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8.1 空間幾何體的結構及表面積體積計算
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行
側棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 平行、相等且垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓
側面 展開圖 矩形 扇形 扇環
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.空間幾何體的表面積與體積公式
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝S底·h
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝S底·h
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
4.球的表面積和體積公式
球的表面積：S＝4πR2 球的體積：V＝πR3
5.球的切接概念
空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球
空間幾何體的內切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內切球
6.幾個與球有關的切、接常用結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.　
4.墻角模型（三條直線兩兩垂直）
補形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
7.側棱垂直與底面-垂面型
8.內切球
如圖：求任意三棱雉的內切球半徑(等體積法)
（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;
（2）設內切球半徑為,建立等式:
（3）解出
結論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為.
考點1 棱長與表面積
【例1】已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出上下底面的面積，作出輔助線，得到母線長，從而得到圓臺的表面積.
【詳解】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，
由圖形可得，，
母線與下底面所成的角為，故，
故圓臺的母線長為2，所以側面積為，
所以該圓臺的表面積為．
故選：C．
【變式1-1】某圓錐的側面積為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意得到求解.
【詳解】解：設圓錐的母線長為，底面半徑為，即側面展開圖的半徑為，側面展開圖的弧長為.
又圓錐的底面周長為，所以，即圓錐的母線長.
所以圓錐的側面積為，
解得.
故選：D
【變式1-2】若一個圓錐的母線長為，且其側面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設出圓錐底面圓半徑，利用圓錐側面積公式及三角形面積公式列式計算即得.
【詳解】設圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，
所以該圓錐的高為.
故選：A
【變式1-3】底面邊長為，且側棱長為的正四棱錐的體積和側面積分別為（ ）
A． B． C．32，24 D．32，6
【答案】A
【分析】由正四棱錐的結構特征求高、斜高，根據體積、側面積公式求結果.
【詳解】由正四棱錐底面為正方形，且底面中心為頂點在底面上射影，
結合題設，底面對角線長為，則棱錐的高，斜高為，
所以正四棱錐的體積為，
側面積為.
故選：A.
【變式1-4】正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側棱長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先求得側面的高，進而求得側棱長.
【詳解】設正四棱臺側面的高為，則，
所以側棱長為.
故選：C
【變式1-5】將直徑為的球削成一個體積最大的正方體，則這個正方體的表面積為（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】求出球的內接正方體的棱長，再求出其表面積即可.
【詳解】依題意，當正方體為球的內接正方體時，該正方體的體積最大，
令此時正方體的棱長為，則，解得，
所以正方體的表面積為.
故答案為：B
考點2 求體積
【例2】已知一個正四棱臺的上下底面邊長為、，側棱長為，則棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正四棱臺的概念可知四邊形為等腰梯形，進而可得四棱臺的高，即可求得體積.
【詳解】
如圖所示，
由正四棱臺可知，四邊形為等腰梯形，
且，，，
所以，
所以，
故選：D.
【變式2-1】“升”是我國古代發明的量糧食的一種器具，升裝滿后沿升口刮平，稱為“平升”．已知某種升的形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為和，高為（厚度不計），則該升的1平升約為（ ）（精確到）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】應用棱臺的體積公式求1平升，即可得答案.
【詳解】由題設，上底面積為，下底面積為，
所以1平升為，約為.
故選：B
【變式2-2】已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓錐側面展開圖的形狀先求出圓錐的母線，然后求出半徑，再由圓錐的體積公式進行求解.
【詳解】設母線長為，依題意得，，解得，于是圓錐的高為，
根據圓錐的體積公式，其體積為：.
故選：B

【變式2-3】已知圓錐PO的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據軸截面面積和底面半徑得到圓錐的高，進而得到圓錐的體積.
【詳解】軸截面為等腰三角形，底邊長為，設圓錐的高為，
則，解得，
故圓錐的體積為.
故選：B
考點3 球體綜合
【例3】已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正六棱柱的性質可求解半徑，由表面積公式即可求解.
【詳解】由正六棱柱的性質可得為其外接球的球心（如圖）,
由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,
所以,
所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，
故選：D
【變式3-1】長方體的所有頂點都在一個球面上，長 寬 高分別為，那么這個球體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據長方體特征求出外接球半徑，結合球體的體積公式求解答案.
【詳解】長方體的體對角線長，即外接球的直徑長為，
所以外接球半徑為，
所以這個球體的體積.
故選：D
【變式3-2】若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意設正方體的外接球半徑為，得，即可解決.
【詳解】由題知，正方體的棱長為，且正方體的頂點都在同一球面上，
設正方體的外接球半徑為，
所以，
所以該球的體積為，
故選：A
【變式3-3】一個圓錐的底面直徑和高都同一個球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9
【答案】C
【分析】設球體的半徑，根據已知條件把圓錐和球體的體積表示出來相比就可以了.
【詳解】設球體的半徑為，圓錐底面半徑為，高為
則圓錐的體積為：
球體的體積：
所以圓錐與球的體積之比為：1∶2
故選：C.
【變式3-4】長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出長方體外接球半徑，再由球體體積公式求體積.
【詳解】球O的半徑為，
∴體積．
故選：A
考點4 組合體綜合
【例4】何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞的最早文字記載．何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體，高約為40cm，上口直徑約為28cm，下端圓柱的直徑約為18cm．經測量知圓柱的高約為24cm，則估計該何尊可以裝酒（不計何尊的厚度，，）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據圓柱和圓臺的體積公式計算可得結果.
【詳解】下端圓柱的體積為：，
上端圓臺的體積為：，
所以該何尊的體積估計為.
因為最接近，
所以估計該何尊可以裝酒.
故選：C
【變式4-1】如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知該幾何體的體積是由半球的表面積加上圓柱的側面積，再加上圓的面積即可.
【詳解】解：由題意得，球的半徑，圓柱的底面半徑，高，
則該幾何體的表面積為.
故選：D.
【變式4-2】“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個球，且球與圓柱的側面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積之比為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，設出球的半徑，求出圓柱的體積與球的體積，進而求出圓柱的體積與球的體積之比.
【詳解】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，
設球的半徑為R，
則圓柱的體積為：，
球的體積為，
所以圓柱的體積與球的體積之比為
故選：B
【變式4-3】如圖是一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.設圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根據已知條件列方程，化簡求得，進而求得.
【詳解】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，
依題意，.
故選：B
【變式4-4】《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其外形由圓柱和長方體組合而成.已知某組合體由圓柱和長方體組成，如圖所示，圓柱的底面直徑為1寸，長方體的長、寬、高分別為3.8寸，3寸，1寸，該組合體的體積約為12.6立方寸，若取3.14，則圓柱的母線長約為（ ）
A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸
【答案】C
【分析】先求出長方體的體積，進而求出圓柱的體積，利用求出的圓柱體體積和圓柱的底面半徑為0.5寸，求出圓柱的母線長
【詳解】由題意得，長方體的體積為(立方寸)，故圓柱的體積為(立方寸).
設圓柱的母線長為l，則由圓柱的底面半徑為0.5寸，得，計算得：(寸).
故選：C8.1 空間幾何體的結構及表面積體積計算
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行
側棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 平行、相等且垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓
側面 展開圖 矩形 扇形 扇環
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.空間幾何體的表面積與體積公式
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝S底·h
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝S底·h
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
4.球的表面積和體積公式
球的表面積：S＝4πR2 球的體積：V＝πR3
5.球的切接概念
空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球
空間幾何體的內切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內切球
6.幾個與球有關的切、接常用結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.　
4.墻角模型（三條直線兩兩垂直）
補形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
7.側棱垂直與底面-垂面型
8.內切球
如圖：求任意三棱雉的內切球半徑(等體積法)
（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;
（2）設內切球半徑為,建立等式:
（3）解出
結論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為.
考點1 棱長與表面積
【例1】已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】某圓錐的側面積為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【變式1-2】若一個圓錐的母線長為，且其側面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】底面邊長為，且側棱長為的正四棱錐的體積和側面積分別為（ ）
A． B． C．32，24 D．32，6
【變式1-4】正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側棱長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式1-5】將直徑為的球削成一個體積最大的正方體，則這個正方體的表面積為（ ）
A．3 B．6 C． D．
考點2 求體積
【例2】已知一個正四棱臺的上下底面邊長為、，側棱長為，則棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】“升”是我國古代發明的量糧食的一種器具，升裝滿后沿升口刮平，稱為“平升”．已知某種升的形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為和，高為（厚度不計），則該升的1平升約為（ ）（精確到）

A． B． C． D．
【變式2-2】已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】已知圓錐PO的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
考點3 球體綜合
【例3】已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】長方體的所有頂點都在一個球面上，長 寬 高分別為，那么這個球體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】一個圓錐的底面直徑和高都同一個球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9
【變式3-4】長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A． B． C． D．
考點4 組合體綜合
【例4】何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞的最早文字記載．何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體，高約為40cm，上口直徑約為28cm，下端圓柱的直徑約為18cm．經測量知圓柱的高約為24cm，則估計該何尊可以裝酒（不計何尊的厚度，，）（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個球，且球與圓柱的側面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積之比為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式4-3】如圖是一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.設圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．
【變式4-4】《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其外形由圓柱和長方體組合而成.已知某組合體由圓柱和長方體組成，如圖所示，圓柱的底面直徑為1寸，長方體的長、寬、高分別為3.8寸，3寸，1寸，該組合體的體積約為12.6立方寸，若取3.14，則圓柱的母線長約為（ ）
A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸

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