資源簡(jiǎn)介

10.3 概率
1．古典概型特點(diǎn)
(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性．
(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步驟
(1)判斷試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；
(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推廣
當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　
判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法
(1)定義法
判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
考點(diǎn)1 古典概型概率小題綜合
【例1】從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示及古典概型計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，
因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，
所以，滿足條件的有，，共2種，故所求的概率為.
故選：C
【變式1-1】某單位黨員到社區(qū)做志愿服務(wù)，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)做志愿者．每人安排1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)安排1人，則甲沒(méi)被安排到D社區(qū)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)排列數(shù)分別求甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)以及甲沒(méi)被安排到D社區(qū)的排列方法，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)，共有種不同安排方法，
若甲沒(méi)被安排到D社區(qū)，共有種不同安排方法，
所以甲沒(méi)被安排到D社區(qū)的概率為.
故選：C.
【變式1-2】三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中任選一個(gè)參加，則三個(gè)項(xiàng)目都有學(xué)生參加的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.
【詳解】三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中任選一個(gè)參加，共有種方法，
其中三個(gè)項(xiàng)目都有學(xué)生參加的方法有種，故所求的概率為.
故選：D
【變式1-3】我國(guó)周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13這8個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，這3個(gè)數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列舉出能組成勾股定理關(guān)系組數(shù)，結(jié)合組合知識(shí)求出概率.
【詳解】在這8個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)共有種取法，
能組成勾股定理關(guān)系的有，，，共3組，
由古典概型，可知這3個(gè)數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為．
故選：D．
【變式1-4】若甲、乙、丙三名公務(wù)員隨機(jī)分到A，B兩個(gè)村實(shí)踐鍛煉，則每個(gè)村至少有一名公務(wù)員的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，基本事件總數(shù).
每個(gè)村至少有一名公務(wù)員包含的基本事件個(gè)數(shù)，
所以每個(gè)村至少有一名公務(wù)員的概率為.
故選：A.
【變式1-5】江南的周莊、同里、甪直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】應(yīng)用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率即可.
【詳解】從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游的可能情況有種情況，
只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為．
故選：B
【變式1-6】“村超”是貴州榕江縣鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽的簡(jiǎn)稱，是該縣的一項(xiàng)傳統(tǒng)鄉(xiāng)村體育賽事，“村超”深受當(dāng)?shù)厝嗣竦南矏郏苍?023年開始火爆全網(wǎng).某體育新聞網(wǎng)站派出含甲、乙在內(nèi)的4名記者前去A，B，C三個(gè)足球場(chǎng)報(bào)道“村超”賽事，要求每個(gè)足球場(chǎng)至少1名記者，則甲、乙分在不同足球場(chǎng)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合古典概型分析求解.
【詳解】記甲、乙分在不同足球場(chǎng)為事件，
所以.
故選：D.
【變式1-7】在不超過(guò)10的正偶數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】寫出所有事件情況，得到滿足題意的情況數(shù)，利用古典概型即可得到答案.
【詳解】不超過(guò)10的正偶數(shù)有，
隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有；；；；；；；；；；共10種，
和等于10的有10，共2種，所以和等于10的概率．
故選：A．
【變式1-8】已知甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為：將四人隨機(jī)均分為組，同組人先進(jìn)行一場(chǎng)比賽，組勝者再進(jìn)行決賽．若所有人在比賽中獲勝的概率均為，則甲、乙在決賽中相遇的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由各人進(jìn)入決賽的可能性相同，用列舉法由古典概型概率公式可得.
【詳解】因?yàn)樗腥嗽诒荣愔蝎@勝的概率均為，所以甲、乙、丙、丁四人進(jìn)入決賽的可能性相等.
所以進(jìn)入決賽可能出現(xiàn)的情況有
（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6種情況，
甲乙在決賽中相遇的情況只有（甲乙）1種，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在決賽中相遇的概率為.
故選：B.
【變式1-9】某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求得讀書本數(shù)對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)，再利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.
【詳解】讀書低于8本且不低于6本的人數(shù)為，分別記作，
不低于8本的人數(shù)為，分別記作，
則從中選出2名學(xué)生的基本事件為：，共15件，
其中1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的基本事件有，共8件，
則所求概率為.
故選：B.
考點(diǎn)2 古典概型大題綜合
【例2】11．某酒店為了調(diào)查入住賓客對(duì)該酒店服務(wù)的滿意率，對(duì)一個(gè)月來(lái)曾入住過(guò)的顧客進(jìn)行電話回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的占60%，對(duì)服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.
(1)若在電話回訪的所有顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次電話回訪的顧客總數(shù)；
(2)若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機(jī)選擇兩名進(jìn)行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.
【答案】(1)人
(2)
【分析】（1）利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系求解；
（2）利用古典概率模型求解.
【詳解】（1）住宿環(huán)境不滿意的顧客在所有顧客中所占的比例為，
所以回訪的顧客總數(shù)為人；
（2）設(shè)甲、乙兩人中至少一人被選中為事件A，
由題意可知，甲乙兩人都未被選中的概率為,
所以.
【變式2-1】為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，某校將舉行“‘象山杯’數(shù)學(xué)解題能力比賽”，每班派人參加，某班級(jí)老師已經(jīng)確定參賽名額，第個(gè)參賽名額在甲，乙同學(xué)間產(chǎn)生，為了比較甲，乙兩人解答某種題型的能力，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)同學(xué)各次之前該題型的解答結(jié)果如下：，，，，，，，，，，其中，分別表示甲正確和錯(cuò)誤；，分別表示乙正確和錯(cuò)誤．
(1)若解答正確給該同學(xué)分，否則記分．試計(jì)算甲、乙兩人之前的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并根據(jù)結(jié)果推薦誰(shuí)參加比賽更合適；
(2)若再安排甲、乙兩人解答一次該題型試題，試估計(jì)恰有一人解答正確的概率.
【答案】(1)甲的平均數(shù)為，方差為，乙的平均數(shù)為，方差為，推薦乙參加比賽更合適
(2)
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的公式分別計(jì)算甲、乙兩人的平均數(shù)與方程，進(jìn)而推薦人選；
（2）利用古典概型的概率公式估計(jì)恰有一人正確的概率.
【詳解】（1）由已知得甲的平均數(shù)，方差；
乙的平均數(shù)，方差，
因?yàn)椋遥?br/>所以推薦乙參加比賽更合適；
（2）由已知的個(gè)結(jié)果中，恰有一人解答正確的結(jié)果是，，，共個(gè)，
所以恰有一人正確的概率為.
【變式2-2】從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)．
(1)寫出所有不同的取法；
(2)求取出的個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）直接列出所以不同的取法.
（2）先列出兩數(shù)互質(zhì)的取法，運(yùn)用古典概型公式求概率.
【詳解】（1）從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)，共有以下種不同的取法，
,,,
,.
（2）兩數(shù)互質(zhì)的取法有：
，共11種，
故所求概率．
【變式2-3】第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
分?jǐn)?shù)段
人數(shù) 1 1 1 2 2 2 1
規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．
(1)此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是多少？
(2)在全校學(xué)生成績(jī)?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行冬奧知識(shí)演講，求良好和優(yōu)秀各1人的概率．
【答案】(1)0.3
(2)0.6
【分析】（1）由80分及以上的學(xué)生人數(shù)與抽取的總?cè)藬?shù)的比值進(jìn)行求解；
（2）列舉法求解古典概率求概率公式.
【詳解】（1）∵80分及以上為優(yōu)秀，
∴，
∴此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是0.3．
（2）∵成績(jī)良好的學(xué)生人數(shù)與成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為，
∴在成績(jī)良好的學(xué)生中抽取2人，記為a，b；在成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取3人，記為C，D，E．
從a，b，C，D，E中隨組抽取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10種，
其中良好和優(yōu)秀各1人的有：，，，，，，共6種．
∴良好和優(yōu)秀各1人的概率為．
【變式2-4】一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張標(biāo)簽，隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽，若標(biāo)簽的選取是無(wú)放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；若標(biāo)簽的選取是有放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．
【答案】無(wú)放回時(shí)，概率為；有放回時(shí)，概率為
【分析】利用列舉法，結(jié)合抽樣方法以及古典概型的概率計(jì)算公式求得正確答案.
【詳解】（1）選取是無(wú)放回的，
，共有12種方法，
其中相鄰的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種，
所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為.
（2）選取是有放回的，
，共有16種方法，
其中相鄰的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種，
所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為.
【變式2-5】從2名男生（記為,）和2名女生（記為,）這4人中一次性選取2名學(xué)生參加象棋比賽（每人被選到的可能性相同）.
(1)請(qǐng)寫出該試驗(yàn)的樣本空間;
(2)設(shè)事件為“選到1名男生和1名女生”,求事件發(fā)生的概率;
(3)若2名男生,所處年級(jí)分別為高一、高二,2名女生,所處年級(jí)分別為高一、高二,設(shè)事件為“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且至少有1名女生”,求事件發(fā)生的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根據(jù)題意把所有的可能結(jié)果列出即可;
(2) 由(1)知在所有得可能結(jié)果中數(shù)出事件發(fā)生的結(jié)果,求出概率即可;
(3) 由(1)知在所有得可能結(jié)果中數(shù)出事件發(fā)生的結(jié)果,求出概率即可.
【詳解】（1）解:由題知,樣本空間為;
（2）由(1)知,所有的可能結(jié)果數(shù)為6個(gè),其中滿足事件得結(jié)果數(shù)有4個(gè),
故;
（3）由(1)知,所有的可能結(jié)果數(shù)為6個(gè),其中滿足事件得結(jié)果數(shù)有3個(gè),
故.
【變式2-6】甲、乙兩人用4張撲克牌（分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．
(1)寫出甲、乙兩人抽到的牌的樣本空間．
(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？并說(shuō)明你的理由．
【答案】(1)答案詳見解析（答案不唯一）
(2)
(3)不公平，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)抽取的方法寫出樣本空間.
（2）根據(jù)古典概型的概率問(wèn)題計(jì)算公式，計(jì)算出所求答案.
（3）根據(jù)甲、乙的勝率進(jìn)行說(shuō)明.
【詳解】（1）用a表示方片4，2，3，4分別表示紅桃2、紅桃3、紅桃4，
則甲、乙兩人抽到的牌的樣本空間為：
．
（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面數(shù)字大于3的概率為．
（3）甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大的樣本點(diǎn)有，
所以甲勝的概率為，乙勝的概率為，故游戲不公平．
【變式2-7】某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參加志愿者活動(dòng)次數(shù)為2、3、4的人數(shù)分別為1、3、2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加表彰會(huì).
(1)求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；
(2)記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為X，求X不小于6的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）按活動(dòng)次數(shù)不同，將6人分別編號(hào)，列舉出所有可能的基本事件，根據(jù)古典概型概率計(jì)算即可；
（2）求出X小于6的概率，再用1減去該概率即可.
【詳解】（1）記參加了2次志愿者活動(dòng)的人為a，參加了3次志愿者活動(dòng)的人為、、，參加了4次志愿者活動(dòng)的人為、.
從這6人中隨機(jī)選出2人.共有、、、、、、、、、、、、、、這15種選法；
其中這2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的有、、、這4種選法.
故選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率為.
（2）由(1)可知，X小于6有、、這3種選法，
故X不小于6的概率.
【變式2-8】2021年2月25日，全國(guó)脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)在北京召開，充分肯定了脫貧攻堅(jiān)取得的重大歷史性成就．習(xí)近平總書記在大會(huì)上深刻闡述了偉大脫貧攻堅(jiān)精神，并對(duì)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果、全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興提出了明確的要求．為了更高效地推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某市直單位欲從部門，中選派5人與其下轄的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲對(duì)接相關(guān)業(yè)務(wù)，其中部門，可選派的人數(shù)分別為10，15．
(1)若采用分層抽樣的方法從部門，的可選派人員中抽取5人，求部門被選派的人數(shù)；
(2)已知選派的這5人中有2名是女性，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人，求這2名女性都被選中的概率．
【答案】(1)2人
(2)
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法直接求解即可；
（2）先得出5人中隨機(jī)抽取3人所有可能的情況，再找出2名女性都被選中的抽法，最后直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意可知部門，可選派的人數(shù)之比為，
則部門被選派的人數(shù)為．
（2）由題意可知被選派的5人中，男性有3人，記為，，；女性有2人，記為，．
從這5人中隨機(jī)抽取3人的抽法有，，，，，，，，，，共10種；
其中這2名女性都被選中的抽法有，，，共3種．故所求概率為．
【變式2-9】從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：
（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在的頻率；
（2）用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在的有幾個(gè)？
（3）在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，寫出所有可能的結(jié)果，并求重量在和中各有1個(gè)的概率.
【答案】（1）0.4；（2）1；（3）見解析.
【分析】（1）用蘋果的重量在的頻率除以樣本容量，即為所求；
（2）根據(jù)重量在的頻數(shù)所占的比例，求得重量在的蘋果的個(gè)數(shù)；
（3）用列舉法求出所有的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出滿足條件的個(gè)數(shù)，即可得到所求事件的概率.
【詳解】解：（1）蘋果的重量在的頻率為
（2）重量在的有（個(gè)）
（3）設(shè)這4個(gè)蘋果中重量在的有1個(gè)，記為1，重量在的有3個(gè)，分別記為2，3，4，從中任取兩個(gè)，可能的情況有：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種，設(shè)任取2 個(gè)，重量在和中各有1個(gè)的事件為A，則事件A包含有（1，2），（1，3），（1，4）共3種，
所以
【點(diǎn)睛】此題考查古典概型問(wèn)題，用列舉法計(jì)算可以列舉出基本事件和滿足條件的事件，本題還考查了分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題10.3 概率
1．古典概型特點(diǎn)
(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性．
(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步驟
(1)判斷試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；
(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推廣
當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　
判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法
(1)定義法
判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
考點(diǎn)1 古典概型概率小題綜合
【例1】從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】某單位黨員到社區(qū)做志愿服務(wù)，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)做志愿者．每人安排1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)安排1人，則甲沒(méi)被安排到D社區(qū)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中任選一個(gè)參加，則三個(gè)項(xiàng)目都有學(xué)生參加的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】我國(guó)周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13這8個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，這3個(gè)數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-4】若甲、乙、丙三名公務(wù)員隨機(jī)分到A，B兩個(gè)村實(shí)踐鍛煉，則每個(gè)村至少有一名公務(wù)員的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-5】江南的周莊、同里、甪直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-6】“村超”是貴州榕江縣鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽的簡(jiǎn)稱，是該縣的一項(xiàng)傳統(tǒng)鄉(xiāng)村體育賽事，“村超”深受當(dāng)?shù)厝嗣竦南矏郏苍?023年開始火爆全網(wǎng).某體育新聞網(wǎng)站派出含甲、乙在內(nèi)的4名記者前去A，B，C三個(gè)足球場(chǎng)報(bào)道“村超”賽事，要求每個(gè)足球場(chǎng)至少1名記者，則甲、乙分在不同足球場(chǎng)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-7】在不超過(guò)10的正偶數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-8】已知甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為：將四人隨機(jī)均分為組，同組人先進(jìn)行一場(chǎng)比賽，組勝者再進(jìn)行決賽．若所有人在比賽中獲勝的概率均為，則甲、乙在決賽中相遇的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-9】某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)2 古典概型大題綜合
【例2】11．某酒店為了調(diào)查入住賓客對(duì)該酒店服務(wù)的滿意率，對(duì)一個(gè)月來(lái)曾入住過(guò)的顧客進(jìn)行電話回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的占60%，對(duì)服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.
(1)若在電話回訪的所有顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次電話回訪的顧客總數(shù)；
(2)若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機(jī)選擇兩名進(jìn)行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.
【變式2-1】為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，某校將舉行“‘象山杯’數(shù)學(xué)解題能力比賽”，每班派人參加，某班級(jí)老師已經(jīng)確定參賽名額，第個(gè)參賽名額在甲，乙同學(xué)間產(chǎn)生，為了比較甲，乙兩人解答某種題型的能力，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)同學(xué)各次之前該題型的解答結(jié)果如下：，，，，，，，，，，其中，分別表示甲正確和錯(cuò)誤；，分別表示乙正確和錯(cuò)誤．
(1)若解答正確給該同學(xué)分，否則記分．試計(jì)算甲、乙兩人之前的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并根據(jù)結(jié)果推薦誰(shuí)參加比賽更合適；
(2)若再安排甲、乙兩人解答一次該題型試題，試估計(jì)恰有一人解答正確的概率.
【變式2-2】從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)．
(1)寫出所有不同的取法；
(2)求取出的個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率．
【變式2-3】第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
分?jǐn)?shù)段
人數(shù) 1 1 1 2 2 2 1
規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．
(1)此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是多少？
(2)在全校學(xué)生成績(jī)?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行冬奧知識(shí)演講，求良好和優(yōu)秀各1人的概率．
【變式2-4】一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張標(biāo)簽，隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽，若標(biāo)簽的選取是無(wú)放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；若標(biāo)簽的選取是有放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．
【變式2-5】從2名男生（記為,）和2名女生（記為,）這4人中一次性選取2名學(xué)生參加象棋比賽（每人被選到的可能性相同）.
(1)請(qǐng)寫出該試驗(yàn)的樣本空間;
(2)設(shè)事件為“選到1名男生和1名女生”,求事件發(fā)生的概率;
(3)若2名男生,所處年級(jí)分別為高一、高二,2名女生,所處年級(jí)分別為高一、高二,設(shè)事件為“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且至少有1名女生”,求事件發(fā)生的概率.
【變式2-6】甲、乙兩人用4張撲克牌（分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．
(1)寫出甲、乙兩人抽到的牌的樣本空間．
(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？并說(shuō)明你的理由．
【變式2-7】某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參加志愿者活動(dòng)次數(shù)為2、3、4的人數(shù)分別為1、3、2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加表彰會(huì).
(1)求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；
(2)記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為X，求X不小于6的概率.
【變式2-8】2021年2月25日，全國(guó)脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)在北京召開，充分肯定了脫貧攻堅(jiān)取得的重大歷史性成就．習(xí)近平總書記在大會(huì)上深刻闡述了偉大脫貧攻堅(jiān)精神，并對(duì)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果、全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興提出了明確的要求．為了更高效地推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某市直單位欲從部門，中選派5人與其下轄的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲對(duì)接相關(guān)業(yè)務(wù)，其中部門，可選派的人數(shù)分別為10，15．
(1)若采用分層抽樣的方法從部門，的可選派人員中抽取5人，求部門被選派的人數(shù)；
(2)已知選派的這5人中有2名是女性，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人，求這2名女性都被選中的概率．
【變式2-9】從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：
（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在的頻率；
（2）用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在的有幾個(gè)？
（3）在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，寫出所有可能的結(jié)果，并求重量在和中各有1個(gè)的概率.

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