資源簡介

9.3 橢圓
橢圓的定義
數(shù)學(xué)表達式
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
橢圓中，，的基本關(guān)系
橢圓的幾何性質(zhì)
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
范圍
頂點坐標(biāo) ， ， ， ，
長軸 長軸長，長半軸長
短軸 短軸長，短半軸長
焦點 ， ，
焦距 焦距，半焦距
對稱性 對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為
離心率
離心率對橢圓的影響 越大，橢圓越扁 越小，橢圓越圓 ，圓
通徑
（過橢圓焦點與坐標(biāo)軸垂直的直線截得的弦長）
通徑長：，
半通徑長：
橢圓中的兩個周長問題
考點1 判斷構(gòu)成橢圓的條件
【例1】“”是“方程表示橢圓”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用方程表示橢圓的條件列出不等式，再利用充分必要條件判斷即可
【詳解】若方程表示橢圓，
則滿足 即且，此時成立，即必要性成立，
當(dāng)m＝2時，滿足，但此時方程等價為為圓，不是橢圓，不滿足條件．即充分性不成立
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，
故選：B．
【變式1-1】命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓，則使命題p成立的充分不必要條件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由焦點在y軸上的橢圓方程和充分必要條件可解問題.
【詳解】命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓，
，解得,
則使命題p成立的充分不必要條件是．
故選：A．
【變式1-2】“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解出方程表示的曲線為橢圓時的取值范圍，再由集合間的包含關(guān)系即可得出結(jié)論.
【詳解】若方程表示的曲線為橢圓，則，
解得或，
則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件，
故選：B．
【變式1-3】“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)方程表示橢圓，列出不等式組，求出的取值范圍，然后根據(jù)題意和充分條件和必要條件的判斷即可求解.
【詳解】若方程表示橢圓，則有，解得且，因為且是集合的真子集，
所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，
故選：B.
【變式1-4】．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，確定焦點在軸上的橢圓的特點列不等式，即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：方程表示焦點在軸上的橢圓，
則，解得，故實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
考點2 求橢圓方程
【例2】已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】畫圖，分析出，確定圓心M的軌跡為橢圓，求出，得到軌跡方程.
【詳解】如圖，由題意得：，，其中，
所以，
由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以為焦點的橢圓，設(shè)，
則，解得：，
故動圓圓心M的軌跡方程為.
故選：D
【變式2-1】已知的周長為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】錯解：
∵△ABC的周長為20，頂點，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：D.
錯因：
忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.
正解：
∵△ABC的周長為20，頂點，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：B.
【變式2-2】橢圓M的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓M于點A，B.若的周長為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓定義列出方程，求出a＝5，根據(jù)焦點坐標(biāo)求出c＝3，，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】因為的周長為20，由橢圓定義可知：4a＝20，即a＝5，
又因為c＝3，所以，
所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
【變式2-3】已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用橢圓的對稱性、勾股定理、橢圓的定義求得，再求得后可得標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】由對稱性，又，則，
所以，，又，則，
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：B．
【變式2-4】已知橢圓的一個焦點為，且過點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)出橢圓方程，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，橢圓的焦點在軸上，故設(shè)其方程為：，顯然，，
則，故橢圓方程為.
故選：B.
【變式2-5】已知橢圓過點和點，則此橢圓的方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上均不正確
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出橢圓方程，將給定點的坐標(biāo)代入，列出方程組求解即得.
【詳解】設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因橢圓過點和點，
于是得 ，解得，
所以所求橢圓方程為.
故選：A
【變式2-6】過點(－3，2)且與有相同焦點的橢圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先得焦點坐標(biāo)，設(shè)方程為，將點代入解出的值，進而可得結(jié)果.
【詳解】因為焦點坐標(biāo)為，設(shè)方程為，
將代入方程可得，解得，故方程為，
故選：A.
考點3 橢圓中的幾何性質(zhì)
【例3】橢圓：的焦距為（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)求出，即可得解.
【詳解】由，得，
所以橢圓：的焦距為為.
故選：B.
【變式3-1】橢圓x2＋4y2＝1的焦距為（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【分析】先把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，結(jié)合得到結(jié)果.
【詳解】先將橢圓x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
則，．
故焦距為2c＝．
故選：B.
【變式3-2】已知橢圓的一個焦點的坐標(biāo)是，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由條件可知，，，，
所以，得，
故選：C
【變式3-3】橢圓的短軸長是（ ）
A．7 B．14 C．9 D．18
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的方程確定，即可求得答案.
【詳解】由于橢圓方程為，設(shè)橢圓短半軸長為b，
而，所以，則，
故橢圓的短軸長是，
故選：B
【變式3-4】關(guān)于橢圓，以下說法正確的是（ ）
A．長軸長為2 B．焦距為
C．離心率為 D．左頂點的坐標(biāo)為
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷.
【詳解】橢圓中，，
故長軸長為，焦距，離心率為，左頂點的坐標(biāo)為，故只有B正確.
故選：B
考點4 求橢圓離心率
【例4】橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.
【詳解】由題意得，解得，
故選：A.
【變式4-1】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到三條邊的長度關(guān)于的表達式，再利用橢圓的定義求得的關(guān)系式，進而得到離心率.
【詳解】依題意，設(shè)橢圓的長軸為，半焦距為，
則，則，，
于是，
.
故選：C.
【變式4-2】已知F是橢圓E：的右焦點，A為E的右頂點，，若直線AB與E交于點C，且，則橢圓E的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)直線AB，利用點在橢圓上求得C坐標(biāo)，代入直線得a,b,c關(guān)系求得離心率
【詳解】如圖，
，則AB：，
在橢圓中，取，可得，則，
把代入，
可得，即，
∴，則
∴解得（e=1舍去）．
故選：B．
【變式4-3】已知橢圓的右頂點為A，上、下頂點分別為，，是的中點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意結(jié)合斜率關(guān)系可得，再結(jié)合以及離心率的定義分析求解.
【分析】由題意可知：，，，則的中點，
因為，整理得，
又因為，即，整理得，
所以橢圓的離心率為.
故選：D．
【變式4-4】已知橢圓()，，分別為橢圓的左右焦點，直線與橢圓交于A、B兩點，若、A、、B四點共圓，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)四點共圓及的傾斜角得到為等邊三角形，故，進而求出，利用橢圓定義得到方程，求出離心率.
【詳解】因為、A、、B四點共圓，為圓心，所以，
故，又的傾斜角為，
故為等邊三角形，故，
由勾股定理得，
由橢圓定義可得，即，
解得.
故選：C
【變式4-5】已知橢圓的上頂點、右頂點、左焦點恰好是等腰三角形的三個頂點，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知得到，結(jié)合關(guān)系式即可求出結(jié)果.
【詳解】由題知等腰三角形的三邊為，，，
則，
即有，解得.
故選：D
考點5 橢圓大題綜合
【例5】設(shè)橢圓經(jīng)過點，且其左焦點坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)對角線互相垂直的四邊形的四個頂點都在上，且兩條對角線均過的右焦點，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和橢圓所過點，利用橢圓的定義可求方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出，利用二次函數(shù)可得答案.
【詳解】（1）因為橢圓的左焦點坐標(biāo)為，
所以右焦點坐標(biāo)為.
又橢圓經(jīng)過點，
所以.
所以橢圓的方程為.
（2）①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時，.
②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，
設(shè)直線的方程，
由，得，
則，
.
設(shè)直線的方程為，同理得，
所以，
設(shè)，則，
則，
所以時，有最小值.
綜上，的最小值是.
【變式5-1】已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
(3)延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由題可知，，，再結(jié)合，解出值即可得解；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，得韋達定理；利用中點坐標(biāo)公式以及斜率公式得直線的斜率，進而得解；
（3）若四邊形為平行四邊形，則，利用平面向量的線性坐標(biāo)運算可以用表示點的坐標(biāo)，再將其代入橢圓方程即可得到關(guān)于的方程，解之即可得解．
【詳解】（1）由題意可知，，，
，，
橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立，消去得，，
則，
為線段的中點，，，
，
為定值．
（3）若四邊形為平行四邊形，則，
，，
點在橢圓上，，解得，即，
當(dāng)四邊形為平行四邊形時，直線的斜率為．
【變式5-2】已知橢圓的離心率為，短軸長為2．
(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分．求此弦所在的直線方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由離心率、短軸長及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即得橢圓方程；
（2）設(shè)直線交橢圓于，將點代入橢圓方程，點差法求直線斜率，最后應(yīng)用點斜式寫出直線方程.
【詳解】（1）由題意，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）令過橢圓內(nèi)一點的直線交橢圓于，
所以，兩式作差得，則，
又，，故直線斜率為，
所以直線為，即.
【變式5-3】已知橢圓的離心率為，右焦點為．
(1)求此橢圓的方程；
(2)若過點F且傾斜角為的直線與此橢圓相交于A、B兩點，求|AB|的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由弦長公式即可求解.
【詳解】（1）由，得，
∴橢圓方程為
（2）由題意可知直線的方程為：，
由得，
解得．
∴．
【變式5-4】已知橢圓的短半軸為3，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過的直線交橢圓于兩點，且為的中點，求弦的長度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得的值，即可求解；
（2）設(shè)，利用“點差法”求得，得到直線的方程，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合弦長公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由橢圓 的短半軸為，離心率為，
可得且，即，
因為，可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）解：設(shè)，因為為的中點，可得，
則 ，兩式相減得，
即，即，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程組，整理得，可得，
則.
【變式5-5】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為1．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，
(2)若動直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，試問，在軸上是否存在兩定點，使其到直線l的距離之積為定值 若存在，求出兩定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和右焦點到右頂點的距離為1，聯(lián)立方程組即可解得標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)出直線l的方程為并與橢圓聯(lián)立，由可得，設(shè)出軸上兩點坐標(biāo)為，寫出兩距離之積的表達式即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
易知離心率，
又右焦點為，右頂點為，可得，
解得，則；
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)動直線l的方程為，
假設(shè)在軸上存在兩定點滿足題意，如下圖所示：

聯(lián)立，消去可得，
可得，即；
易知點到直線的距離，點到直線的距離，
可得；
若為定值，則需滿足，
解得或，此時滿足題意；
即可得在軸上存在兩定點，使得兩點到直線l的距離之積為.
【變式5-6】已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖所示，設(shè)點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，坐標(biāo)為
【分析】（1）利用已知和的關(guān)系，列方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線斜率存在時，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立， 可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡，可得直線所過定點．
【詳解】（1）依題意得
解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）存在點，使，點的坐標(biāo)為.理由如下：
直線過點，與橢圓交于不同的兩點.且都在軸上方.
直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程消去可得：.
此時，設(shè)，則.
，
.
存在點滿足條件.
點坐標(biāo)為.
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.9.3 橢圓
橢圓的定義
數(shù)學(xué)表達式
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
橢圓中，，的基本關(guān)系
橢圓的幾何性質(zhì)
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
范圍
頂點坐標(biāo) ， ， ， ，
長軸 長軸長，長半軸長
短軸 短軸長，短半軸長
焦點 ， ，
焦距 焦距，半焦距
對稱性 對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為
離心率
離心率對橢圓的影響 越大，橢圓越扁 越小，橢圓越圓 ，圓
通徑
（過橢圓焦點與坐標(biāo)軸垂直的直線截得的弦長）
通徑長：，
半通徑長：
橢圓中的兩個周長問題
考點1 判斷構(gòu)成橢圓的條件
【例1】“”是“方程表示橢圓”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓，則使命題p成立的充分不必要條件是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1-2】“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-3】“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-4】．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
考點2 求橢圓方程
【例2】已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】已知的周長為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（　　）
A． B． C． D．
【變式2-2】橢圓M的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓M于點A，B.若的周長為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】已知橢圓的一個焦點為，且過點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-5】已知橢圓過點和點，則此橢圓的方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上均不正確
【變式2-6】過點(－3，2)且與有相同焦點的橢圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
考點3 橢圓中的幾何性質(zhì)
【例3】橢圓：的焦距為（ ）
A．8 B． C．4 D．
【變式3-1】橢圓x2＋4y2＝1的焦距為（ ）
A． B． C．2 D．2
【變式3-2】已知橢圓的一個焦點的坐標(biāo)是，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】橢圓的短軸長是（ ）
A．7 B．14 C．9 D．18
【變式3-4】關(guān)于橢圓，以下說法正確的是（ ）
A．長軸長為2 B．焦距為
C．離心率為 D．左頂點的坐標(biāo)為
考點4 求橢圓離心率
【例4】橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．2
【變式4-1】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知F是橢圓E：的右焦點，A為E的右頂點，，若直線AB與E交于點C，且，則橢圓E的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知橢圓的右頂點為A，上、下頂點分別為，，是的中點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】已知橢圓()，，分別為橢圓的左右焦點，直線與橢圓交于A、B兩點，若、A、、B四點共圓，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】已知橢圓的上頂點、右頂點、左焦點恰好是等腰三角形的三個頂點，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
考點5 橢圓大題綜合
【例5】設(shè)橢圓經(jīng)過點，且其左焦點坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)對角線互相垂直的四邊形的四個頂點都在上，且兩條對角線均過的右焦點，求的最小值.
【變式5-1】已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
(3)延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.
【變式5-2】已知橢圓的離心率為，短軸長為2．
(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分．求此弦所在的直線方程．
【變式5-3】已知橢圓的離心率為，右焦點為．
(1)求此橢圓的方程；
(2)若過點F且傾斜角為的直線與此橢圓相交于A、B兩點，求|AB|的值．
【變式5-4】已知橢圓的短半軸為3，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過的直線交橢圓于兩點，且為的中點，求弦的長度.
【變式5-5】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為1．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，
(2)若動直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，試問，在軸上是否存在兩定點，使其到直線l的距離之積為定值 若存在，求出兩定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式5-6】已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖所示，設(shè)點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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