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10.1 計數(shù)原理之排列組合
計數(shù)原理
1．分類加法計數(shù)原理
做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理
做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
排列組合
1．排列、組合的定義
排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義 合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
排列數(shù) 組合數(shù)
定義 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù) 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性質(zhì) A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
求解排列應(yīng)用問題方法匯總
直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)A除以m個順序一定的元素之間的全排列數(shù)A，即得到不同排法種＝A.
間接法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法
分組分配 平均分組、部分平均分組 1．對不同元素的分配問題 (1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)． (2)對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)． (3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
隔板法 將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤灾恍杩紤]每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子
環(huán)排問題 (1) 把 個不同的元素圍成一個環(huán)狀，排法總數(shù)為 (2) 個不同的元素圍成一圈， 個元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為 (3) 個不同的元素圍成一圈， 個元素不相鄰 ，符合條件的排列數(shù)為
涂色問題 涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。
考點(diǎn)1 分類加法原理
【例1】有5本不同的中文書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的英語書，每次取一本，不同的取法有（ ）
A．3種 B．12種 C．60種 D．不同于以上的答案
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理計算作答.
【詳解】依題意，計算不同取法種數(shù)有3類辦法：取一本中文書有5種方法，取一本數(shù)學(xué)書有4種方法，取一本英語書有3種方法，
由分類加法計數(shù)原理得：每次取一本，不同的取法有（種）.
故選：B
【變式1-1】完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有6個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這10個人中選1個人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（ ）
A．6種 B．10種 C．4種 D．60種
【答案】B
【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可.
【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，6+4=10.
故選：B.
【變式1-2】集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】分為集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)和集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)兩種情形討論即可.
【詳解】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．
若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，
若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計，
即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是6個，
故選：D.
【變式1-3】已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【答案】C
【分析】分類求解符合條件的三位數(shù)的個數(shù)即可.
【詳解】集合，且，
則這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”包含以下三種情況：
①十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；
②十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；
③十位數(shù)是，則百位數(shù)只能是，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；
綜上，符合條件的共有個.
故選：C.
考點(diǎn)2 分步乘法原理
【例2】某游泳錦標(biāo)賽上有四名運(yùn)動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項(xiàng)目且每人只能參加一個項(xiàng)目，有三個游泳項(xiàng)目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A． B． C．12 D．9
【答案】A
【分析】由分步乘法計數(shù)原理即可得到結(jié)果.
【詳解】甲、乙、丙、丁每人均有3種選擇，可以采用分步計數(shù)原理，得四人參賽方案的種類為．
故選：A.
【變式2-1】我國將在2024年2月17日舉行“十四冬”賽事，需兩名技術(shù)志愿者在其中一個星期分別值班4天，且每天都有人值班，則值班的所有可能性有（ ）
A．140種 B．280種 C．320種 D．720種
【答案】A
【分析】由分步乘法計數(shù)原理以及組合數(shù)計算即可得解.
【詳解】設(shè)甲、乙兩人值班，因?yàn)楦髦?天，共需7天，所以兩人僅有一天是同時值班，有種選擇方法；
剩余6天各值3天，有種選擇方法．所以共有（種）選擇方法．
故選：A
【變式2-2】甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．90種 D．120種
【答案】B
【分析】根據(jù)分類分步計數(shù)原理，利用組合數(shù)計算即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知，首先選取1種相同課外讀物的選法有種，
再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，
所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種；
故選：B
【變式2-3】在6雙不同顏色的手套中任取5只，恰好有2只為同一雙的取法共有（ ）種
A．360 B．480 C．600 D．1440
【答案】B
【分析】分三步：先從6雙手套中任取一雙，然后從剩余的5雙手套中任取3雙，再從取出的3雙手套中各取一只，由分步乘法計算原理可得.
【詳解】第一步，先從6雙手套中任取一雙，有種取法；
第二步，從剩余的5雙手套中任取3雙，有種取法；
第三步，從取出的3雙手套中各取一只，有種取法.
所以，恰好有2只為同一雙的取法共有種.
故選：B
考點(diǎn)3 相鄰問題
【例3】3名學(xué)生和2名老師站成一排合影，則3名學(xué)生相鄰的排法共有（ ）
A．48種 B．36種 C．20種 D．24種
【答案】B
【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可求解.
【詳解】3名學(xué)生相鄰,故將3名學(xué)生捆綁看成一個整體再與兩名老師進(jìn)行全排列,則共有排法，
故選:B.
【變式3-1】A，B，C，D四人并排站成一排，如果A與B相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）
A．24種 B．12種 C．48種 D．12種
【答案】B
【分析】利用捆綁法及分步乘法原理可求解
【詳解】將A與B看成一個整體，有種排法，再排“A與B”、 C，D有種排法，所以由分步乘法原理可知共有種不同的排法.
故選：B
【變式3-2】3名男生，2名女生站成一排照相，則2名女生相鄰且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72種 B．64種 C．48種 D．36種
【答案】D
【分析】利用捆綁法，將2名女生捆綁在一起，先站2名女生，再站3名男生.
【詳解】將2名女生捆綁在一起，故2名女生相鄰有種站法，又2名女生都不站在最左端，故有種站法，剩下3個位置，站3名男生有種站法，
故不同的站法共有種.
故選：D.
【變式3-3】2023年杭州亞運(yùn)會期間，甲 乙 丙3名運(yùn)動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法和插空法，即可求解.
【詳解】把甲乙捆綁成一個元素，則題設(shè)中的7個元素變?yōu)?個元素，
先排除去丙的5個元素，共有種排法，
再在中間的4個空隙中，插入丙，共有種插法，
所以甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有種.
故選：B.
考點(diǎn)4 不相鄰問題
【例4】甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【分析】甲和乙不相鄰，先排丙、丁、戊三人，再將甲乙插空即可．
【詳解】先排丙、丁、戊三人，共有種排法，
甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，
共有種排法，故排法種數(shù)為．
故選：D
【變式4-1】五人站一排拍照，不相鄰，則不同的排列方式共有（ ）
A．24種 B．48種 C．72種 D．96種
【答案】C
【分析】運(yùn)用插空法排列即可.
【詳解】先排三人有排法，確定四個空，用插空法有種排法，
所以不同的排列方式共有種排法，
故選：C
【變式4-2】畢業(yè)十周年校友們重返母校，銀杏樹下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右邊，且不與乙相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．66種 B．60種 C．36種 D．24種
【答案】C
【分析】利用插空法和平均分配法結(jié)合求出結(jié)果.
【詳解】先排甲、乙外的3人，有種排法，再插入甲、乙兩人，有種方法，共有種方法，
又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占，故所求不同和站法有（種）.
故選：C.
【變式4-3】4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（ ）
A．36 B．72 C．81 D．144
【答案】D
【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可求得答案.
【詳解】由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，
將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，
故共有種不同的排法，
故選：D
考點(diǎn)5 全排列問題
【例5】A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為（ ）
A．3種 B．4種
C．6種 D．12種
【答案】C
【分析】根據(jù)排列的含義，以及排列數(shù)的計算，即得答案.
【詳解】由題意所有排列的方法種數(shù)為，
故答案為：C
【變式5-1】若把英語單詞“word”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有（ ）
A．24種 B．23種 C．12種 D．11種
【答案】B
【分析】根據(jù)對立事件以及排列組合的知識求得正確答案.
【詳解】“word”一共有個不同的字母，
這個字母全排列有種方法，
其中正確的有種，所以錯誤的有種.
故選：B
【變式5-2】從、、、中任取個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知只需從、、、這個數(shù)字中任取個數(shù)字全排即可，利用排列計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】從、、、中任取個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，只需從這個數(shù)字中任取個數(shù)字全排即可，
因此，滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為.
故選：B.
【變式5-3】有2名老師和3名同學(xué)站成一排照相，所有不同站法的種數(shù)有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】全排列問題，利用排列知識進(jìn)行求解.
【詳解】2名老師和3名同學(xué)共5人站成一排照相，屬于全排列問題，故不同站法有種.
故選：B
考點(diǎn)6 分組分配問題
【例6】疫情期間，某社區(qū)將5名醫(yī)護(hù)人員安排到4個不同位置的核酸小屋做核酸檢測工作，要求每個核酸小屋至少有一名醫(yī)護(hù)人員，則共有多少種不同安排方法（ ）
A．480種 B．362種 C．120種 D．240種
【答案】D
【分析】根據(jù)分組分配問題結(jié)合排列組合即可求解.
【詳解】5名醫(yī)護(hù)人員安排到4個不同位置，按人數(shù)分組方式有，
所以不同安排方法有種．
故選：D
【變式6-1】現(xiàn)有個不同的生肖吉祥物，分個給老師，其他個分給位學(xué)生，每位學(xué)生至少分到個，則這個生肖吉祥物的分配方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【分析】先分個給老師，再將剩余的個分成組，最后分給學(xué)生.
【詳解】分三步，先分個給老師，共有種分法，
再把剩余的個分成組，共有種分組方法，
最后將分好組的吉祥物分給位學(xué)生，共有種分法，
故這6個生肖吉祥物的分配方法共有種，
故選：B.
【變式6-2】2023年亞運(yùn)會將在杭州舉行.將6位志愿者分成4組，其中兩組各2人，另兩組各1人，分赴亞運(yùn)會的4個不同場館服務(wù)，不同的分配方案的種數(shù)為（ ）
A．4320 B．1080 C．180 D．90
【答案】B
【分析】該問題屬于平均分組（堆）再分配的問題，先將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，再將其分配到四個不同場館即得.
【詳解】將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種方法，進(jìn)而將其分配到四個不同場館，有種情況，
由分步計數(shù)原理可得，不同的分配方案有種.
故選：.
【點(diǎn)睛】在分組過程中，要注意分組重復(fù)的情況，理解中分母的意義．
【變式6-3】將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)分配到A，B，C，D四個社區(qū)做環(huán)保宣傳，每個志愿者只能去其中一個社區(qū)且每個社區(qū)只能安排一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)分配到A，B，C，D四個社區(qū)的所有情況，以及甲不被分到A社區(qū)的情況，求出概率.
【詳解】甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)分配到A，B，C，D四個社區(qū)，共有種情況，
其中甲不被分到A社區(qū)，則從乙、丙、丁中選擇一個分到A社區(qū)，
剩余3人分配到3個社區(qū)，故共有種情況，
故甲不被分到A社區(qū)的概率是．
故選：C10.1 計數(shù)原理之排列組合
計數(shù)原理
1．分類加法計數(shù)原理
做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理
做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
排列組合
1．排列、組合的定義
排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義 合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
排列數(shù) 組合數(shù)
定義 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù) 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性質(zhì) A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
求解排列應(yīng)用問題方法匯總
直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)A除以m個順序一定的元素之間的全排列數(shù)A，即得到不同排法種＝A.
間接法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法
分組分配 平均分組、部分平均分組 1．對不同元素的分配問題 (1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)． (2)對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)． (3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
隔板法 將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤灾恍杩紤]每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子
環(huán)排問題 (1) 把 個不同的元素圍成一個環(huán)狀，排法總數(shù)為 (2) 個不同的元素圍成一圈， 個元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為 (3) 個不同的元素圍成一圈， 個元素不相鄰 ，符合條件的排列數(shù)為
涂色問題 涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。
考點(diǎn)1 分類加法原理
【例1】有5本不同的中文書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的英語書，每次取一本，不同的取法有（ ）
A．3種 B．12種 C．60種 D．不同于以上的答案
【變式1-1】完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有6個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這10個人中選1個人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（ ）
A．6種 B．10種 C．4種 D．60種
【變式1-2】集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【變式1-3】已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
考點(diǎn)2 分步乘法原理
【例2】某游泳錦標(biāo)賽上有四名運(yùn)動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項(xiàng)目且每人只能參加一個項(xiàng)目，有三個游泳項(xiàng)目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A． B． C．12 D．9
【變式2-1】我國將在2024年2月17日舉行“十四冬”賽事，需兩名技術(shù)志愿者在其中一個星期分別值班4天，且每天都有人值班，則值班的所有可能性有（ ）
A．140種 B．280種 C．320種 D．720種
【變式2-2】甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．90種 D．120種
【變式2-3】在6雙不同顏色的手套中任取5只，恰好有2只為同一雙的取法共有（ ）種
A．360 B．480 C．600 D．1440
考點(diǎn)3 相鄰問題
【例3】3名學(xué)生和2名老師站成一排合影，則3名學(xué)生相鄰的排法共有（ ）
A．48種 B．36種 C．20種 D．24種
【變式3-1】A，B，C，D四人并排站成一排，如果A與B相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）
A．24種 B．12種 C．48種 D．12種
【變式3-2】3名男生，2名女生站成一排照相，則2名女生相鄰且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72種 B．64種 C．48種 D．36種
【變式3-3】2023年杭州亞運(yùn)會期間，甲 乙 丙3名運(yùn)動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
考點(diǎn)4 不相鄰問題
【例4】甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
【變式4-1】五人站一排拍照，不相鄰，則不同的排列方式共有（ ）
A．24種 B．48種 C．72種 D．96種
【變式4-2】畢業(yè)十周年校友們重返母校，銀杏樹下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右邊，且不與乙相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．66種 B．60種 C．36種 D．24種
【變式4-3】4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（ ）
A．36 B．72 C．81 D．144
考點(diǎn)5 全排列問題
【例5】A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為（ ）
A．3種 B．4種
C．6種 D．12種
【變式5-1】若把英語單詞“word”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有（ ）
A．24種 B．23種 C．12種 D．11種
【變式5-2】從、、、中任取個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】有2名老師和3名同學(xué)站成一排照相，所有不同站法的種數(shù)有（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)6 分組分配問題
【例6】疫情期間，某社區(qū)將5名醫(yī)護(hù)人員安排到4個不同位置的核酸小屋做核酸檢測工作，要求每個核酸小屋至少有一名醫(yī)護(hù)人員，則共有多少種不同安排方法（ ）
A．480種 B．362種 C．120種 D．240種
【變式6-1】現(xiàn)有個不同的生肖吉祥物，分個給老師，其他個分給位學(xué)生，每位學(xué)生至少分到個，則這個生肖吉祥物的分配方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式6-2】2023年亞運(yùn)會將在杭州舉行.將6位志愿者分成4組，其中兩組各2人，另兩組各1人，分赴亞運(yùn)會的4個不同場館服務(wù)，不同的分配方案的種數(shù)為（ ）
A．4320 B．1080 C．180 D．90
【變式6-3】將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)分配到A，B，C，D四個社區(qū)做環(huán)保宣傳，每個志愿者只能去其中一個社區(qū)且每個社區(qū)只能安排一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是（ ）
A． B． C． D．

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