資源簡介

9.4 雙曲線
雙曲線的定義
數學表達式：
雙曲線的標準方程
焦點在軸上的標準方程 焦點在軸上的標準方程
標準方程為： 標準方程為：
雙曲線中，，的基本關系
雙曲線的幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍
頂點坐標 ， ， ， ，
實軸 實軸長，實半軸長
虛軸 虛軸長，虛半軸長
焦點 ， ，
焦距 焦距，半焦距
對稱性 對稱軸為坐標軸，對稱中心為
漸近線方程
離心率
離心率對雙曲線的影響 越大，雙曲線開口越闊 越小，雙曲線開口越窄
離心率與漸近線夾角的關系
通徑：
（同橢圓）
通徑長：，
半通徑長：
雙曲線的焦點到漸近線的距離為
考點1 判斷構成雙曲線的條件
【例1】“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】根據充分條件與必要條件的判斷，看條件與結論之間能否互推，條件能推結論，充分性成立，結論能推條件，必要性成立，由此即可求解.
【詳解】若方程表示雙曲線，
則或，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分而不必要條件.
故選：A
【點睛】本題以雙曲線的標準方程及充分必要條件的判斷，考查理解辨析能力，屬于基礎題.
【變式1-1】“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解得方程表示焦點在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.
【詳解】表示焦點在軸上的雙曲線 ,解得1故選B.
【點睛】本題考查雙曲線的方程，是基礎題，易錯點是不注意
【變式1-2】“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】求出方程表示雙曲線時參數的取值范圍，從而可判斷兩者之間的條件關系.
【詳解】因為方程表示雙曲線，故，
故，
而為的真子集，
故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A.
【變式1-3】若方程所表示的曲線為，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若曲線為雙曲線，則或
B．若曲線為橢圓，則
C．曲線可能是圓
D．若曲線為焦點在軸上的橢圓，則
【答案】B
【分析】利用方程表示雙曲線求解的取值范圍可判斷A；方程表示橢圓求解可判斷B；方程是否表示圓可判斷C；方程表示焦點在軸上的橢圓求解可判斷D.
【詳解】對于選項A：方程表示雙曲線，則，解得或，故A正確；
對于選項B：方程表示橢圓，則，解得且，故B錯誤；
對于選項C：當時，方程表示圓，故C正確；
對于選項D：方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，故D正確；
故選：B.
【變式1-4】已知方程，則E表示的曲線形狀是（ ）
A．若，則E表示橢圓
B．若E表示雙曲線，則或
C．若E表示雙曲線，則焦距是定值
D．若E的離心率為，則
【答案】B
【分析】根據曲線表示橢圓，求得m的范圍，判斷A; 根據曲線表示雙曲線，求得m的范圍，判斷B；由B的分析求雙曲線的焦距，可判斷C;根據E的離心率為，分類討論求得m的值，判斷D.
【詳解】由題意得，當時，，
即，要表示橢圓，需滿足 ，解得且，
故A錯誤；
若E表示雙曲線，則不能為0，
故化為，
則，即或，故B正確；
由B的分析知，時， ，此時c不確定，
故焦距不是定值，C錯誤；
若E的離心率為，則此時曲線表示橢圓，由A的分析知，且，
當時，，此時 ，
則，解得 ，
當時，，此時 ，
則，解得 ，故D錯誤，
故選：B
考點2 求雙曲線方程
【例2】已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，利用待定系數法求軌跡方程.
【詳解】，，又動點滿足，
動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，
設雙曲線方程為，
則有，
動點的軌跡方程為．
故選：A．
【變式2-1】已知的頂點，，若的內切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據切線長相等的關系求得，利用雙曲線定義求解.
【詳解】如圖，，，，
所以.根據雙曲線定義，
所求軌跡是以A，B為焦點，
實軸長為6的雙曲線的右支（除去右頂點），
方程為.
故選:C.
【變式2-2】已知y軸上兩點，，則平面內到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.
【詳解】點，，令為軌跡上任意點，則有，
因此動點的軌跡是以，為焦點，實軸長為8的雙曲線，
即雙曲線的實半軸長，而半焦距，則虛半軸長，
所以所求軌跡方程為.
故選：B
【變式2-3】已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點P與F1，F2的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（　　）
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】C
【分析】根據雙曲線的定義，可得，，由焦點位置可求雙曲線的標準方程.
【詳解】由題意，，，則，，
由兩焦點在軸上，所以雙曲線的標準方程為.
故選：C．
【變式2-4】已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得，結合漸近線方程列式求，進而可得結果.
【詳解】設雙曲線C的半焦距為，由橢圓可得，
由題意可得，解得，
所以雙曲線C：，即.
故選：D.
【變式2-5】已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且滿足，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據雙曲線的定義求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
由于雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程是.
故選：D
【變式2-6】已知動圓M與兩圓和都外切，則動圓M的圓心軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．前三個答案都不對
【答案】B
【分析】根據圓與圓的位置關系結合雙曲線的定義可求圓心軌跡.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
設動圓圓心為，半徑為r，則，且，
可得為定值，且，
所以動圓M的圓心軌跡是雙曲線的一支.
故選：B.
【變式2-7】在雙曲線中，虛軸長為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】將橢圓方程化成標準方程求出其焦點坐標，再根據雙曲線虛軸長度為6，即可求得雙曲線的標準方程.
【詳解】橢圓的標準方程為；
易得橢圓焦點坐標為，
又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，所以雙曲線的焦點在軸上，且，
由雙曲線虛軸長為6可知，所以；
所以，雙曲線的標準方程為.
故選：B.
考點3 雙曲線中的幾何性質
【例3】雙曲線的焦點坐標為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先求得，進而求得焦點坐標.
【詳解】因為，，所以，得，
所以焦點坐標為和.
故選：C
【變式3-1】若雙曲線C：的焦距長為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的性質計算即可.
【詳解】由題意可知，即，
令.
故選：D
【變式3-2】以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點，則的焦距為（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】C
【分析】由漸近線方程得出，，以及，聯立即可求得答案.
【詳解】由題意，，不妨設雙曲線的漸近線方程為，
則.又，且，
聯立解得，，即.
故選：C
【變式3-3】已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實軸長為4，則C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據雙曲線的基本量關系，結合漸近線方程求解即可.
【詳解】由題意雙曲線的焦點在軸上，則，，
又，則，故C的標準方程為.
故選：C
【變式3-4】已知雙曲線中心在原點，一頂點坐標為，且漸近線方程為，則其標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由頂點位置可假設雙曲線方程，結合頂點坐標和漸近線方程可求得，由此可得結果.
【詳解】雙曲線頂點在軸上，可設其方程為，
頂點坐標為，漸近線方程為，即，
，解得：，雙曲線方程為：.
故選：A.
【變式3-5】已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經過點，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設出等軸雙曲線的標準方程，將代入即可求解.
【詳解】設等軸雙曲線的方程為，
將點代入得，解得.
所以雙曲線的標準方程為.
故選:C.
【變式3-6】已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用焦點重合可得的值，結合雙曲線的漸近線方程可得答案.
【詳解】因為拋物線的焦點為，所以雙曲線的一個焦點也是，
所以，解得，即雙曲線的方程為，
其漸近線的方程為：.
故選：A.
【變式3-7】已知雙曲線的實軸長為8，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據條件分別求雙曲線的，再代入漸近線方程.
【詳解】橢圓的焦點在軸上，其中，，，
所以焦點坐標為和，
雙曲線的焦點為和，即，實軸長，則，
那么
所以雙曲線的漸近線方程為，即.
故選：B
考點4 求雙曲線離心率
【例4】若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通過橢圓的離心率得出之間的關系，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】由題意，
在橢圓中，離心率，
∴，即，
在雙曲線中，
∴雙曲線的離心率.
故選：A.
【變式4-1】已知雙曲線的右焦點為，則該雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據雙曲線的右焦點坐標可求得的值，即可得出該雙曲線的離心率的值.
【詳解】因為雙曲線的右焦點為，所以，，則，可得，
因此，該雙曲線的離心率為.
故選：C.
【變式4-2】已知雙曲線分別為的左焦點和右頂點，點是上的點，若的面積為，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根據題意得到和，進而化簡求得，即可得到答案.
【詳解】設雙曲線的焦距為，
由題設知，，則，
所以，且，易知，
又因為點在上，所以，所以，

因為，
所以，
則，
化簡得，
解得或（舍去）.
所以，，故C的離心率為.
故選：C
【變式4-3】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由橢圓和雙曲線的定義及條件可求，根據雙曲線離心率的定義可得結果.
【詳解】因為，，依題意，由橢圓及雙曲線的定義得：
，，
由，
解得，而，所以雙曲線的離心率．
故選：A．
【變式4-4】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，，且雙曲線C與橢圓E在第一象限的交點為P，若的面積為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據橢圓方程得到，由三角形面積得到，進而得到，代入雙曲線方程中，得到，求出離心率.
【詳解】由橢圓的方程可知，半焦距．
又的面積，所以，
代入橢圓的方程，得，所以．
又，解得，所以雙曲線的離心率．
故選：A．
【變式4-5】已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據漸近線方程得到，再代入離心率公式即可.
【詳解】由題意可知，所以.
故選：D.
28．雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意結合雙曲線的漸近線方程、斜率與傾斜角的關系以及離心率公式和三角函數公式即可得解.
【詳解】由題意雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，
所以，
而離心率為.
故選：A.
考點5 雙曲線大題綜合
【例5】已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經過點M（），
(1)求雙曲線C的標準方程
(2)已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）據共漸近線設雙曲線的方程，然后代入點,計算，即可得出答案．
（2）聯立直線與雙曲線的方程，得關于的一元二次方程，寫出韋達定理，然后表示出的中點坐標，代入圓的方程，計算即可得出答案．
【詳解】（1）設雙曲線的方程為,
代入,,得,解得,
所以雙曲線的方程為．
（2）由,得,
設,,,,
則中點坐標為,,
由韋達定理可得,
所以,
所以中點坐標為,
因為點在圓上，
所以,解得．
【變式5-1】已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，，且過點
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用雙曲線參數關系及點在雙曲線上列方程求，即得方程；
（2）根據所得雙曲線方程確定，且到軸距離為，結合三角形面積公式求面積即可.
【詳解】（1）由且，則，
又點在雙曲線上，則，
綜上，，即雙曲線的方程為.
（2）由（1）知：，而到軸距離為，
所以的面積為.
【變式5-2】已知雙曲線的離心率為，點是雙曲線的一個頂點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線右焦點作傾斜角為60°的直線，該直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據離心率、、焦點坐標求出可得答案；
（2）設直線的方程為，與雙曲線方程聯立，結合韋達定理利用可得答案.
【詳解】（1）由題可得，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）因為雙曲線的右焦點的坐標為，
所以經過雙曲線右焦點且傾斜角為的直線的方程為，
聯立，得，
設，，則，，
所以
.

【變式5-3】已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的任意一點，直線、斜率乘積為，焦距為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設，根據以及整體代換法求得結果；
（2）設直線,與橢圓方程聯立得出韋達定理，再表示，結合韋達定理求出結果.
【詳解】（1）設，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距為，可得，則，
結合，∴，，
∴雙曲線的標準方程為：．
（2）如圖，
由（1）知，，設，．
因為不與重合，所以可設直線．
聯立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
【變式5-4】已知雙曲線的實軸長為4，且與雙曲線有公共的焦點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知，是雙曲線上的任意一點，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根據題意設雙曲線，由雙曲線的性質即可求解；
（2）設出坐標，根據雙曲線的性質得出的范圍，利用兩點間距離公式求解.
【詳解】（1）由雙曲線的焦點在軸，坐標為，，
所以可設雙曲線的方程為，
由已知，所以，
又因為雙曲線與雙曲線有公共的焦點，所以，
解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）
由，可得或，
設，因為是雙曲線上的任意一點，
所以，則或，
，
因為或，
所以當時，有最小值.9.4 雙曲線
雙曲線的定義
數學表達式：
雙曲線的標準方程
焦點在軸上的標準方程 焦點在軸上的標準方程
標準方程為： 標準方程為：
雙曲線中，，的基本關系
雙曲線的幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍
頂點坐標 ， ， ， ，
實軸 實軸長，實半軸長
虛軸 虛軸長，虛半軸長
焦點 ， ，
焦距 焦距，半焦距
對稱性 對稱軸為坐標軸，對稱中心為
漸近線方程
離心率
離心率對雙曲線的影響 越大，雙曲線開口越闊 越小，雙曲線開口越窄
離心率與漸近線夾角的關系
通徑：
（同橢圓）
通徑長：，
半通徑長：
雙曲線的焦點到漸近線的距離為
考點1 判斷構成雙曲線的條件
【例1】“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【變式1-3】若方程所表示的曲線為，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若曲線為雙曲線，則或
B．若曲線為橢圓，則
C．曲線可能是圓
D．若曲線為焦點在軸上的橢圓，則
【變式1-4】已知方程，則E表示的曲線形狀是（ ）
A．若，則E表示橢圓
B．若E表示雙曲線，則或
C．若E表示雙曲線，則焦距是定值
D．若E的離心率為，則
考點2 求雙曲線方程
【例2】已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】已知的頂點，，若的內切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】已知y軸上兩點，，則平面內到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點P與F1，F2的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（　　）
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【變式2-4】已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-5】已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且滿足，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-6】已知動圓M與兩圓和都外切，則動圓M的圓心軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．前三個答案都不對
【變式2-7】在雙曲線中，虛軸長為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考點3 雙曲線中的幾何性質
【例3】雙曲線的焦點坐標為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式3-1】若雙曲線C：的焦距長為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點，則的焦距為（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【變式3-3】已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實軸長為4，則C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】已知雙曲線中心在原點，一頂點坐標為，且漸近線方程為，則其標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-5】已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經過點，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-6】已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-7】已知雙曲線的實軸長為8，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
考點4 求雙曲線離心率
【例4】若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】已知雙曲線的右焦點為，則該雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知雙曲線分別為的左焦點和右頂點，點是上的點，若的面積為，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式4-3】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，，且雙曲線C與橢圓E在第一象限的交點為P，若的面積為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
28．雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（ ）
A． B． C． D．
考點5 雙曲線大題綜合
【例5】已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經過點M（），
(1)求雙曲線C的標準方程
(2)已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數m的值.
【變式5-1】已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，，且過點
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
【變式5-2】已知雙曲線的離心率為，點是雙曲線的一個頂點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線右焦點作傾斜角為60°的直線，該直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求.
【變式5-3】已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的任意一點，直線、斜率乘積為，焦距為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
【變式5-4】已知雙曲線的實軸長為4，且與雙曲線有公共的焦點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知，是雙曲線上的任意一點，求的最小值．

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