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7.3 數列求和綜合
1．公式法
(1)等差數列的前n項和公式
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式
①當q＝1時，Sn＝na1；
②當q≠1時，Sn＝＝.
2．分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個能求和的數列，再求解．
3．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．
常見的裂項技巧：
；
；
指數型；
對數型.
等
4．錯位相減法
主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣．
萬能公式：
形如的數列求和為，
其中，，
6．并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
考點1 分組求和
【例1】．在數列中，且滿足（且）．
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）變形得到，得到結論；
（2）在（1）的基礎上得到，進而利用分組求和可得.
【詳解】（1）（且），
（且），
，
所以是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）是首項為2，公比為2的等比數列，
，故，
.
【變式1-1】已知數列滿足
(1)令，求證：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和為.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，由等比數列的定義判斷，即可證明；
（2）根據題意，結合分組求和法，再由等差數列求和以及等比數列求和公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）∵，
∴數列是以首項為，公比為等比數列；
（2）由（1）可知：，
∴，
從而
故.
【變式1-2】已知數列滿足，．
(1)記，證明：是等比數列，并求的通頂公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）由題意得，所以是等比數列，根據等比數列的通項公式即得
（2）由（1）的結論和求出的通頂公式，再由分組求和即得.
【詳解】（1）由，得，又，
，且，
所以是等比數列，
（2）由（1）得，得，
所以，
即
【變式1-3】已知數列是等差數列，其前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用等差數列的通項公式和前項和公式求解；
（2）分組求和方法求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，又，，
所以，解得，，
所以的通項公式.
（2）由（1）知，
所以
.
【變式1-4】已知等差數列的前n項和為 ，且滿足
(1)求數列的通項公式;
(2)若數列滿足 求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設等差數列的公差為d，由題意列出方程組，求得首項和公差，即可求得答案；
（2）由（1）的結果可得的表達式，利用分組求和法，結合等差數列以及等比數列的前n項和公式，即可求得答案.
【詳解】（1）設等差數列的公差為d，則，
解得，故；
（2）由（1）可得，
故
.
考點2 裂項相消求和
【例2】已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由數列遞推式可得當時遞推式，和已知等式相減即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達式，利用裂項相消法求和，即得答案.
【詳解】（1）由題意得，①
當時，，②
由①-②得，即，
又時，，滿足上式，
綜上，.
（2）由（1）可得，
故，
設數列的前項和為，
所以
.
【變式2-1】在等差數列中，是它的前項和，已知.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先設出等差數列的公差，根據條件列出兩個方程，解之得首項與公差，繼而寫出數列的通項公式；
（2）將所求新數列的通項化簡成，再根據裂項相消法即可求得數列的前項和.
【詳解】（1）設的公差為，由可得：①，
由可得：，整理得：②，
聯立①②可解得：，
故數列的通項公式為：.
（2）由（1）得，不妨設，
則，
故.
【變式2-2】已知數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，若成等比數列，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據等差數列通項公式和求和公式基本量計算得到方程組，求出首項和公差，得到通項公式；
（2）裂項相消法求和，證明出結論.
【詳解】（1）因為成等比數列，且，
所以，由，解得，
所以.
（2）由，
得，
由，有，所以，得.
【變式2-3】在數列中，且成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數列的定義及等比中項的性質可得結果；
（2）根據裂項相消求和法可得結果.
【詳解】（1）由，即，可知數列是以1為公差的等差數列．
因為成等比數列，所以，所以，解得，
所以，
故數列的通項公式為.
（2），
則
所以數列的前n項和.
【變式2-4】已知數列是首項為2的等比數列,且是和的等差中項．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的公比,設數列滿足,求的前2023項和．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】(1)設數列的公比為,根據題意得求得公比,即可得通項公式.
(2)根據題意得代入并化簡,再用裂項相消法求前2023項和即可.
【詳解】（1）設數列的公比為,則
是和的等差中項,即解得或或（舍去）
當時,
當時,
（2）,由(1)知
故的前2023項和為
考點3 錯位相減求和
【例3】已知數列滿足，.
(1)證明：是等差數列；
(2)設，求數列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)將已知表達式變形為，通過配湊的方法可以得到是等差數列；
(2)由第一問可以求得數列的通項公式，代入，用錯位相減法可以求得前n項和.
【詳解】（1）由題可知，
所以，所以.
所以.
又，
所以是首項為1，公差為1的等差數列.
（2）由（1）可得，所以
所以.
所以.
所以.
兩式相減，得
所以.
【變式3-1】已知數列的前項和為，且滿足．
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與的關系式，即可得出結論；
（2）錯位相減法求解數列的前項和.
【詳解】（1）因為，所以，
當時，，
所以，即，
又因為，
所以是以為首項，為公比的等比數列．
（2）由（1）知，，所以，
因為①，
所以②，
由①-②得：
，
所以．
【變式3-2】已知數列是各項均為正數的等比數列，為數列的前項和，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比數列的定義即可求得數列的通項公式；
（2）第一問結果代入第二問，用錯位相減法求和.
【詳解】（1）設等比數列的公比為.
由，得，
解得.
因為的各項均為正數，所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）得，
所以，
，
兩式相減，得
所以.
【變式3-3】數列中，．
(1)求數列的通項公式．
(2)求前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據累乘法或者利用等比數列的定義，結合等比通項的求解即可.
（2）根據錯位相減法即可結合等比數列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）方法1：
當．
又也適合上式，．
方法2：為公比為2，首項為1的等比數列．
，
（2）由（1）知，①
②
①－②，
【變式3-4】已知數列，且.
(1)求的通項公式；
(2)設，若的前n項和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）變形得到，則是首項為1，公比為2的等比數列，利用等比數列通項公式求出答案；
（2）求出，利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）因為，所以，
其中，故是首項為1，公比為2的等比數列，
故，所以；
（2），
所以①，
故②，
兩式相減得，，
故.7.3 數列求和綜合
1．公式法
(1)等差數列的前n項和公式
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式
①當q＝1時，Sn＝na1；
②當q≠1時，Sn＝＝.
2．分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個能求和的數列，再求解．
3．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．
常見的裂項技巧：
；
；
指數型；
對數型.
等
4．錯位相減法
主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣．
萬能公式：
形如的數列求和為，
其中，，
6．并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
考點1 分組求和
【例1】．在數列中，且滿足（且）．
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和．
【變式1-1】已知數列滿足
(1)令，求證：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和為.
【變式1-2】已知數列滿足，．
(1)記，證明：是等比數列，并求的通頂公式；
(2)求數列的前項和．
【變式1-3】已知數列是等差數列，其前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【變式1-4】已知等差數列的前n項和為 ，且滿足
(1)求數列的通項公式;
(2)若數列滿足 求數列的前n項和.
考點2 裂項相消求和
【例2】已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式2-1】在等差數列中，是它的前項和，已知.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【變式2-2】已知數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，若成等比數列，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求證：.
【變式2-3】在數列中，且成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【變式2-4】已知數列是首項為2的等比數列,且是和的等差中項．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的公比,設數列滿足,求的前2023項和．
考點3 錯位相減求和
【例3】已知數列滿足，.
(1)證明：是等差數列；
(2)設，求數列的前n項和.
【變式3-1】已知數列的前項和為，且滿足．
(1)證明：數列是等比數列；
(2)求數列的前項和．
【變式3-2】已知數列是各項均為正數的等比數列，為數列的前項和，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【變式3-3】數列中，．
(1)求數列的通項公式．
(2)求前n項和．
【變式3-4】已知數列，且.
(1)求的通項公式；
(2)設，若的前n項和為，求.

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