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9.2 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系
圓的標準方程
，其中圓心坐標為，半徑為
圓的一般方程
（）
配方可得：，
圓心坐標為，半徑為
表示圓的充要條件
點與圓的位置關系
已知點，圓的方程為：
若，點在圓內
若，點在圓上
若，點在圓外
直線與圓的位置關系
直線，圓
代數關系，其中為聯立方程根的個數，
幾何關系，其中為圓心到直線的距離
圓與圓的位置關系
設圓的半徑為，設圓的半徑為，兩圓的圓心距為
若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內切
若，兩圓相交，若，兩圓內含，若，同心圓
兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；
兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；
兩圓內含，公切線的條數為0條；
弦長公式
設，，
則
或：
圓上一點到圓外一點的距離的最值
圓上一點到圓上一點的距離的最值
圓上一點到直線距離的最值
過圓內一點的最長弦和最短弦
最長弦：直徑；最短弦：垂直于直徑
圓中切線問題
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;
已知圓方程為圓:.
(1)過圓上的點的切線方程為.
(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.
4. 過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長度
一般方程(標準方程)
考點1 求圓的方程
【例1】已知圓，則圓心、半徑的長分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將圓的一般方程配成標準方程，找到圓心和半徑即可.
【詳解】因為，所以，
所以圓心，半徑長是.
故選：B.
【變式1-1】圓的圓心坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將圓的方程配成標準式，即可得解.
【詳解】圓即，
則圓心為.
故選：C
【變式1-2】圓心為，且經過坐標原點的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出圓的半徑即可得解.
【詳解】依題意，圓心為，且經過坐標原點的圓的半徑，
所以所求圓的標準方程為.
故選：D
【變式1-3】已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圓心到切線的距離等于半徑，求出圓的半徑，即可得到本題答案.
【詳解】因為圓心為的圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，
所以該圓的標準方程是．
故選：A
【變式1-4】已知圓的圓心為，且與直線相切，則圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即：，列式可得結果.
【詳解】設圓方程為，
∵直線與圓相切，圓心到直線的距離為，
∴，
∴圓的方程為：.
故選：A.
【變式1-5】三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用圓的一般方程列出方程組求解即可.
【詳解】設所求圓方程為,
因為，，三點都在圓上，
所以，解得，
即所求圓方程為：.
故選：C.
【變式1-6】已知圓關于直線對稱，則（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根據圓關于直徑對稱來求.
【詳解】因為圓的圓心為
又因為圓關于直線對稱，即，所以
故選：B
【變式1-7】圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據點關于直線對稱的性質，結合圓的標準方程進行求解即可.
【詳解】由圓C：，可知圓心坐標：，半徑為，
因為點關于直線的對稱點為，
所以圓C：關于直線對稱的圓的方程是
，
故選：C
【變式1-8】若方程表示圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據公式，即可求解.
【詳解】若方程表示圓，則，
解得：或.
故選：C
【變式1-9】圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】一個圓關于直線對稱的圓是圓心坐標關于直線對稱，半徑相等，求出已知圓的圓心坐標及半徑，設所求圓的圓心，可得兩個圓心的中垂線為已知直線，進而求出所求的圓心坐標，即可寫出圓的方程.
【詳解】由圓的方程可得，圓心坐標半徑為2，
由題意可得關與直線對稱的圓的圓心為關于直線對稱的點，半徑為2，設所求圓的圓心為，則，解得，
故圓的方程為
故選：D
【變式1-10】已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意得到，再解不等式即可.
【詳解】因為方程表示圓，
所以，解得.
故選：D
考點2 圓中的幾何性質
【例2】已知圓，則當圓的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據圓的一般方程，得到圓心和半徑，求出面積最小時對應的半徑，再求得圓心到坐標原點的距離，進而可求出結果.
【詳解】解：由題意得：
由得
圓心為，半徑為，
當且僅當時，半徑最小，則面積也最??；
圓心為，半徑為，
圓心到坐標原點的距離為，
即原點在圓外，根據圓的性質，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為.
故選：D.
【變式2-1】已知為坐標原點，為圓上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】求得圓心坐標和半徑，結合圓的性質，即可求解.
【詳解】由圓，可得圓C的圓心坐標為，半徑為，
則，所以的最小值為.
故選：A.
【變式2-2】已知圓C：(x+3)2+(y+4)2=4上一動點B，則點B到直線l:3x+4y+5=0的距離的最小值為（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】C
【解析】由題意求出圓心到直線的距離，再減去圓的半徑即可所求答案
【詳解】因為圓心到直線的距離，
所以最小值為，
故選：C．
【變式2-3】圓上的點到直線距離的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，求得圓心到直線的距離，結合圓的性質，即可求解.
【詳解】將圓的方程化為，可得圓心坐標為，半徑為1，
則圓心到直線的距離，
所以圓上的點到直線距離的最大值為．
故選：A．
【變式2-4】直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，求出線段長，再求出圓心到直線的距離，進而求得圓上的點到直線距離的范圍即可求出三角形面積范圍.
【詳解】依題意，直線交軸于，交軸于，則，
圓的圓心到直線的距離，而圓的半徑為，
于是圓上的點到直線的距離的范圍為，
所以的面積.
故選：C
【變式2-5】已知點在圓上，則到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓上的動點到直線距離最短為圓心到直線的的距離減去半徑求解即可.
【詳解】的圓心，，圓心到直線的距離等于，
故圓上的動點到直線的距離的最小值為．
故選：C
考點3 直線與圓的位置關系
【例3】直線l：與圓C：的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能
【答案】A
【分析】利用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得答案.
【詳解】圓C的圓心坐標為，半徑為2，直線l的方程為，
圓心到直線l的距離為，
所以直線l與圓C的位置關系是相交.
故選：A.
【變式3-1】直線和圓的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．無法確定
【答案】A
【分析】根據直線與圓的位置關系列式判斷即可.
【詳解】由，得，
所以圓心為，半徑為，
而直線可化為，
所以圓心到直線的距離為，
則直線和圓相交.
故選：A
【變式3-2】“”是“直線與圓相切”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由與圓相切等價于直線到圓心距離等于半徑結合充分必要條件相關知識可得答案.
【詳解】由可得，則其圓心為，半徑為1.
當時，直線為，此時其到圓圓心距離為，則“”是“直線與圓相切”的充分條件；若直線“直線與圓相切”，則，得或，則“”不是“直線與圓相切”的必要條件，則“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.
故選：A
【變式3-3】直線與圓的位置關系是（ ）
A．過圓心 B．相切
C．相離 D．相交但不過圓心
【答案】D
【分析】先求出圓的圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得結論.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，
因為，所以直線與圓相交但不過圓心，
故選：D
【變式3-4】直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由圓的標準方程可得該圓的圓心和半徑，再結合勾股定理知識可得弦長.
【詳解】由圓的標準方程可得該圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以直線被圓截得的弦長為，
故選：C.
【變式3-5】已知直線和圓交于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圓的弦長公式即得解.
【詳解】由題意知，圓心的坐標為，
所以，圓心到直線的距離，
所以，，
故選：D.
【變式3-6】直線被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，利用點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，利用垂徑定理可求得弦長.
【詳解】由圓，
得圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
所以直線被圓截得的弦長為.
故選：D.
考點4 圓中的切線問題
【例4】圓在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直線與圓的位置關系計算即可.
【詳解】易知該切線斜率存在，不妨設切線方程，
易知圓心，半徑，所以到的距離為，
解之得，即切線.
故選：A
【變式4-1】過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】分2種情況討論：①直線l的斜率不存在，則其方程為，易得其與圓相切；②直線l的斜率存在，設其方程為，根據直線l與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k的值即可．
【詳解】圓化為標準方程為，得圓心，半徑為2，
當直線l的斜率不存在時，直線，
此時直線l與圓相切，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，
圓心到直線l的距離為，
由相切得，
所以，平方化簡得，求得直線方程為，
綜上，直線l的方程為或
故選：B
【變式4-2】以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用點到直線的距離求出圓的半徑，然后根據圓心和半徑寫出圓的方程即可.
【詳解】圓心到直線的距離為，
由直線與圓相切得圓的半徑為1，所以圓的方程是.
故選：D
【變式4-3】已知圓，過點作圓的切線.則該切線的一般式方程為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】考慮過的直線斜率不存在和存在兩種情況，設出直線方程，結合圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出直線方程.
【詳解】的圓心為，半徑為，
當過的直線斜率不存在時，直線方程為，
此時圓心到直線的距離為，故不是圓的切線，
當過的直線斜率存在時，設直線方程為，
則，解得，
則直線方程為，化為一般式為.
故選：A
考點5 圓與圓的位置關系
【例5】已知，則兩圓的位置關系為（ ）
A．相切 B．外離 C．內含 D．相交
【答案】D
【分析】先將圓化為標準方程，從而求出圓心距，再根據圓心距與兩圓半徑的關系，即可得解.
【詳解】因為可化為
則，半徑，
因為可化為，
則，半徑，
則，因為，
所以兩圓相交.
故選：D.
【變式5-1】已知圓：，圓：，則與的位置關系是（ ）
A．外切 B．內切 C．相交 D．外離
【答案】C
【分析】算出兩圓圓心的距離，然后與兩圓半徑之和、差比較即可.
【詳解】圓的圓心為，
圓的圓心為，
所以
所以圓與的位置關系是相交.
故選: C.
【變式5-2】已知圓，圓，則兩圓的公切線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由兩圓的位置關系即可確定公切線的條數.
【詳解】由題意圓是以為圓心1為半徑的圓；
即是以為圓心3為半徑的圓；
圓心距滿足，所以兩圓相離，
所以兩圓的公切線條數為4.
故選：D.
【變式5-3】圓與圓的公切線的條數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】將圓的一般方程化成標準方程，求得兩圓的圓心及半徑，再求圓心距及半徑之間的關系即可求得公切線的個數.
【詳解】圓化成標準方程為，知
圓化成標準方程為，知
圓心距，可知兩圓內切，則兩圓有1條公切線.
故選：A
【變式5-4】已知圓：，圓：，則圓與圓的公共弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判斷兩圓位置關系，兩圓方程作差即可得公共線方程.
【詳解】由，則，；
由，則，；
所以，兩圓相交，
將兩圓作差得，所以公共線方程.
故選：B
【變式5-5】圓：和圓：的公共弦AB的垂直平分線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得到圓心，，公共弦AB的垂直平分線即為直線，利用兩點式求出直線方程，化為一般式.
【詳解】變形為，圓心為，
變形為，圓心為，
公共弦AB的垂直平分線即為直線，
即，整理得.
故選：D
【變式5-6】圓與圓公共弦長為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】兩圓的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由
公共弦長公式求出答案即可.
【詳解】聯立兩個圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為.
故選:.
【變式5-7】圓：與圓：的公共弦的弦長等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】計算圓心距確定兩圓相交，得到公共弦為，根據弦長公式即得.
【詳解】圓：，圓心為，半徑為；
圓：，圓心為，半徑為；
圓心距，，兩圓相交，
聯立兩圓方程，得，
即公共弦所在直線的方程為，
故圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為：.
故選：D.9.2 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系
圓的標準方程
，其中圓心坐標為，半徑為
圓的一般方程
（）
配方可得：，
圓心坐標為，半徑為
表示圓的充要條件
點與圓的位置關系
已知點，圓的方程為：
若，點在圓內
若，點在圓上
若，點在圓外
直線與圓的位置關系
直線，圓
代數關系，其中為聯立方程根的個數，
幾何關系，其中為圓心到直線的距離
圓與圓的位置關系
設圓的半徑為，設圓的半徑為，兩圓的圓心距為
若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內切
若，兩圓相交，若，兩圓內含，若，同心圓
兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；
兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；
兩圓內含，公切線的條數為0條；
弦長公式
設，，
則
或：
圓上一點到圓外一點的距離的最值
圓上一點到圓上一點的距離的最值
圓上一點到直線距離的最值
過圓內一點的最長弦和最短弦
最長弦：直徑；最短弦：垂直于直徑
圓中切線問題
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;
已知圓方程為圓:.
(1)過圓上的點的切線方程為.
(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.
4. 過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長度
一般方程(標準方程)
考點1 求圓的方程
【例1】已知圓，則圓心、半徑的長分別是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】圓的圓心坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】圓心為，且經過坐標原點的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-4】已知圓的圓心為，且與直線相切，則圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-5】三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-6】已知圓關于直線對稱，則（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【變式1-7】圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-8】若方程表示圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式1-9】圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-10】已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
考點2 圓中的幾何性質
【例2】已知圓，則當圓的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】已知為坐標原點，為圓上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．
【變式2-2】已知圓C：(x+3)2+(y+4)2=4上一動點B，則點B到直線l:3x+4y+5=0的距離的最小值為（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【變式2-3】圓上的點到直線距離的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【變式2-4】直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-5】已知點在圓上，則到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
考點3 直線與圓的位置關系
【例3】直線l：與圓C：的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能
【變式3-1】直線和圓的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．無法確定
【變式3-2】“”是“直線與圓相切”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【變式3-3】直線與圓的位置關系是（ ）
A．過圓心 B．相切
C．相離 D．相交但不過圓心
【變式3-4】直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【變式3-5】已知直線和圓交于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-6】直線被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
考點4 圓中的切線問題
【例4】圓在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式4-2】以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】已知圓，過點作圓的切線.則該切線的一般式方程為
A． B．
C． D．
考點5 圓與圓的位置關系
【例5】已知，則兩圓的位置關系為（ ）
A．相切 B．外離 C．內含 D．相交
【變式5-1】已知圓：，圓：，則與的位置關系是（ ）
A．外切 B．內切 C．相交 D．外離
【變式5-2】已知圓，圓，則兩圓的公切線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式5-3】圓與圓的公切線的條數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式5-4】已知圓：，圓：，則圓與圓的公共弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-5】圓：和圓：的公共弦AB的垂直平分線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-6】圓與圓公共弦長為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-7】圓：與圓：的公共弦的弦長等于（ ）
A．2 B．4 C． D．

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