br/>A．7 B． C．10 D．15
【考點】二元一次方程組的解；二元一次方程的解．
【答案】C
【點撥】先解二元一次方程組，再將二元一次方程組的解代入3x+ky＝10，求解即可得到答案．
【解析】解：，
②﹣①×2得：5y＝4，
，
將代入①得：3x+4＝6，
，
∴方程組的解為，
將代入3x+ky＝10得：，
∴k＝10，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的解法是解題的關鍵．
8．（2021 杭州）某景點今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次．設該景點今年四月到五月接待游客人次的增長率為x（x＞0），則（　?。?br/>A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5 C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
【考點】由實際問題抽象出一元一次方程．
【答案】D
【點撥】依題意可知四月份接待游客25萬，則五月份接待游客人次為：25（1+x），進而得出答案．
【解析】解：設該景點今年四月到五月接待游客人次的增長率為x（x＞0），則
25（1+x）＝60.5．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程中增長率的問題，一般公式為：原來的量×（1±x）＝現在的量，x為增長或減少的百分率．增加用+，減少用﹣．
9．（2023 寧波）茶葉作為浙江省農業十大主導產業之一，是助力鄉村振興的民生產業．某村有土地60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為（　?。?br/>A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組．
【答案】B
【點撥】根據“茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃”和“茶園的面積與種糧食面積的和為54公頃”列方程組求解．
【解析】解：設茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，
由題意得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找到相等關系是解題的關鍵．
10．（2022 諸暨市二模）已知是方程4x﹣ay＝7的一個解，那么a的值是 　1?。?br/>【考點】二元一次方程的解．
【答案】1．
【點撥】把x與y的值代入方程計算即可求出a的值．
【解析】解：把代入方程得：4+3a＝7，
解得：a＝1．
故答案為：1．
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
11．（2022 松陽縣一模）已知關于x，y的二元一次方程組（a，b為實數）．
（1）若x＝2a﹣1，則a的值是 　1?。?br/>（2）若x，y同時滿足ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，則a+b的值是 　8?。?br/>【考點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組；二元一次方程的解．
【答案】（1）1；（2）8．
【點撥】（1）用加減消元法求出x＝a，再將已知條件代入即可求a是值；
（2）由（1）得x＝a，y＝b﹣6，將此解代入方程ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，得到方程，再①﹣②×2即可得到關于a+b的二元一次方程，求解a+b即可．
【解析】解：（1），
①+②，得
x＝a，
∵x＝2a﹣1，
∴a＝1，
故答案為1；
（2）由（1）知，x＝a，
∴y＝b﹣6，
∵x，y同時滿足ax+by+4＝0，2x+5y﹣ay＝0，
∴，
整理得，
③﹣④×2，得
a2+b2+2ab﹣16a﹣16b+64＝0，
∴（a+b）2﹣16（a+b）+64＝0，
∴a+b＝8，
故答案為8．
【點睛】本題考查二元一次方程組的解，掌握加減消元法解方程組的方法，在求a+b時，通過觀察，將方程組適當變形為關于a+b的二元一次方程是解題的關鍵．
12．（2022 定海區一模）《九章算術》是我國古代數學名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買一只羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數、羊價各是多少？設羊價為x錢，所列方程是 　　．
【考點】由實際問題抽象出一元一次方程；數學常識．
【答案】．
【點撥】設羊價為x錢，根據題意可得合伙的人數為或，由合伙人數不變可得方程．
【解析】解：設羊價為x錢，
根據題意可得方程：，
故答案為：．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是明確題意，找到等量關系，列出相應的方程．
13．（2022 舟山二模）如圖，用圖1中的a張長方形和b張正方形紙板作側面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒，若a+b的值在285和315之間（不含285與315），且用完這些紙板做豎式紙盒比橫式紙盒多30個，則a的值可能是 　218或225或232　．
【考點】二元一次方程組的應用．
【答案】218或225或232．
【點撥】設橫式紙盒x個，豎式紙盒為y個，由題意得，整理得a+b＝5x+5y，再由285＜a+b＜315，得285＜5x+5y＜315，然后由y＝x+30，解得13.5＜x＜16.5，即可解決問題．
【解析】解：設橫式紙盒x個，豎式紙盒為y個，
由題意得：，
整理得：a+b＝5x+5y，
∵a+b的值在285和315之間（不含285與315），
∴285＜a+b＜315，
∴285＜5x+5y＜315，
又∵y＝x+30，
∴285＜5x+5（x+30）＜315，
解得：13.5＜x＜16.5，
∵x為整數，
∴x＝14或15或16，
當x＝14時，a＝218；當x＝15時，a＝225；
當x＝16時，a＝232；
即a的值可能是218或225或232，
故答案為：218或225或232．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，找準數量關系，正確列出二元一次方程組或一元一次不等式組是解題的關鍵．
14．（2021 杭州模擬）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）．
【考點】解一元一次方程．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）方程去括號，移項合并，把x系數化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號，移項合并，把x系數化為1，即可求出解．
【解析】解：（1）去括號得：2x+2＝1﹣x﹣3，
移項合并得：3x＝﹣4，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：10x﹣14+12＝9x﹣3，
移項合并得：x＝﹣1．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，解方程去分母時各項都乘以各分母的最小公倍數．
15．（2022 臺州）解方程組：．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】．
【點撥】通過加減消元法消去x求出y的值，代入第一個方程求出x的值即可得出答案．
【解析】解：，
②﹣①得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
∴原方程組的解為．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉化為一元方程是解題的關鍵．
16．（2021 衢江區一模）對于方程，某同學解法如下：
解：方程兩邊同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括號，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同類項，得﹣x﹣3＝1③
移項，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答過程從第 ?、佟〔介_始出現錯誤．
（2）請寫出正確的解答過程．
【考點】解一元一次方程．
【答案】（1）①；
（2）過程見解答．
【點撥】（1）觀察解題過程，找出出錯的步驟即可；
（2）寫出正確的解答過程即可．
【解析】解：（1）上述解答過程從第①步開始出現錯誤；
（2）正確解答過程為：
方程兩邊同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝6，
去括號，得2x﹣3x+3＝6，
合并同類項，得﹣x+3＝6，
移項，得﹣x＝3，
∴x＝﹣3．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解本題的關鍵．
17．（2023 淳安縣一模）用消元法解方程組時，兩位同學的消元方法如下：
小吳解法：由①﹣②，得3x＝3．
小嚴解法：由②，得3x+（x﹣3y）＝2．③
把①代入③，得3x+5＝2．
（1）上述兩位同學的消元過程是否有誤，請判斷．
（2）請選擇一種你喜歡的方法，解出方程組．
【考點】解二元一次方程組．
【答案】（1）小吳的消元過程有誤；
（2）．
【點撥】（1）根據已知步驟得出答案即可；
（2）由①﹣②得出﹣3x＝3，求出x，再把x＝﹣1代入①求出y即可．
【解析】解：（1）上述兩個解題過程中，小吳的消元過程有誤；
（2），
由①﹣②，得﹣3x＝3，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，
解得：y＝﹣2，
所以原方程組的解是．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．
18．（2022 永嘉縣三模）某品牌掃地機數據如表（開始工作時，已完成充電）．
剩余電量 掃地速度（平方米/分鐘） 工作時間（分鐘）
≥55% 一檔 60
55%﹣5% 二檔
≤5% 回充 30
小銘記錄了該品牌掃地機的工作情況，如表．
工作時間（分鐘） 5 16 28 50 52 57
掃地面積（平方米） 8.75 28 49 78.75 80.5 84.875
（1）設一檔，二檔掃地速度分別為a平方米/分鐘，b平方米/分鐘，求a，b的值．
（2）設掃地速度為一檔時的最長連續工作時間為t分鐘，求t的值．
（3）若掃地機工作100分鐘，求它完成的掃地面積．
【考點】一元一次方程的應用．
【答案】（1）a＝1.75，b＝0.875；
（2）40；
（3）105平方米．
【點撥】（1）由題意判斷出一檔和二檔切換時間在第28分鐘和第50分鐘之間，即可求出a，b的值；
（2）由（1）知工作50分鐘時，二檔工作時間為（50﹣t）分鐘，根據50分鐘的掃地面積為78.75平方米列出方程，解方程即可得到答案；
（3）分析掃地機工作100分鐘時各檔的工作時間，再利用掃地面積＝各檔的速度×時間，即可求出結論．
【解析】解：（1）∵8.75÷5＝1.75（平方米/分鐘），28÷16＝1.75（平方米/分鐘），49÷28＝1.75（平方米/分鐘），78.75÷50＝1.575（平方米/分鐘），
∴一檔和二檔切換時間在第28分鐘和第50分鐘之間，
∴a＝1.75，（57﹣52）b＝84.875﹣80.5，
∴b＝0.875．
答：a的值為1.75，b的值為0.875．
（2）依題意得：1.75t+0.875（50﹣t）＝78.75，
解得：t＝40．
答：t的值為40．
（3）依題意可知：在前40分鐘時，掃地機的速度為第一檔；在40分鐘到60分鐘時，掃地機的速度為第二檔；在60分鐘到90分鐘時，掃地機回充；在90分鐘到100分鐘時，掃地機的速度為第一檔，
∴1.75×（40+10）+0.875×（60﹣40）＝1.75×50+0.875×20＝105（平方米）．
答：它完成的掃地面積為105平方米．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）根據表格中的數據，分析出一檔和二檔切換時間在第28分鐘和第50分鐘之間；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（3）正確的找出各檔的工作時間．
19．（2021 婺城區模擬）為加快推進“人工智能實驗區”的工作，信息中心計劃購進一批機器人套件和3D打印機．經過市場考察得知，購買1份機器人套件和2臺3D打印機需要3.5萬元，購買2份機器人套件和1臺3D打印機需要2.5萬元．
（1）求每份機器人套件、每臺3D打印機各多少萬元？
（2）根據區內學校實際，需購進機器人套件和3D打印機共300臺，總費用不超過300萬元，但不低于280萬元，請你通過計算求出費用最低的購買方案．
【考點】二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用；一次函數的應用．
【答案】（1）每份機器人套件0.5萬元，每臺3D打印機1.5萬元；
（2）費用最低的購買方案為：購進機器人套件170份，3D打印機130臺．
【點撥】（1）設每份機器人套件x萬元，每臺3D打印機y萬元，根據“購買1份機器人套件和2臺3D打印機需要3.5萬元，購買2份機器人套件和1臺3D打印機需要2.5萬元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購進機器人套件m份，則購進3D打印機（300﹣m）臺，根據“總費用不超過300萬元，但不低于280萬元”，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設購進機器人套件和3D打印機的總費用為w萬元，利用總價＝單價×數量，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可找出費用最低的購買方案．
【解析】解：（1）設每份機器人套件x萬元，每臺3D打印機y萬元，
依題意得：，
解得：．
答：每份機器人套件0.5萬元，每臺3D打印機1.5萬元．
（2）設購進機器人套件m份，則購進3D打印機（300﹣m）臺，
依題意得：，
解得：150≤m≤170．
設購進機器人套件和3D打印機的總費用為w萬元，則w＝0.5m+1.5（300﹣m）＝﹣m+450，
∵k＝﹣1＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m＝170時，w取得最小值，
∴費用最低的購買方案為：購進機器人套件170份，3D打印機130臺．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．
20．（2023 甌海區一模）
如何分配工作，使公司支付的總工資最少
素材1 某包裝公司承接到21600個旅行包的訂單，策劃部準備將其任務分配給甲、乙兩個車間去完成．由于他們的設備與人數不同，甲車間每天生產的總數是乙車間每天生產總數的2倍，甲車間單獨完成這項工作所需的時間比乙車間單獨完成少18天．
素材2 經調查，甲車間每人每天生產60個旅行包，乙車間每人每天生產40個旅行包．為提高工作效率，人事部到甲、乙兩車間抽走相等數量的工人．策劃部為了使抽走后甲、乙兩車間每天生產的總數之和保持不變，余下的所有工人每天生產個數需要提高20%．因此，甲車間每天工資提高到3400元，乙車間每天工資提高到1560元．
問題解決
任務1 確定工作效率 求甲、乙車間原來每天分別生產多少個旅行包？
任務2 探究抽走人數 甲、乙每個車間被抽走了多少人？
任務3 擬定設計方案 甲、乙兩車間抽走相等數量的工人后，按每人每天生產個數提高20%計算，如何安排甲、乙兩車間工作的天數，使公司在完成該任務時支付的總工資最少？最少需要多少元？
【考點】二元一次方程組的應用；解分式方程；一元一次方程的應用．
【答案】（1）甲車間每天能生成1200個，乙車間每天能生成600個；
（2）甲、乙每個車間各被抽走了3人；
（3）甲車間安排4天，乙車間安排29天，公司在完成該任務時支付的總工資最少，最少需要58840元．
【點撥】（1）設乙車間每天能生成x個旅行包，由甲車間單獨完成這項工作所需的時間比乙車間單獨完成少18天得：，解方程并檢驗可得答案；
（2）甲車間共有1200÷60＝20（人），乙車間共有600÷40＝15（人），設甲乙車間各被抽走a人，根據抽走后甲、乙兩車間每天生產的總數之和保持不變列方程可解得答案；
（3）設甲車間工作m天，乙車間工作n天，可得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，即，設總費用為W元，則W＝3400m+1560n＝﹣40n+60000，由一次函數性質可得答案．
【解析】解：（1）設乙車間每天能生成x個旅行包，則甲車間每天能生成2x個旅行包，
由題意得：，
解得x＝600，
經檢驗，x＝600是原方程的解，也符合題意，
∴2x＝1200，
∴甲車間每天能生成1200個，乙車間每天能生成600個；
（2）由題意知：甲車間共有1200÷60＝20（人），乙車間共有600÷40＝15（人），
設甲乙車間各被抽走a人，
根據題意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600，
解得a＝3，
∴甲、乙每個車間各被抽走了3人；
（3）設甲車間工作m天，乙車間工作n天，
根據題意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，
整理得：17m+8n＝300，
∴，
設總費用為W元，則W＝3400m+1560n＝3400×（）+1560n＝﹣40n+60000，
∵﹣40＜0，
∴W隨n的增大而減少，
∵17m+8n＝300，
∴m為4的倍數，即m最小為4，
∴n最大值為29，
∴當n＝29時，總費用W最小值為﹣40×29+60000＝58840（元），
∴甲車間安排4天，乙車間安排29天，公司在完成該任務時支付的總工資最少，最少需要58840元．
【點睛】本題考查一元一次方程和分式方程的應用，涉及一次函數，二元一次方程等知識，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程解決問題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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