資源簡介

10.4 離散型隨機(jī)變量及其分布列
1．離散型隨機(jī)變量定義
隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)
(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．
(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．離散型隨機(jī)變量均值
(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
4．離散型隨機(jī)變量方差
(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．
考點1 離散型隨機(jī)變量及其分布列小題綜合
【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
則下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】＋＋＋＝，A錯誤；
＋＝，B錯誤；
，C正確；
＋＝，D錯誤.
故選：C
【變式1-1】下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)運算求解.
【詳解】由題意可得：，解得.
故選：C.
【變式1-2】某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如表所示，則（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【答案】D
【分析】根據(jù)所有事件概率和為1，從而得到.
【詳解】,
故選：D.
【變式1-3】設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下表，求實數(shù)c的值（ ）
0 1
P
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得，解得.
故選：A.
【變式1-4】已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
則其數(shù)學(xué)期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【答案】D
【分析】根據(jù)概率和為等于1可得，再利用期望的公式即可得解.
【詳解】分布列中出現(xiàn)的所有的概率之和等于1．，，
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．
故選：D.
【變式1-5】已知隨機(jī)變量X的分布列為：
X 0 2 3
P m 2m
則（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式即得.
【詳解】由，解得，
則.
故選：C.
【變式1-6】已知下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列，則（ ）
X 0 1 2 3
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)求解即可.
【詳解】根據(jù).
故選：C
【變式1-7】已知隨機(jī)變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【分析】先由各個概率和為1可求出，再由可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：C.
【變式1-8】若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得：可得，利用對立事件求解．
【詳解】根據(jù)題意可得：
故選：C．
【變式1-9】設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：
則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：由題意，有，且，，解得，
故選：B.
考點2 離散型隨機(jī)變量及其分布列大題綜合
【例2】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求隨機(jī)變量的分布列．
【答案】答案見詳解
【分析】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，可得，再由 的對應(yīng)關(guān)系可得解.
【詳解】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，可得，
依題意知，η的值為0，1，4，9，16.
列表為：
X 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
從而的分布列為：
η 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
【變式2-1】一個袋中裝有5個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個，白球有3個，從中任意取出3個球.
(1)求取出的3個球恰有一個紅球的概率；
(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列見解析.
【分析】設(shè)出事件，利用超幾何分布求概率公式進(jìn)行求解；（2）寫出隨機(jī)變量X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列.
【詳解】（1）設(shè)取出的3個球恰有一個紅球為事件A，
則
（2）隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,
，，，
故X的分布列為：
X 0 1 2
P
【變式2-2】將個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號.現(xiàn)從中任取個球，以表示取出球的最大號碼.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【答案】(1)分布列見解析
(2)
【分析】（1）由已知判斷隨機(jī)變量的所有取值，并分別判斷其概率，可得分布列；
（2）由（1）的分布列可得概率.
【詳解】（1）由已知可得隨機(jī)變量的可能取值有：，，，，
所以，，，，
所以分布列為
（2）由（1）得.
【變式2-3】．一個盒子里裝有大小均勻的6個小球，其中有紅色球4個，編號分別為1，2，3，4；白色球2個，編號分別為4，5，從盒子中任取3個小球（假設(shè)取到任何—個小球的可能性相同）.
（1）求取出的3個小球中，含有編號為4的小球的概率；
（2）在取出的3個小球中，小球編號的最大值設(shè)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）計算取出的3個小球所有的結(jié)果數(shù)，然后計算含有編號為4的結(jié)果數(shù)，最后利用古典概型進(jìn)行計算，可得結(jié)果.
（2）列出的所有可能取值，并計算相對應(yīng)的概率，然后畫出分布列，根據(jù)期望公式，可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題可知：
取出的3個小球所有的結(jié)果數(shù)
含有編號為4的結(jié)果數(shù)
所以所求得概率為
（2）所有得可能取值為：3，4，5
所以的分布列為
所以
【點睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望以及方差的公式計算，審清題意，使用排列組合細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.
【變式2-4】從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．
(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．
【答案】(1)；(2)
0 1 2 3
【分析】(1)用古典概型概率計算公式直接求解；
(2) 的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)取值時的概率，最后列出分布列.
【詳解】(1)所選3人中恰有一名男生的概率；
(2) 的可能取值為0,1,2,3.
∴ξ的分布列為:
0 1 2 3
【點睛】本題考查了古典概型概率計算公式、以及離散型隨機(jī)變量分布列，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
【變式2-5】2018年茂名市舉辦“好心杯”少年美術(shù)書法作品比賽，某賽區(qū)收到200件參賽作品，為了解作品質(zhì)量，現(xiàn)從這些作品中隨機(jī)抽取12件作品進(jìn)行試評.成績?nèi)缦拢?7,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.
（1）求該樣本的中位數(shù)和方差；
（2）若把成績不低于85分（含85分）的作品認(rèn)為為優(yōu)秀作品，現(xiàn)在從這12件作品中任意抽取3件，求抽到優(yōu)秀作品的件數(shù)的分布列和期望.
【答案】（1）中位數(shù)為81.5，方差為98.83（2）詳見解析
【分析】（1）把樣本數(shù)據(jù)排序后可得中位數(shù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)再利用公式計算其方差.
（2）利用超幾何分布可求優(yōu)秀作品的件數(shù)的分布列和期望.
【詳解】（1）樣本數(shù)據(jù)按順序為59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96.
數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：
平均數(shù)為
方差為
（2）設(shè)抽到優(yōu)秀作品的個數(shù)為，則的可能值為0,1，2,3
所以的分布列為：
0 1 2 3
期望為
【點睛】（1）統(tǒng)計中有中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，注意它們的差別與計算方法．
（2）在計算離散型隨機(jī)變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．
【變式2-6】袋中有同樣的球個，其中個紅色，個黃色，現(xiàn)從中隨機(jī)且不返回地摸球，每次摸個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時已摸球的次數(shù)，求：.
(1)隨機(jī)變量的概率分布列；
(2)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差.
【答案】(1)見解析；（2），.
【詳解】解：(1)隨機(jī)變量可取的值為．
；
得隨機(jī)變量的概率分布列為：
2 3 4
(2)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：；
隨機(jī)變量的方差為：
【變式2-7】學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2個黑球,乙箱子里裝有1個白球、2個黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)
（1）求在1次游戲中,
①摸出3個白球的概率;
②獲獎的概率;
（2）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列.
【答案】（I）（i）；（ii）（II）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望
【詳解】解：(1)①設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝·＝.
②設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3，又
P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2，
P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C21·＝，
P(X＝2)＝2＝，
所以X的分布列是
X 0 1 2
P
X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.10.4 離散型隨機(jī)變量及其分布列
1．離散型隨機(jī)變量定義
隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)
(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．
(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．離散型隨機(jī)變量均值
(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
4．離散型隨機(jī)變量方差
(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．
考點1 離散型隨機(jī)變量及其分布列小題綜合
【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
則下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
【變式1-2】某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如表所示，則（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【變式1-3】設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下表，求實數(shù)c的值（ ）
0 1
P
A． B．或 C． D．
【變式1-4】已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
則其數(shù)學(xué)期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【變式1-5】已知隨機(jī)變量X的分布列為：
X 0 2 3
P m 2m
則（ ）
A．2 B． C． D．1
【變式1-6】已知下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列，則（ ）
X 0 1 2 3
P
A． B． C． D．
【變式1-7】已知隨機(jī)變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【變式1-8】若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【變式1-9】設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：
則（ ）
A． B． C． D．
考點2 離散型隨機(jī)變量及其分布列大題綜合
【例2】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求隨機(jī)變量的分布列．
【變式2-1】一個袋中裝有5個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個，白球有3個，從中任意取出3個球.
(1)求取出的3個球恰有一個紅球的概率；
(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.
【變式2-2】將個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號.現(xiàn)從中任取個球，以表示取出球的最大號碼.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【變式2-3】．一個盒子里裝有大小均勻的6個小球，其中有紅色球4個，編號分別為1，2，3，4；白色球2個，編號分別為4，5，從盒子中任取3個小球（假設(shè)取到任何—個小球的可能性相同）.
（1）求取出的3個小球中，含有編號為4的小球的概率；
（2）在取出的3個小球中，小球編號的最大值設(shè)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【變式2-4】從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．
(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．
【變式2-5】2018年茂名市舉辦“好心杯”少年美術(shù)書法作品比賽，某賽區(qū)收到200件參賽作品，為了解作品質(zhì)量，現(xiàn)從這些作品中隨機(jī)抽取12件作品進(jìn)行試評.成績?nèi)缦拢?7,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.
（1）求該樣本的中位數(shù)和方差；
（2）若把成績不低于85分（含85分）的作品認(rèn)為為優(yōu)秀作品，現(xiàn)在從這12件作品中任意抽取3件，求抽到優(yōu)秀作品的件數(shù)的分布列和期望.
【變式2-6】袋中有同樣的球個，其中個紅色，個黃色，現(xiàn)從中隨機(jī)且不返回地摸球，每次摸個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時已摸球的次數(shù)，求：.
(1)隨機(jī)變量的概率分布列；
(2)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差.
【變式2-7】學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2個黑球,乙箱子里裝有1個白球、2個黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)
（1）求在1次游戲中,
①摸出3個白球的概率;
②獲獎的概率;
（2）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列.

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