資源簡介

專題3.2 橢圓的簡單幾何性質【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 橢圓中x、y的取值范圍】 1
【題型2 根據橢圓的有界性求范圍或最值】 2
【題型3 橢圓的對稱性的應用】 3
【題型4 利用橢圓的幾何性質求標準方程】 4
【題型5 橢圓的焦距與長軸、短軸】 4
【題型6 求橢圓的離心率或其取值范圍】 5
【題型7 根據橢圓的離心率求參數】 6
【題型8 橢圓的實際應用問題】 6
【知識點1 橢圓的范圍】
1．橢圓的范圍
設橢圓的標準方程為 (a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范圍.
(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.
(2)從數的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
【題型1 橢圓中x、y的取值范圍】
【例1】（2023秋·高二課時練習）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是 ．
【變式1-1】（2022·高二課時練習）設集合，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝（　　）
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）}
【變式1-2】（2023·上海·高二專題練習）下列關于曲線的結論正確的是（ ）
A．曲線是橢圓 B．y的取值范圍是
C．關于直線對稱 D．曲線所圍成的封閉圖形面積大于6
【變式1-3】（2022·高二課時練習）討論下列橢圓的范圍，并描點畫出圖形．
(1)
(2)．
【題型2 根據橢圓的有界性求范圍或最值】
【例2】（2023·高二課時練習）已知橢圓經過點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023春·廣東茂名·高二統考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點為，點為上的任意一點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023春·湖南長沙·高三校聯考期中）已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022秋·高二課時練習）已知點是橢圓上一點，求點P到點的距離的取值范圍．
【知識點2 橢圓的對稱性】
1．橢圓的對稱性
(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
(2)從數的角度看：在橢圓的標準方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點
P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.
【題型3 橢圓的對稱性的應用】
【例3】（2023秋·高二課時練習）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上
C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系
【變式3-1】（2023秋·四川樂山·高二統考期末）已知橢圓的左 右焦點分別為為橢圓上一點，則滿足為直角三角形的點有（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
【變式3-2】（2023·高二課時練習）若點在橢圓上，則有（ ）．
A．點不在橢圓上 B．點在橢圓上
C．點不在橢圓上 D．點在橢圓上
【變式3-3】（2023秋·山東棗莊·高二統考期末）已知橢圓與軸交于點A，B，把線段AB分成6等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于點，，，，，是橢圓C的右焦點，則（ ）
A．20 B． C．36 D．30
【知識點3 橢圓的頂點、長短軸與離心率】
1．橢圓的頂點與長軸、短軸
以橢圓的標準方程 (a>b>0)為例.
(1)頂點
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、
y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.
(2)長軸、短軸
線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.
長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.
2．橢圓的離心率
(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.
(2)離心率的范圍：0(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.
當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接
近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，它的方程為.
【題型4 利用橢圓的幾何性質求標準方程】
【例4】（2023春·四川瀘州·高二校考期末）已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式4-1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二校考期末）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023秋·高二課時練習）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，離心率為，過點的直線l交橢圓于A,B兩點，若的周長為8，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 橢圓的焦距與長軸、短軸】
【例5】（2023春·上海長寧·高二校考期中）橢圓和（ ）
A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同
【變式5-1】（2023·北京東城·統考二模）已知橢圓的一個焦點的坐標是，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別是，是橢圓短軸的一個端點，且，則橢圓的長軸長是（ ）
A． B．4 C． D．8
【變式5-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則下列結論正確的是（ ）
A．橢圓的短軸長為 B．的坐標為
C．橢圓的離心率為 D．存在點P，使得
【題型6 求橢圓的離心率或其取值范圍】
【例6】（2023春·云南昆明·高二統考期末）已知橢圓分別是的左，右焦點，為上一點，若線段的中點在軸上，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）設分別是橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·遼寧遼陽·統考二模）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023春·湖南衡陽·高二統考期末）設橢圓C：的右焦點為F，橢圓C上的兩點關于原點對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型7 根據橢圓的離心率求參數】
【例7】（2023秋·浙江杭州·高二期末）已知焦點在y軸上的橢圓的離心率是，則m的值是（ ）
A． B． C． D．或
【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023秋·高二單元測試）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023春·江蘇鎮江·高二校考階段練習）橢圓（）的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型8 橢圓的實際應用問題】
【例8】（2023·高二課時練習）2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調整后天問一號的運行軌跡（環火軌道曲線）的焦距約為（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【變式8-1】（2023·廣東韶關·統考模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·高二課時練習）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．由橢圓一個焦點發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發出的光線經反射鏡面反射后到達卡門時所經過的路程為（ ）
A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節.活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
專題3.2 橢圓的簡單幾何性質【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 橢圓中x、y的取值范圍】 1
【題型2 根據橢圓的有界性求范圍或最值】 3
【題型3 橢圓的對稱性的應用】 6
【題型4 利用橢圓的幾何性質求標準方程】 9
【題型5 橢圓的焦距與長軸、短軸】 10
【題型6 求橢圓的離心率或其取值范圍】 12
【題型7 根據橢圓的離心率求參數】 15
【題型8 橢圓的實際應用問題】 16
【知識點1 橢圓的范圍】
1．橢圓的范圍
設橢圓的標準方程為 (a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范圍.
(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.
(2)從數的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
【題型1 橢圓中x、y的取值范圍】
【例1】（2023秋·高二課時練習）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是 ．
【解題思路】先把橢圓方程變為標準方程，再根據橢圓的范圍求解.
【解答過程】因為點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，即在橢圓上，
所以點(m,n)滿足橢圓的范圍，
因此，即．
故答案為：.
【變式1-1】（2022·高二課時練習）設集合，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝（　　）
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）}
【解題思路】由橢圓的標準方程確定集合，由二次函數性質確定集合，然后由交集定義計算．
【解答過程】，
，
所以．
故選：B．
【變式1-2】（2023·上海·高二專題練習）下列關于曲線的結論正確的是（ ）
A．曲線是橢圓 B．y的取值范圍是
C．關于直線對稱 D．曲線所圍成的封閉圖形面積大于6
【解題思路】根據橢圓的標準方程即可判斷A；易得，即可判斷B；舉出反例即可判斷C；求出曲線與坐標軸的四個交點所構成的四邊形的面積，即可判斷D.
【解答過程】解：因為曲線，不是橢圓方程，
所以曲線不是橢圓，故A正確；
因為曲線，
所以，所以，故B錯誤；
曲線與軸正半軸的交點坐標為，
若曲線關于直線對稱，
則點也在曲線上，
又，所以點不在曲線上，
所以曲線不關于直線對稱，故C錯誤；
對于D，曲線與坐標軸的交點坐標為，
則以四點為頂點的四邊形的面積為，
所以曲線所圍成的封閉圖形面積大于6，故D正確.
故選：D.
【變式1-3】（2022·高二課時練習）討論下列橢圓的范圍，并描點畫出圖形．
(1)
(2)．
【解題思路】（1）由得，，描點可作圖；
（2）化為標準式可得范圍，描點可作圖．
【解答過程】（1）
由得，，其圖形如下：
（2）
由得則，，其圖形如下：
【題型2 根據橢圓的有界性求范圍或最值】
【例2】（2023·高二課時練習）已知橢圓經過點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將點代入得，代入到，根據橢圓的范圍進行求解．
【解答過程】因為橢圓經過點，所以，所以，
則．
因為橢圓經過點，所以，即，
故的取值范圍是．
故選：D．
【變式2-1】（2023春·廣東茂名·高二統考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點為，點為上的任意一點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，得到，求得，結合二次函數的性質，即可求解.
【解答過程】由橢圓的離心率，可得，所以橢圓的方程為，
設，則，可得，
又由點，
可得，
因為，所以，所以.
故選：A.
【變式2-2】（2023春·湖南長沙·高三校聯考期中）已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】解法一 ：由題意可得，，，設.表示出，然后根據橢圓的范圍即可求出范圍；解法二：由題意可得，，，設，取線段AF的中點，可推得，然后根據橢圓的范圍即可求出范圍.
【解答過程】解法一：
由題意知，，設.
則 .
因為，所以，所以，
所以．
解法二：
由題意知，．
設，取線段AF的中點N，則，連接MN.
則 .
因為，所以，所以，
所以．
故選：D．
【變式2-3】（2022秋·高二課時練習）已知點是橢圓上一點，求點P到點的距離的取值范圍．
【解題思路】根據題意可知，由兩點之間的距離公式可得，，再根據二次函數的單調性，即可求出結果.
【解答過程】解：因為點是橢圓上一點，
所以，
又，，
所以，，
設，，
則，
所以函數在區間上單調遞減，
所以，，
所以，
所以函數點P到點的距離的取值范圍.
【知識點2 橢圓的對稱性】
1．橢圓的對稱性
(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
(2)從數的角度看：在橢圓的標準方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點
P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.
【題型3 橢圓的對稱性的應用】
【例3】（2023秋·高二課時練習）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上
C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系
【解題思路】根據橢圓的對稱性可判斷.
【解答過程】點與點關于原點對稱，
點與關于軸對稱，
點與關于軸對稱，
若點在橢圓上，根據橢圓的對稱性，，，三點都在橢圓上，
故選：C.
【變式3-1】（2023秋·四川樂山·高二統考期末）已知橢圓的左 右焦點分別為為橢圓上一點，則滿足為直角三角形的點有（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
【解題思路】根據橢圓的對稱性及的值，分類討論，即可求解.
【解答過程】當為直角頂點時，根據橢圓的對稱性，可得滿足的點有個；
當為直角頂點時，根據橢圓的對稱性，可得滿足的點有個；
設橢圓的上頂點為，
由橢圓，可得，，可得、，，
則，，
所以，故，
所以存在個點滿足以為直角頂點的，
故滿足本題條件的點共有個.
故選：D.
【變式3-2】（2023·高二課時練習）若點在橢圓上，則有（ ）．
A．點不在橢圓上 B．點在橢圓上
C．點不在橢圓上 D．點在橢圓上
【解題思路】根據橢圓的對稱性判斷即可.
【解答過程】解：因為點在橢圓上，即，
根據對稱性可得點，，均在橢圓上，故A、C錯誤，D正確，
因為，
所以，所以點是不在橢圓上；
故選：D.
【變式3-3】（2023秋·山東棗莊·高二統考期末）已知橢圓與軸交于點A，B，把線段AB分成6等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于點，，，，，是橢圓C的右焦點，則（ ）
A．20 B． C．36 D．30
【解題思路】由題意知與，與分別關于y軸對稱，設橢圓的左焦點為，從而，，利用即可求解．
【解答過程】由題意，知與，與分別關于y軸對稱
設橢圓的左焦點為，由已知a=6,
則，同時，
∴，
故選：D．
【知識點3 橢圓的頂點、長短軸與離心率】
1．橢圓的頂點與長軸、短軸
以橢圓的標準方程 (a>b>0)為例.
(1)頂點
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、
y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.
(2)長軸、短軸
線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.
長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.
2．橢圓的離心率
(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.
(2)離心率的范圍：0(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.
當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接
近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，它的方程為.
【題型4 利用橢圓的幾何性質求標準方程】
【例4】（2023春·四川瀘州·高二校考期末）已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【解題思路】根據長軸長以及離心率，可求出，，再由，進而可求出結果.
【解答過程】由題意知，，，所以，，
∴，
又因為橢圓的對稱軸是坐標軸，則焦點可能在或軸上.
∴橢圓方程：或
故選：C.
【變式4-1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二校考期末）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據橢圓化為標準方程，故焦點為，由題意可得，解方程即可得解.
【解答過程】由化簡可得，
焦點為在軸上，
同時又過點，設，
有，解得，
故選：C.
【變式4-2】（2023秋·高二課時練習）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據橢圓幾何性質可知，代入橢圓標準方程即可求得結果.
【解答過程】根據題意可設橢圓方程為，
易知，且，解得；
所以，故橢圓方程為.
故選：A.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，離心率為，過點的直線l交橢圓于A,B兩點，若的周長為8，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由橢圓的定義知的周長為，結合已知條件求出，再由離心率求出，進而求出，從而得出答案.
【解答過程】依題意的周長為，
.
則C的方程為.
故選:D.
【題型5 橢圓的焦距與長軸、短軸】
【例5】（2023春·上海長寧·高二校考期中）橢圓和（ ）
A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同
【解題思路】由橢圓的簡單幾何性質求解即可.
【解答過程】對于橢圓，
，，，∴，，，
∴長軸長，短軸長，焦距，
對于橢圓，
，，，∴，，，
∴長軸長，短軸長，焦距，
∴橢圓和的長軸長和短軸長均不相等，故頂點不相同，焦距相等.
故選：C.
【變式5-1】（2023·北京東城·統考二模）已知橢圓的一個焦點的坐標是，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據橢圓的標準方程，結合，即可求解.
【解答過程】由條件可知，，，，
所以，得，
故選：C.
【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別是，是橢圓短軸的一個端點，且，則橢圓的長軸長是（ ）
A． B．4 C． D．8
【解題思路】根據題意得到，得到，即，求得，進而求得橢圓的長軸長.
【解答過程】由橢圓，可得，
因為是橢圓短軸的一個端點，且，
可得，即，
可得，即，解得，
所以，故橢圓的長軸長是.
故選：C.
【變式5-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則下列結論正確的是（ ）
A．橢圓的短軸長為 B．的坐標為
C．橢圓的離心率為 D．存在點P，使得
【解題思路】由橢圓標準方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據的大小關系可判斷D的正誤.
【解答過程】橢圓的焦點在軸上，，則短軸長為，A正確；
的坐標為，B錯誤；離心率為，C正確；
因為，故以原點為圓心，為半徑的圓與橢圓沒有交點，
故不存在點P，使得，D錯誤，
故選：AC.
【題型6 求橢圓的離心率或其取值范圍】
【例6】（2023春·云南昆明·高二統考期末）已知橢圓分別是的左，右焦點，為上一點，若線段的中點在軸上，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據中點關系可得軸，進而根據直角三角形中的邊角關系，結合橢圓定義即可求解.
【解答過程】由于線段的中點在軸上,是的中點，所以軸，
，，所以，
由橢圓定義可得，
故選：A.
【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）設分別是橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意可得以為圓心，以為半徑的圓與橢圓有交點，由此列出滿足的不等式關系，即可求得答案.
【解答過程】由題意橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，
則,
且需滿足以為圓心，以為半徑的圓與橢圓有交點，

即，即，又，
故橢圓離心率的取值范圍是，
故選：C.
【變式6-2】（2023·遼寧遼陽·統考二模）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設橢圓的左焦點為，由橢圓的定義結合題意可得出，再由余弦定理求解即可得出答案.
【解答過程】如圖，設橢圓的左焦點為，連接，所以四邊形為平行四邊形．
設，則．
因為，所以，
又因為，所以，所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故選：B.
【變式6-3】（2023春·湖南衡陽·高二統考期末）設橢圓C：的右焦點為F，橢圓C上的兩點關于原點對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設橢圓的左焦點為，連接，，利用橢圓對稱性結合，推出，設，，推出，繼而令，推得，從而求得的關系式，求得答案.
【解答過程】如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，，
由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即FA⊥FB，
所以四邊形為矩形，所以，
設，，在中，，，，
可得，
所以，令，得．
又，得，所以，所以，
結合，所以，所以，所以，
即橢圓C的離心率的取值范圍為，
故選：B．
【題型7 根據橢圓的離心率求參數】
【例7】（2023秋·浙江杭州·高二期末）已知焦點在y軸上的橢圓的離心率是，則m的值是（ ）
A． B． C． D．或
【解題思路】根據焦點在y軸上的橢圓方程的特征，結合橢圓離心率公式進行求解即可.
【解答過程】因為焦點在y軸上，故，該橢圓的離心率是，
所以，顯然滿足，
故選：C.
【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分類討論，，，用表示出離心率，解相應不等式可得的范圍．
【解答過程】當時，，由條件知，解得；
當時，，由條件知，解得，綜上知C正確．
故選：C．
【變式7-2】（2023秋·高二單元測試）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.
【解答過程】由，得，因此，而，所以.
故選：A.
【變式7-3】（2023春·江蘇鎮江·高二校考階段練習）橢圓（）的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題可求得，，即可得出，再根據離心率范圍即可求出
【解答過程】解：設的內切圓的圓心為，半徑為，則，解得，
，
又
,
，，
，，則，
即線段的長度的取值范圍是，
故選：C.
【題型8 橢圓的實際應用問題】
【例8】（2023·高二課時練習）2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調整后天問一號的運行軌跡（環火軌道曲線）的焦距約為（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【解題思路】由題意可知，，即可解出.
【解答過程】設橢圓的方程為（），
由橢圓的性質可知橢圓上的點到焦點距離的最小值為，最大值為，
根據題意可得近火點滿足①，
遠火點滿足②，
由得，
故選：A.
【變式8-1】（2023·廣東韶關·統考模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立如圖所示平面直角坐標系，設橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.
【解答過程】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，
設橢圓方程為，
令，即，解得，依題意可得，
所以，所以，所以．
故選：D．
【變式8-2】（2023·高二課時練習）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．由橢圓一個焦點發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發出的光線經反射鏡面反射后到達卡門時所經過的路程為（ ）
A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm
【解題思路】設橢圓的方程為，進而根據題意得，故，再根據橢圓的定義求解即可.
【解答過程】解：設橢圓的方程為，
因為此橢圓的離心率為，且，
所以，所以，
所以根據題意，結合橢圓的定義得燈絲發出的光線經反射鏡面反射后到達卡門時所經過的路程為cm.
故選：A.
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節.活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，作出圖形，再利用正弦定理求出橢圓的長軸長，結合焦點位置求出半焦距作答.
【解答過程】如圖，傘的傘沿與地面接觸點B是橢圓長軸的一個端點，傘沿在地面上最遠的投影點A是橢圓長軸的另一個端點，
對應的傘沿為C，O為傘的圓心，F為傘柄底端，即橢圓的左焦點，令橢圓的長半軸長為，半焦距為，
由，得，，
在中，，則，，
由正弦定理得，，解得，則，
所以該橢圓的離心率.
故選：A.

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