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8.2 空間中的平行關系
空間中的平行關系
線線平行
①三角形、四邊形的中位線與第三邊平行，②平行四邊形的性質（對邊平行且相等）
③內錯角、同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行
線面平行的判定定理：
平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行
圖形語言 符號語言
線面平行的性質定理
若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行
圖形語言 符號語言
面面平行的判定定理
判定定理1：一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行
圖形語言 符號語言
判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別于另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行
圖形語言 符號語言
面面平行的性質定理
性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面
性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行
考點1 平行關系的判斷
【例1】設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A
【分析】根據空間中線面之間的位置關系逐一判斷即可.
【詳解】對于A，因為是三條不同的直線，，
所以，故A正確；
對于B，若，則或，故B錯誤；
對于C，若，則或或或直線與平面相交，故C錯誤；
對于D，若，則與平行或相交，故D錯誤.
故選：A.
【變式1-1】已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【分析】利用線線，線面，面面的位置關系，以及垂直，平行的判斷和性質判斷選項即可.
【詳解】對于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯誤；
對于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯誤；
對于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯誤；
對于D，若，則由線面平行的性質定理可知，必有，使得，
又，則，因為，所以，故D正確.
故選：D.
【變式1-2】設直線，平面，則下列條件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】B
【分析】根據空間中點線面的位置關系即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A. ，且，由于無法得知是否相交，所以不能得到，
對于B. ，且，則，故B正確，
對于C. ，且，此時可能相交，
對于D. ，且，則可能相交，
故選：B
【變式1-3】已知是兩條直線，是平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據線線、線面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，若，則可能，所以A選項錯誤.
B選項，若，則可能，所以B選項錯誤.
C選項，若，則可能異面，所以C選項錯誤.
D選項，由，可得，所以D選項正確.
故選：D
【變式1-4】設，為兩個不同的平面，則的一個充分條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線與平行
【答案】D
【分析】根據面面平行的定義和判定定理判斷即可.
【詳解】對于A：內有無數條直線與平行推不出，只有內所有直線與平行才能推出，故A錯誤；
對于B：，垂直于同一平面，得到或與相交，故B錯誤；
對于C：，平行于同一條直線，得到或與相交，故C錯誤；
對于D：由面面平行判定定理得，故D正確．
故選：D.
【變式1-5】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，則
【答案】C
【分析】利用舉反例結合長方體的幾何性質逐一辨析，根據線面平行的判定定理以及性質定理，可得答案.
【詳解】由題意，作長方體，如下圖所示：

對于A，當平面平面，，時，顯然，，但，故A錯誤；
對于B，當平面平面，平面平面，時，顯然，，但，故B錯誤；
對于C，因為，所以，，因為，所以，因為，，所以，故C正確；
對于D，當平面平面，平面平面，時，顯然，，但，故D錯誤；
故選：C.
【變式1-6】已知在正方體中，，交于點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．
【答案】C
【分析】利用線面平行的判定定理證明C，根據平面說明A，利用平面說明B，由說明D.
【詳解】連接，作出圖形如圖所示，
因為且，所以為平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，
同理可證，即可證明平面，
又，平面，所以平面平面，
故平面，故C正確；
對于A，因為，平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，而與不平行，所以不垂直于平面，故A錯誤；
對于B，同理可證平面，而與不平行，所以不垂直于平面，故B錯誤；
對于D，易知，而，，共面且與不平行，所以不垂直于，故D錯誤．
故選：C．
考點2 線面平行的判定定理
【例2】如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；
(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證，再用直線與平面平行的判定定理證明平面；
（2）利用等體積法，求三棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，
三角形ABC的面積，
三棱錐的體積.
【變式2-1】如圖，在三棱柱中，側棱底面，，為的中點，，．

(1)求三棱柱的表面積；
(2)求證：平面．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分別求三棱柱每個面的面積相加即可；
（2）利用線面平行的判定定理證明即可.
【詳解】（1）因為側棱底面，所以三棱柱為直三棱柱，
所以側面，，均為矩形．
因為，所以底面，均為直角三角形．
因為，，所以．
所以三棱柱的表面積為
．
（2）連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，
所以為的中點．因為為的中點，所以．
因為平面，平面，所以平面．

【變式2-2】如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為的中點，且．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，利用中位線得到線線平行，從而求出線面平行；
（2）求出，進而求出.
【詳解】（1）連接交于點，連接，
因為底面是正方形，
所以為的中點，
因為為的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為，底面是正方形，平面，
所以，
因為為的中點，所以.
【變式2-3】如圖所示，是正三角形，平面，，，，且F為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）取AB的中點為G，連接FG，GC，利用三角形中位線性質，結合平行傳遞性證明四邊形FGCD為平行四邊形，可得，然后由線面平行判定定理可證；
（2）先證明平面，然后由計算可得.
【詳解】（1）取AB的中點為G，連接FG，GC，
因為F為的中點，所以，且，
又因為，，
所以，且，
所以四邊形FGCD為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，
所以平面.

（2）因為平面，平面，
所以平面平面，
因為是正三角形，G為AB中點，
所以，
又因為平面平面，平面，
所以平面，
因為，所以平面，
易知，，
又，
所以.
考點3 面面平行的判定定理
【例3】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別是的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）線面平行判定定理證明即可；
（2）先證線面平行，再證面面平行即可.
【詳解】（1）∵分別是的中點，
∴
又∵平面,平面,
∴平面.
（2）∵四邊形為正方形，且分別為，邊的中點，，
又∵面，面，
∴面，
由（1）知，平面，
且,平面,平面,
∴平面平面
【變式3-1】如圖，在平行六面體中，為的中點，為的中點．

(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)作出輔助線，利用三角形的中位線結合線面平行的判定定理，判定即可；
(2)利用平行六面體的性質，結合兩個中點，易證平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行的性質，從而證明線面平行，再利用(1)中結論，結合面面平行的判定定理，判定即可.
【詳解】（1）連接，交于，連接，

在平行六面體中，為平行四邊形，
為中點，
為的中點，
平面平面，
平面；
（2）在平行六面體中，，，
為的中點，為的中點，
，
為平行四邊形，從而，
平面平面，
平面，
由（1）可知：平面，
平面平面，且，
平面平面.
【變式3-2】如圖：在正方體中，為的中點.

(1)試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；
(2)若為的中點，求證：平面平面.
【答案】(1)直線平面，理由見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用三角形中位線性質可得，由線面平行的判定可證得結論；
（2）根據四邊形為平行四邊形可得，由線面平行判定可得平面，結合（1）中結論，由面面平行的判定可證得結論.
【詳解】（1）直線平面，理由如下：
連接，交于點，連接，

四邊形為正方形，為中點，又為中點，，
平面，平面，平面.
（2）分別為中點，，又，
四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，
由（1）知：平面，又，平面，
平面平面.
【變式3-3】在如圖所示的多面體中，平面，，，，點、分別為、的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)16
【分析】（1）先證面內兩相交線和分別平行于平面，即證平面， 平面，從而可證平面平面；
（2）由平面，可證．又， 平面，即是四棱錐的高，同理可證平面，從而可求多面體的體積.
【詳解】（1）證明：，
四邊形是平行四邊形，．
又平面平面平面．
分別為的中點，
是的中位線，．
平面平面平面．
平面，
平面平面．
（2）平面平面．
又平面，
平面是四棱錐的高，且．
．
又平面，
平面．
．
考點4 線面平行的性質定理
【例4】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．
求證：.
【答案】證明見解析
【分析】根據線面平行判定定理證明平面，然后再由線面平行的性質定理可證.
【詳解】證明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，
∴.
【變式4-1】如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【答案】證明見解析
【分析】先證明平面，再利用線面平行的性質定理可得結論.
【詳解】因為在三棱柱中，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
.
【變式4-2】已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

【答案】證明見解析
【分析】先證明平面，再根據線面平行的性質定理求解即可.
【詳解】因為為菱形，所以
平面平面，
所以平面，
又因為平面，且平面平面，
所以．
【變式4-3】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于HG，求證：．
【答案】證明見詳解
【分析】連接交于點，連接，先利用三角形中位線性質和線面平行判定定理證明平面，然后由線面平行性質定理可證.
【詳解】連接交于點，連接，
因為ABCD是平行四邊形，所以為中點，
又M是PC的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為平面，平面平面，
所以

考點5 面面平行的性質定理
【例5】直四棱柱中，，求證：平面.

【答案】證明見解析
【分析】先證明平面，平面，可得平面平面，進而可得結論.
【詳解】因為直四棱柱中，
又，且平面，平面，
平面，平面
而，平面,
平面平面，
又平面平面
【變式5-1】如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】根據四棱柱性質可證明平面平面，再利用面面平行的性質定理即可證明.
【詳解】由四棱柱可知，，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面；
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以.
【變式5-2】如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，D，E，F分別是棱，，的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過證明平面平面，得到平面；
（2），，作于G， ，即三棱錐的高為，可求三棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：連接，
∵E，F分別是棱AC，BC的中點，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵D，F分別是棱，的中點，∴，，
∴四邊形是平行四邊形，則，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，且，∴平面平面，
∵平面，∴平面；
（2）連接，∵E為AC中點，∴，
由題意，，∴，
作于G，則面，是邊長為的等邊三角形，有，即三棱錐的高為，
∴.
【變式5-3】如圖，在長方體中，，分別是線段，的中點，證明：平面
【答案】證明見解析
【分析】取的中點，連接，，證明平面，平面，通過面面平行的判定定理可得平面平面，最后得到平面
【詳解】取的中點，連接，，
則，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；8.2 空間中的平行關系
空間中的平行關系
線線平行
①三角形、四邊形的中位線與第三邊平行，②平行四邊形的性質（對邊平行且相等）
③內錯角、同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行
線面平行的判定定理：
平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行
圖形語言 符號語言
線面平行的性質定理
若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行
圖形語言 符號語言
面面平行的判定定理
判定定理1：一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行
圖形語言 符號語言
判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別于另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行
圖形語言 符號語言
面面平行的性質定理
性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面
性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行
考點1 平行關系的判斷
【例1】設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-1】已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【變式1-2】設直線，平面，則下列條件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【變式1-3】已知是兩條直線，是平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-4】設，為兩個不同的平面，則的一個充分條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線與平行
【變式1-5】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，則
【變式1-6】已知在正方體中，，交于點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．
考點2 線面平行的判定定理
【例2】如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；
(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．
【變式2-1】如圖，在三棱柱中，側棱底面，，為的中點，，．

(1)求三棱柱的表面積；
(2)求證：平面．
【變式2-2】如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為的中點，且．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【變式2-3】如圖所示，是正三角形，平面，，，，且F為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
考點3 面面平行的判定定理
【例3】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別是的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面.
【變式3-1】如圖，在平行六面體中，為的中點，為的中點．

(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面．
【變式3-2】如圖：在正方體中，為的中點.

(1)試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；
(2)若為的中點，求證：平面平面.
【變式3-3】在如圖所示的多面體中，平面，，，，點、分別為、的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求多面體的體積．
考點4 線面平行的性質定理
【例4】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．
求證：.
【變式4-1】如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【變式4-2】已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

【變式4-3】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于HG，求證：．
考點5 面面平行的性質定理
【例5】直四棱柱中，，求證：平面.

【變式5-1】如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．
【變式5-2】如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，D，E，F分別是棱，，的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，求三棱錐的體積.
【變式5-3】如圖，在長方體中，，分別是線段，的中點，證明：平面

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