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8.3 空間中的垂直關系
空間中的垂直關系
線線垂直
①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直
②勾股定理的逆定理證線線垂直
③菱形、正方形的對角線互相垂直
線面垂直的判定定理
判定定理：一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直
圖形語言 符號語言
線面垂直的性質定理
性質定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線
圖形語言 符號語言
性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行
圖形語言 符號語言
面面垂直的判定定理
判定定理：一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直 （或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）
圖形語言 符號語言
面面垂直的性質定理
性質定理：兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面
圖形語言 符號語言
考點1 垂直關系的判斷
【例1】已知直線、m、n與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【答案】B
【分析】ACD可舉出反例；B選項，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進而由線面垂直得到面面垂直.
【詳解】A選項，如圖1，滿足，，但不垂直，A錯誤；
B選項，如圖2，因為，
所以作平面，使得，且，
則，
因為，則，又，故，B正確；
C選項，如圖3，滿足，，但不平行，C錯誤；
D選項，如圖4，滿足，，，但不平行，D錯誤.
故選：B
【變式1-1】已知、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列命題中不正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【答案】D
【分析】利用線面平行的性質可判斷A選項；利用面面平行、線面垂直的性質可判斷B選項；利用面面平行的性質可判斷C選項；根據已知條件判斷面面位置關系，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為，過直線作平面，使得，
因為，，，則，
因為，，則，故，A對；
對于B選項，若，，則，又因為，故，B對；
對于C選項，若，，則，C對；
對于D選項，若，，，則、平行或相交，D錯.
故選：D.
【變式1-2】已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則 B．若，且，則
C．若，且，則 D．若，且，則
【答案】D
【分析】構建正方體，利用其特征結合空間中直線與平面的位置關系一一判定選項即可.
【詳解】
如圖所示正方體，
對于A，若對應直線與平面，顯然符合條件，但，故A錯誤；
對于B，若對應直線與平面，顯然符合條件，但，故B錯誤；
對于C，若對應直線與平面，平面，顯然符合條件，但，故C錯誤；
對于D，若，且，又，是兩個不同的平面，則，故D正確.
故選：D
【變式1-3】設為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】根據線線、線面和面面的基本關系依次判斷選項即可.
【詳解】A：若，則或a與b互為異面直線，故A錯誤；
B：若，則或a與b互為異面直線，故B錯誤；
C：若，則，故C正確；
D：若，則或或a與b互為異面直線或a與b相交，故D錯誤.
故選：C
【變式1-4】設是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）
A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則
C．若，則 D．若，∥，則
【答案】B
【分析】對于A，與相交或平行；對于B，由面面垂直的判定定理得；對于C，與平行或；對于D，與相交、平行或．
【詳解】設是直線，，是兩個不同的平面，
對于A，若，，則與相交或平行，故A錯誤；
對于B，若，則內存在直線，因為，
所以，由面面垂直的判定定理得，故B正確；
對于C，若，，則與平行或，故C錯誤；
對于D，若，，則與相交、平行或，故D錯誤．
故選：B．
【變式1-5】已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】由線面位置關系的判定，分析選項中結論是否正確.
【詳解】A選項，缺條件，結論不成立；
B選項，直線與直線可能平行可能異面，結論不成立；
C選項，由直線與平面垂直的定義可知，結論正確
D選項，直線可能與平行，可能在內，也可能與相交，不一定滿足垂直，結論不成立.
故選：C
【變式1-6】關于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面，，下面命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，且，，則
【答案】B
【分析】ACD可舉出反例，B選項，可利用線面平行的性質和線面垂直的性質推出.
【詳解】A選項，若，，則a，b平行，相交或異面，比如圖1和圖2，A錯誤；
B選項，因為，如圖3，不妨設，且，則，
因為，，所以，由，則，B正確；
C選項，如圖4，滿足，，但，C錯誤；
D選項，，，且，，若，則不能得到，D錯誤.
故選：B
考點2 線面垂直的判定定理
【例2】如圖，長方體的底面ABCD是正方形，點E在棱AA 上，BE⊥EC .
(1)證明: BE⊥平面EB C
(2)若AA =2，AB=1，求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】線面垂直的判定，先證，再結合已知可得.
（2）常規方法求棱錐的體積，先求，再由體積公式可得.
【詳解】（1）
證明：由長方體的性質可知，平面
因為平面，
所以
∴⊥平面 .
（2）取棱的中點F，連接EF、
則
由（1）知，由題設可知，

∵在長方體 中，平面
∴點E到平面的距離
∴四棱錐的體積
【變式2-1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分別是PA，PB的中點，求證：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據三角形中位線性質和線面平行判定定理可證；
（2）利用線面垂直的性質可知，然后由矩形性質和線面垂直的判定定理可證.
【詳解】（1）因為M，N分別是PA，PB的中點,
所以.
又因為平面ABCD，
平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因為四邊形ABCD是矩形，
所以.
又，平面PAD，
所以平面PAD.
【變式2-2】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，過CD的平面分別與PA，PB交于點E，F．
(1)求證：平面PAC；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）證明直線垂直于平面，只需證這條直線與該平面內兩條不相交的直線垂直即可；
（2）先證明平面，再根據線面平行的性質證明，即可證明結論.
【詳解】（1）證明：∵在四棱錐中，平面平面ABCD，
∴，
∵平面PAC，
∴平面PAC．
（2）∵，
平面，平面，
故平面，
又過CD的平面分別與PA，PB交于點E，F，即平面平面，
∴，
∴.
【變式2-3】如圖所示，已知平面，，點E和F分別為和的中點.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）應用中位線即可證明，進而可證；
（2）應用線面垂直的性質定理及線面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】（1）連接，在中，
∵點E和F分別是和的中點，，
又平面且平面，
平面；

（2）為中點，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
考點3 面面垂直的判定定理
【例3】如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，進而得到線面平行；
（2）由線面垂直得到線線垂直，進而得到線面垂直，面面垂直.
【詳解】（1）連接，交于點，連接，
因為底面為矩形，所以為的中點，
又為的中點，所以，
因為平面，平面，
故平面；
（2）平面，平面，
∴，
∵底面為矩形，
.
又，平面，
平面.
又平面，
平面平面.
【變式3-1】如圖，在三棱柱中，平面．證明：平面平面；

【答案】證明見解析
【分析】根據題意，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到結果.
【詳解】因為平面，平面,
所以,
又因為，即，
平面，,
所以平面，
又因為平面,
所以平面平面.
【變式3-2】如圖，在直三棱柱中，底面是以為底邊的等腰直角三角形，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；
（2）利用等體積法即可求解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，
平面，
又平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）由（1）可知平面，
又平面，
由題意可知，，，
，
設點到平面的距離為，
由可得，，
即，解得.
所以點到平面的距離為.
【變式3-3】如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）分別作的中點，證得，得到，再由，得到，根據線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得平面平面.
（2）過作于，求得，，設點到平面的距離為，結合，即可求解.
【詳解】（1）證明：分別作的中點，連接，
因為分別為的中點，且四邊形為等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因為，，
可得，所以，
因為是正三角形，是中點，所以，又由，可知
又因為，所以，所以，
因為，，且平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，且為的中點，可得，
過作于，因為，則為的中點，
且，所以，
又由，所以，
設點到平面的距離為，則，解得，
所以點到平面的距離為.
考點4 線面垂直的性質定理
【例4】如圖，已知多面體的底面是邊長為3的正方形，底面，，且．證明：平面.

【答案】證明見解析
【分析】根據題意結合線面垂直的判定定理分析證明.
【詳解】因為底面，底面，則．
又因為，，平面，
所以平面．
【變式4-1】如圖，在三棱錐中，平面，．求證：平面；
【答案】證明見解析
【分析】先由線面垂直的性質證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證.
【詳解】因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，平面，
所以平面.
【變式4-2】如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．證明：.
【答案】證明見解析
【分析】連接，可得，，可證平面，進而可得.
【詳解】連接，
因為E為BC中點，，可得，
因為，，
可知與均為等邊三角形，即，可得，
且，平面，
則平面，而平面，所以．
【變式4-3】如圖，在三棱柱中，，．證明：
【答案】證明見解析
【分析】取的中點，利用等腰三角形結合線面垂直判定定理先證明平面，然后由線面垂直性質可得.
【詳解】取的中點，連接，，
，，，，
又，平面，
平面，
又因為平面，
.
考點5 面面垂直的性質定理
【例5】如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點.

(1)求證：平面；
(2)求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用線面平行的判定定理直接證明即可；
（2）由面面垂直得出線面垂直，再由線面垂直得出線線垂直.
【詳解】（1）連接交于點，則為的中點，連接，
因為為的中點，所以，
又平面，且平面，
所以平面.
（2）連接，因為，所以四邊形為菱形，
所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以，
因為平面，
所以平面，
又平面，所以.

【變式5-1】如圖，已知長方形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】利用面面垂直的性質、線面垂直的性質推理即得．
【詳解】在長方形中，，，
為的中點，則，
即有，于是，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以．
【變式5-2】如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：.

【答案】證明見解析
【分析】根據面面垂直的性質可得平面，進而結合線面垂直的性質求證即可.
【詳解】證明：因為四邊形為矩形，
所以，
又平面平面，平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以.
【變式5-3】如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求證：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由線面平行的判定可證MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定證結論；
（2）由面面垂直的性質得AM⊥平面MBCN，再由線面垂直的性質、判定證BC⊥面AMC，最后由線面垂直的性質證線線垂直即可.
【詳解】（1）因為MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．
因為AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．
又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．
（2）因為AMND是矩形，所以AM⊥MN．
因為面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，
所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．
因為MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，
因為AC面AMC，所以BC⊥AC．8.3 空間中的垂直關系
空間中的垂直關系
線線垂直
①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直
②勾股定理的逆定理證線線垂直
③菱形、正方形的對角線互相垂直
線面垂直的判定定理
判定定理：一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直
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線面垂直的性質定理
性質定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線
圖形語言 符號語言
性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行
圖形語言 符號語言
面面垂直的判定定理
判定定理：一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直 （或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）
圖形語言 符號語言
面面垂直的性質定理
性質定理：兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面
圖形語言 符號語言
考點1 垂直關系的判斷
【例1】已知直線、m、n與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【變式1-1】已知、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列命題中不正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【變式1-2】已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則 B．若，且，則
C．若，且，則 D．若，且，則
【變式1-3】設為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-4】設是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）
A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則
C．若，則 D．若，∥，則
【變式1-5】已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【變式1-6】關于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面，，下面命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，且，，則
考點2 線面垂直的判定定理
【例2】如圖，長方體的底面ABCD是正方形，點E在棱AA 上，BE⊥EC .
(1)證明: BE⊥平面EB C
(2)若AA =2，AB=1，求四棱錐的體積.
【變式2-1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分別是PA，PB的中點，求證：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【變式2-2】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，過CD的平面分別與PA，PB交于點E，F．
(1)求證：平面PAC；
(2)求證：．
【變式2-3】如圖所示，已知平面，，點E和F分別為和的中點.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面.
考點3 面面垂直的判定定理
【例3】如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【變式3-1】如圖，在三棱柱中，平面．證明：平面平面；

【變式3-2】如圖，在直三棱柱中，底面是以為底邊的等腰直角三角形，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求點到平面的距離.
【變式3-3】如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求點到平面的距離.
考點4 線面垂直的性質定理
【例4】如圖，已知多面體的底面是邊長為3的正方形，底面，，且．證明：平面.

【變式4-1】如圖，在三棱錐中，平面，．求證：平面；
【變式4-2】如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．證明：.
【變式4-3】如圖，在三棱柱中，，．證明：
考點5 面面垂直的性質定理
【例5】如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點.

(1)求證：平面；
(2)求證：.
【變式5-1】如圖，已知長方形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面．求證：．
【變式5-2】如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：.

【變式5-3】如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求證：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC．

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