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9.1 直線方程及其直線間位置關(guān)系
兩點(diǎn)間的距離公式
，，
中點(diǎn)坐標(biāo)公式
，，為的中點(diǎn)，則：
三角形重心坐標(biāo)公式
直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系
斜率：表示直線的變化快慢的程度；，直線遞增，，直線遞減，
傾斜角：直線向上的部分與軸正方向的夾角，范圍為
直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：
不存在
兩點(diǎn)間的斜率公式
，，
直線的斜截式方程
，其中為斜率，為軸上的截距
直線的點(diǎn)斜式方程
已知點(diǎn)，直線的斜率，則直線方程為：
直線的一般式方程
兩條直線的位置關(guān)系
平行的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為：
兩條平行線間的距離公式
，，
考點(diǎn)1 直線的傾斜角和斜率
【例1】直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)方程可得斜率，進(jìn)而可得傾斜角.
【詳解】由直線，可得，
即其斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，
則，，
故選：D.
【變式1-1】若直線l的一個方向向量為，求直線的傾斜角（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直線斜率，進(jìn)而求出直線傾斜角即得.
【詳解】直線l的一個方向向量為，則直線斜率為，
所以直線的傾斜角為.
故選：C
【變式1-2】圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.
【詳解】由圖象可得，，
故選：C
【變式1-3】過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)斜率公式求解.
【詳解】因?yàn)椋獾茫?br/>故選:D.
【變式1-4】若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
【答案】A
【分析】根據(jù)斜率公式即可得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得.
故選：A.
【變式1-5】若，，三點(diǎn)在同一條直線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三點(diǎn)共線得，利用斜率的坐標(biāo)公式建立方程求解即可.
【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，所以，所以，
解得.
故選：D
【變式1-6】已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】先由，求斜率，再求傾斜角.
【詳解】設(shè)直線的斜率為k,則.令直線的傾斜角為，則，，.
故選：B
考點(diǎn)2 直線方程
【例2】過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可知直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程得，
所求直線的方程為，即．
故選：A
【變式2-1】．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，則直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.
【詳解】由題意可知，所求直線的方程為，即.
故選：A.
【變式2-2】已知直線在軸上的截距為-2，則此直線方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】將代入各項(xiàng)直線方程中求值即可.
【詳解】A、B、D：將代入方程，可得，不合要求；
C：時，，符合要求；
故選：C
【變式2-3】直線與直線關(guān)于軸對稱,則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】取直線兩點(diǎn),找到其關(guān)于軸對稱的點(diǎn),利用兩點(diǎn)求出所在方程即可.
【詳解】解:已知直線,
不妨取直線兩點(diǎn)
所以這兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為
則直線與直線關(guān)于軸對稱的直線過這兩點(diǎn),
所以過這兩點(diǎn)的直線方程為,
故選:A
【變式2-4】若直線經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入直線方程求解即可.
【詳解】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)
所以，解得.
故選：A
【變式2-5】直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】分析直線的斜率及在軸上的截距即可.
【詳解】由可得：，
所以直線的斜率，軸上的截距為，
所以直線不經(jīng)過第一象限，
故選：A
【變式2-6】直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)截距的定義計(jì)算即可.
【詳解】令，解得，故；
令，解得，故．
故選：B
【變式2-7】已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.
【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.
故選：C.
【變式2-8】已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算化簡即可.
【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
【變式2-9】一束光線從點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由反射定律得點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，又因?yàn)锽點(diǎn)也在直線上，根據(jù)截距式可得直線方程．
【詳解】由題得點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)也在反射光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為，即，故選B.
【點(diǎn)睛】本題直線方程可由兩點(diǎn)式或截距式求出，找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是突破口，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-10】過點(diǎn)，且橫、縱截距相等的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】求出直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)時，對應(yīng)直線的方程即可．
【詳解】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線的斜率為，則直線方程為；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，則，解得，
所求的直線方程為，
綜上知，所求直線方程為或．
故選：D.
考點(diǎn)3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
【例3】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】由題意知，
，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為
故選：B
【變式3-1】．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接解方程求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】由解得，則直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：A.
【變式3-2】斜率為2，且過直線和直線交點(diǎn)的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.
【詳解】聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所求直線方程為.整理為.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了求兩直線的交點(diǎn)，考查了直線方程的點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題.
【變式3-3】過直線與直線的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得出答案
【詳解】聯(lián)立方程得，即與的交點(diǎn)為
又直線過原點(diǎn)
所以此直線的方程為：
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查的是兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法及直線方程的求法，較簡單.
考點(diǎn)4 直線間的平行關(guān)系
【例4】．直線與直線平行，則（ ）
A．-2 B．1 C．-2或1 D．-1或2
【答案】A
【分析】由兩直線平行即可得出的值.
【詳解】由題意，
直線與直線平行，
∴由，得或．
當(dāng)時，，，．
當(dāng)時，，，與重合．
故選：A.
【變式4-1】直線：與直線：平行， 則（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行直線的斜率相等關(guān)系列出方程，求得的值，然后檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，
所以或，
當(dāng)時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
當(dāng)時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
故選：A.
【變式4-2】過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)求出，得到.
【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，
將代入，得，解得：，
故直線方程為.
故選：D
【變式4-3】已知直線，.則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】求出時，或，從而得到是的充分不必要條件.
【詳解】當(dāng)時，直線的斜率為，的斜率為，
又，所以，充分性成立；
直線，，
若，則有，解得或，必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
考點(diǎn)5 直線間的垂直關(guān)系
【例5】若直線與互相垂直，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，
解得或.
故選：D.
【變式5-1】過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.
【詳解】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，
所以，所求直線的方程為，即.
故選：B.
【變式5-2】過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出與直線垂直的直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程.
【詳解】直線的斜率，因?yàn)椋实男甭剩手本€的方程為，即，
故選：B．
【變式5-3】若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列出等量關(guān)系式，求得的值.
【詳解】直線與直線垂直，
則，解得，
故選：B.
考點(diǎn)6 點(diǎn)到直線間的距離公式
【例6】若點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】直接使用點(diǎn)到直線的距離公式即可.
【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式可得,
故選：B.
【變式6-1】點(diǎn) 到直線的距離是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】點(diǎn)到直線的距離公式求解
【詳解】點(diǎn) 到直線的距離為：
故選：B.
【變式6-2】點(diǎn)到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接使用點(diǎn)到直線距離公式代入即可.
【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式得
故選：B
【變式6-3】已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（ ）
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式即可得出.
【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為1，
解得：m=15或5．
故選：D.
考點(diǎn)7 平行線間的距離公式
【例7】已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
【答案】A
【分析】由兩平行線距離公式求解即可.
【詳解】這兩條直線之間的距離為.
故選：A
【變式7-1】兩條平行直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行求出，再利用兩平行直線之間的距離公式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行,
所以,解得,
將化為,
所以兩平行直線與之間的距離為.
故選：C
【變式7-2】已知直線和直線，則與之間的距離是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用平行線間的距離公式計(jì)算即可
【詳解】由平行線間的距離公式得
故選 ：A
【變式7-3】若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（ ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【答案】A
【分析】利用平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閮蓷l平行線與之間的距離是2，
所以，或，
故選：A
考點(diǎn)8 恒過定點(diǎn)問題
【例8】直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在直線方程中，先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得的值，可得直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】直線可化簡為，
故可得，可得，
故可得直線過定點(diǎn).
故選:D.
【變式8-1】直線恒過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將直線變?yōu)辄c(diǎn)斜式，求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】變形為，故恒過點(diǎn).
故選：B
【變式8-2】已知直線，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時，恒過點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將直線的方程變形為，解方程組可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】直線的方程可化為，由，解得，
因此，直線恒過定點(diǎn).
故選：B.9.1 直線方程及其直線間位置關(guān)系
兩點(diǎn)間的距離公式
，，
中點(diǎn)坐標(biāo)公式
，，為的中點(diǎn)，則：
三角形重心坐標(biāo)公式
直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系
斜率：表示直線的變化快慢的程度；，直線遞增，，直線遞減，
傾斜角：直線向上的部分與軸正方向的夾角，范圍為
直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：
不存在
兩點(diǎn)間的斜率公式
，，
直線的斜截式方程
，其中為斜率，為軸上的截距
直線的點(diǎn)斜式方程
已知點(diǎn)，直線的斜率，則直線方程為：
直線的一般式方程
兩條直線的位置關(guān)系
平行的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為：
兩條平行線間的距離公式
，，
考點(diǎn)1 直線的傾斜角和斜率
【例1】直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】若直線l的一個方向向量為，求直線的傾斜角（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式1-4】若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
【變式1-5】若，，三點(diǎn)在同一條直線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-6】已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
考點(diǎn)2 直線方程
【例2】過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，則直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】已知直線在軸上的截距為-2，則此直線方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】直線與直線關(guān)于軸對稱,則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-4】若直線經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B．1 C．-2 D．2
【變式2-5】直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式2-6】直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式2-7】已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-8】已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-9】一束光線從點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是
A． B．
C． D．
【變式2-10】過點(diǎn)，且橫、縱截距相等的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
考點(diǎn)3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
【例3】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】斜率為2，且過直線和直線交點(diǎn)的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】過直線與直線的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)4 直線間的平行關(guān)系
【例4】．直線與直線平行，則（ ）
A．-2 B．1 C．-2或1 D．-1或2
【變式4-1】直線：與直線：平行， 則（ ）
A．或 B． C． D．
【變式4-2】過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知直線，.則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
考點(diǎn)5 直線間的垂直關(guān)系
【例5】若直線與互相垂直，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式5-1】過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)6 點(diǎn)到直線間的距離公式
【例6】若點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【變式6-1】點(diǎn) 到直線的距離是（　　）
A． B． C． D．
【變式6-2】點(diǎn)到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（ ）
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
考點(diǎn)7 平行線間的距離公式
【例7】已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
【變式7-1】兩條平行直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】已知直線和直線，則與之間的距離是（ ）
A． B． C．2 D．
【變式7-3】若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（ ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
考點(diǎn)8 恒過定點(diǎn)問題
【例8】直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】直線恒過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】已知直線，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時，恒過點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．

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