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專題3.3 直線與橢圓的位置關系【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 點與橢圓的位置關系】 1
【題型2 直線與橢圓的位置關系的判定】 2
【題型3 根據直線與橢圓的位置關系求參數或范圍】 3
【題型4 橢圓的弦長問題】 4
【題型5 橢圓的“中點弦”問題】 5
【題型6 橢圓中的面積問題】 5
【題型7 橢圓中的定點、定值、定直線問題】 7
【題型8 橢圓中的最值問題】 8
【知識點1 點與橢圓的位置關系】
1．點與橢圓的位置關系
(1)點與橢圓的位置關系：
(2)對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：
點在橢圓外+>1;
點在橢圓內+<1;
點在橢圓上+=1.
【題型1 點與橢圓的位置關系】
【例1】（2022·全國·高二假期作業）已知橢圓，則下列各點不在橢圓內部的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023·高二課時練習）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023·高二課時練習）點P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關系是（ ）
A．點P在橢圓C上 B．點P與橢圓C的位置關系不能確定，與α的取值有關
C．點P在橢圓C內 D．點P在橢圓C外
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓關于軸 軸均對稱，焦點在軸上，且焦距為，若點不在橢圓的外部，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【知識點2 直線與橢圓的位置關系】
1．直線與橢圓的位置關系
(1)直線與橢圓的三種位置關系
類比直線與圓的位置關系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關系，如圖所示.
(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關系：
>0直線與橢圓相交有兩個公共點;
=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點;
<0直線與橢圓相離無公共點.
【題型2 直線與橢圓的位置關系的判定】
【例2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【變式2-2】（2023秋·內蒙古包頭·高二校考期末）若直線和圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數為（ ）
A．2個 B．至少一個 C．1個 D．0個
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在橢圓C外，則直線l與橢圓C相離
B．若點A在橢圓C上，則直線l與橢圓C相切
C．若點A在橢圓C內，則直線l與橢圓C相交
D．若點A在直線l上，則直線l與橢圓C的位置關系不確定
【題型3 根據直線與橢圓的位置關系求參數或范圍】
【例3】（2023·全國·高三對口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·高二單元測試）若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023春·福建莆田·高二校考階段練習）若方程有解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023秋·廣東深圳·高三統考期末）已知交于點的直線，相互垂直，且均與橢圓相切，若為的上頂點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【知識點3 弦長與“中點弦問題”】
1．弦長問題
(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.
(2)弦長公式：設直線l:y=kx+m交橢圓+=1 (a>b>0)于，兩點，
則或.
2．“中點弦問題”
(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法
①根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根
與系數的關系以及中點坐標公式解決.
②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中
點坐標和斜率的關系.
設，，代入橢圓方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
設線段AB的中點為，當時，有+=0.
因為為弦AB的中點，從而轉化為中點與直線AB的斜率之間的關系，這就是處理弦
中點軌跡問題的常用方法.
(2)弦的中點與直線的斜率的關系
線段AB是橢圓+=1 (a>b>0)的一條弦，當弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標
為，則弦AB所在直線的斜率為，即.
【題型4 橢圓的弦長問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022秋·廣西欽州·高二校考階段練習）已知橢圓與直線交于A，B兩點，且，則實數m的值為（ ）
A．±1 B．±
C． D．±
【變式4-2】（2023·全國·高三對口高考）過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且，則這樣直線的條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【題型5 橢圓的“中點弦”問題】
【例5】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）若橢圓的弦AB被點平分.則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2023春·陜西漢中·高二校聯考期中）已知直線交橢圓于A，B兩點，且線段AB的中點為，則直線的斜率為（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【變式5-2】（2023春·湖北荊州·高二校考階段練習）若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2023·貴州·統考模擬預測）已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 橢圓中的面積問題】
【例6】（2023春·廣東廣州·高二統考期末）已知橢圓的焦點坐標為、，點為橢圓上一點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)經過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，求的面積.
【變式6-1】（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知點為橢圓上一點，直線l：與橢圓C交于A B兩點.
(1)當時，求的面積；
(2)設直線AM和BM分別與直線交于點P，Q，若與的面積滿足，求實數t的值.
【變式6-2】（2023春·黑龍江大慶·高二校考期末）已知分別為橢圓的左 右焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且的周長為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線過點，且與垂直，交橢圓于兩點，若，求四邊形面積的范圍.
【變式6-3】（2023·四川成都·校考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經過點．

(1)求橢圓方程；
(2)直線與橢圓交于點為的右焦點，直線分別交于另一點、，記與的面積分別為，求的范圍．
【題型7 橢圓中的定點、定值、定直線問題】
【例7】（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知點，在橢圓 上.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.
【變式7-1】（2023·江西贛州·統考二模）已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線交于、兩點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．
【變式7-2】（2023春·云南曲靖·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，且橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程．
(2)設、是橢圓上關于軸對稱的不同兩點，在橢圓上，且點異于、兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．
【變式7-3】（2023春·上海浦東新·高二校考期末）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
【知識點4 橢圓中的最值問題】
1．橢圓中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型8 橢圓中的最值問題】
【例8】（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，橢圓的中心關于直線的對稱點落在直線上，且橢圓過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓上兩個動點，且直線與的斜率之積為為垂足，求的最大值.
【變式8-1】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知點是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)若過點的直線交軌跡于、兩點，是的中點，點是坐標原點，記與的面積之和為，求的最大值.
【變式8-2】（2023·河南洛陽·校考模擬預測）已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，左焦點為,點在橢圓上．
(1)求C的方程；
(2)設直線l與C交于不同于B的M，N兩點，且，求的最大值．
【變式8-3】（2023·上海嘉定·校考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為和的下頂點為A，直線，點在上.
(1)若，線段的中點在軸上，求的坐標；
(2)若直線與軸交于，直線經過右焦點，在中有一個內角的余弦值為，求；
(3)在橢圓上存在一個點到的距離為，使，當變化時，求的最小值.
專題3.3 直線與橢圓的位置關系【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 點與橢圓的位置關系】 1
【題型2 直線與橢圓的位置關系的判定】 3
【題型3 根據直線與橢圓的位置關系求參數或范圍】 5
【題型4 橢圓的弦長問題】 8
【題型5 橢圓的“中點弦”問題】 10
【題型6 橢圓中的面積問題】 12
【題型7 橢圓中的定點、定值、定直線問題】 17
【題型8 橢圓中的最值問題】 22
【知識點1 點與橢圓的位置關系】
1．點與橢圓的位置關系
(1)點與橢圓的位置關系：
(2)對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：
點在橢圓外+>1;
點在橢圓內+<1;
點在橢圓上+=1.
【題型1 點與橢圓的位置關系】
【例1】（2022·全國·高二假期作業）已知橢圓，則下列各點不在橢圓內部的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據點和橢圓位置關系的判斷方法，分別把點的坐標代入橢圓方程的左側部分，計算其數值大于的點即為答案.
【解答過程】由橢圓方程為，
因為，所以點在橢圓內部，A錯誤；
因為，所以點在橢圓內部，B錯誤；
因為，所以點在橢圓外部，C正確；
因為，所以點在橢圓內部，D錯誤.
故選：C.
【變式1-1】（2023·高二課時練習）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據點在橢圓外部得不等式，解不等式得結果.
【解答過程】因為點在橢圓的外部，
所以,解得,
故選：B.
【變式1-2】（2023·高二課時練習）點P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關系是（ ）
A．點P在橢圓C上 B．點P與橢圓C的位置關系不能確定，與α的取值有關
C．點P在橢圓C內 D．點P在橢圓C外
【解題思路】將P的坐標代入到橢圓方程的左邊，結合同角三角函數的基本關系即可判斷點和橢圓的位置關系.
【解答過程】把點P(2cosα，sinα)(α∈R)代入橢圓方程的左邊為＋
＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此點P在橢圓外．
故選:D.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓關于軸 軸均對稱，焦點在軸上，且焦距為，若點不在橢圓的外部，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設出橢圓方程，由于不在橢圓的外部，得到，結合，得到，求出離心率的取值范圍.
【解答過程】設橢圓的方程為，
因為不在橢圓的外部，
所以，因為，
所以，化簡得：，
同除以得：，結合，
解得：，
故.
故選：B.
【知識點2 直線與橢圓的位置關系】
1．直線與橢圓的位置關系
(1)直線與橢圓的三種位置關系
類比直線與圓的位置關系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關系，如圖所示.
(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關系：
>0直線與橢圓相交有兩個公共點;
=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點;
<0直線與橢圓相離無公共點.
【題型2 直線與橢圓的位置關系的判定】
【例2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【解題思路】聯立直線和橢圓方程，根據所得到的方程的解的個數來判斷直線和橢圓的位置關系.
【解答過程】聯立，消去，整理得到，該方程判別式，于是此方程無解，即直線和橢圓沒有交點，故直線和橢圓相離.
故選：C.
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【解題思路】求出直線所過的定點，證明該定點在橢圓內部即可得出結論.
【解答過程】解：由直線l：，得直線l過定點，
因為，所以該點在曲線C：內部.
所以直線l與曲線C相交.
故選：C.
【變式2-2】（2023秋·內蒙古包頭·高二校考期末）若直線和圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數為（ ）
A．2個 B．至少一個 C．1個 D．0個
【解題思路】根據直線與圓的位置關系，求得點的軌跡范圍所以，再利用其軌跡與橢圓的位置關系，即可判斷直線與橢圓的位置關系.
【解答過程】直線和圓沒有交點，直線與圓相離，圓心，半徑
，即
點在以原點為圓心，半徑為2的圓內，
又橢圓短軸長為4，圓=2內切于橢圓，點在橢圓內，
則過點的直線與橢圓的交點個數為2個.
故選：A.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在橢圓C外，則直線l與橢圓C相離
B．若點A在橢圓C上，則直線l與橢圓C相切
C．若點A在橢圓C內，則直線l與橢圓C相交
D．若點A在直線l上，則直線l與橢圓C的位置關系不確定
【解題思路】考慮和兩種情況，聯立方程，得到，根據點與橢圓的關系依次驗證直線和橢圓的關系得到答案.
【解答過程】當，則，則直線，
①若點A在橢圓C外，則，則，直線l與橢圓C相交；
②若點A在橢圓C上，則，則，直線l與橢圓C相切；
③若點A在橢圓C內，則，則，直線l與橢圓C相離；
當時，聯立方程，消去y得：
，
所以，
①若點A在橢圓C外，則，則，直線l與橢圓C相交；
②若點A在橢圓C上，則手，則，直線l與橢圓C相切；
③若點A在橢圓C內，則，則，直線l與橢圓C相離；
若點A在直線l上，則滿足，即點A在橢圓C上，由以上討論可知直線l與橢圓C相切，D錯誤.
綜上所述：B正確；
故選：B.
【題型3 根據直線與橢圓的位置關系求參數或范圍】
【例3】（2023·全國·高三對口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分析可知，將直線方程與橢圓方程聯立，由可求得實數的值.
【解答過程】因為方程表示的曲線為橢圓，則，
將直線的方程與橢圓的方程聯立，，可得，
則，解得.
故選：C.
【變式3-1】（2023秋·高二單元測試）若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題得直線所過定點在橢圓上或橢圓內，代入橢圓得到不等式，再結合橢圓焦點在軸上即可.
【解答過程】直線恒過定點，若直線與橢圓總有公共點，
則定點在橢圓上或橢圓內，，解得或，
又表示焦點在軸上的橢圓，故，，
故選：C.
【變式3-2】（2023春·福建莆田·高二校考階段練習）若方程有解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意畫出橢圓的部分，利用數形結合求出直線與橢圓相切時的值，再求出直線過橢圓右端點時的值，即可得到得范圍.
【解答過程】設，，兩邊同平方得，化簡得（），
則其所表示的圖形為橢圓在x軸及上方部分，
則題目轉化為直線與上述圖形有交點，
設橢圓的右端點為，易得其坐標為，
當直線與半橢圓相切時，顯然由圖得，
聯立，得，
則
化簡得，解得或（舍），
當直線經過點時，得，解得，
則，
故選：B.
【變式3-3】（2023秋·廣東深圳·高三統考期末）已知交于點的直線，相互垂直，且均與橢圓相切，若為的上頂點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，設，由條件聯立直線與橢圓方程，得到點的軌跡是圓，從而得到結果.
【解答過程】當橢圓的切線斜率存在時，設，且過與橢圓相切的直線方程為：，
聯立直線與橢圓方程，
消去可得，
所以，
即，
設為方程的兩個根，由兩切線相互垂直，所以，
所以，即，所以，
當橢圓的切線斜率不存在時，此時，，也滿足上式，
所以，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
又因為A為橢圓上頂點，所以，
當點位于圓的上頂點時，，
當點位于圓的下頂點時，，
所以，
故選:D.
【知識點3 弦長與“中點弦問題”】
1．弦長問題
(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.
(2)弦長公式：設直線l:y=kx+m交橢圓+=1 (a>b>0)于，兩點，
則或.
2．“中點弦問題”
(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法
①根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根
與系數的關系以及中點坐標公式解決.
②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中
點坐標和斜率的關系.
設，，代入橢圓方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
設線段AB的中點為，當時，有+=0.
因為為弦AB的中點，從而轉化為中點與直線AB的斜率之間的關系，這就是處理弦
中點軌跡問題的常用方法.
(2)弦的中點與直線的斜率的關系
線段AB是橢圓+=1 (a>b>0)的一條弦，當弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標
為，則弦AB所在直線的斜率為，即.
【題型4 橢圓的弦長問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意求得直線l的方程，設，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.
【解答過程】由橢圓知，，所以，
所以右焦點坐標為，則直線的方程為，
設，
聯立，消y得，，
則，
所以.
即弦AB長為.
故選：C.
【變式4-1】（2022秋·廣西欽州·高二校考階段練習）已知橢圓與直線交于A，B兩點，且，則實數m的值為（ ）
A．±1 B．±
C． D．±
【解題思路】聯立方程，寫出關于交點坐標的韋達定理，用兩點的距離公式解出m即可.
【解答過程】由，消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
設，
則，．
由題意，得，
解得．
故選:A.
【變式4-2】（2023·全國·高三對口高考）過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且，則這樣直線的條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】先求過左焦點的通徑長度，由橢圓的性質：過左焦點的弦長最短為通徑長，最長為長軸長，結合已知弦長判斷直線的條數即可.
【解答過程】左焦點為，若直線垂直x軸，則直線為，
代入橢圓方程得，可得，此時通徑長，
所以，由橢圓性質知：的直線有僅只有一條.
故選：B.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】設直線方程與橢圓方程聯立，求得弦長，即可得到最大值.
【解答過程】設兩點的坐標分別為，，直線l的方程為，
由消去y得，
則，.
∴
，
∴當時，取得最大值，
故選:D.
【題型5 橢圓的“中點弦”問題】
【例5】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）若橢圓的弦AB被點平分.則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】采用點差法，設，聯立方程即可求解.
【解答過程】設，則滿足，
兩式作差得，即，
又被點平分，故，且直線的斜率存在，
所以，整理得，即，
則所在直線方程為，
化簡得.
故選：A.
【變式5-1】（2023春·陜西漢中·高二校聯考期中）已知直線交橢圓于A，B兩點，且線段AB的中點為，則直線的斜率為（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【解題思路】設出A，B坐標，列出坐標所滿足的方程，將兩方程相減得到l的斜率與線段AB中點坐標的關系，由此求解出直線l的斜率.
【解答過程】設，，因為A，B都在橢圓上，
所以，兩式相減，得，
得，
又因為線段AB中點坐標為，，，
所以，
故選：D.
【變式5-2】（2023春·湖北荊州·高二校考階段練習）若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用點差法求解得，再根據點斜式求解即可得答案.
【解答過程】設，則
所以，整理得，
因為為弦的中點，
所以，
所以，
所以弦所在直線的方程為，即.
故選：A.
【變式5-3】（2023·貴州·統考模擬預測）已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設，利用點差法可得的關系，從而可求得，即可的解.
【解答過程】設，則，
由已知有，，
作差得，
則，
所以，解得，
則的方程為.
故選：D．
【題型6 橢圓中的面積問題】
【例6】（2023春·廣東廣州·高二統考期末）已知橢圓的焦點坐標為、，點為橢圓上一點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)經過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，求的面積.
【解題思路】（1）由橢圓的定義求出的值，結合的值可得出的值，由此可得出橢圓的標準方程；
（2）設點、，寫出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出點、的縱坐標，再利用三角形的面積公式可求得的面積.
【解答過程】（1）解：由橢圓的定義可得，
所以，，又因為，則，
所以，橢圓的標準方程為.
（2）解：設點、，由題意可知，直線的方程為，即.
聯立可得，解得，，

所以，.
【變式6-1】（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知點為橢圓上一點，直線l：與橢圓C交于A B兩點.
(1)當時，求的面積；
(2)設直線AM和BM分別與直線交于點P，Q，若與的面積滿足，求實數t的值.
【解題思路】（1）先求出橢圓方程，設，聯立方程，利用韋達定理求出，再根據弦長公式求出，求出點到直線的距離，即可的解；
（2）設，利用韋達定理求出，再根據弦長公式求出，求出點到直線的距離，即可求得，求出的方程，令可得點的坐標，從而可求出，再根據即可得解.
【解答過程】（1）將代入，得，解得，
所以橢圓，
聯立，得，設，
則，
則，
點到直線的距離為，
故的面積；
（2）設，
聯立得，
恒成立，
則，
則，
點到直線的距離，
則，
直線的方程為，
令，則，
即，
同理，
因為，
所以，
因為，所以，
化簡得，解得.
【變式6-2】（2023春·黑龍江大慶·高二校考期末）已知分別為橢圓的左 右焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且的周長為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線過點，且與垂直，交橢圓于兩點，若，求四邊形面積的范圍.
【解題思路】（1）設，由題的周長為，據此可得答案；
（2）先討論兩直線中的一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，四邊形的面積；再討論兩直線的斜率都存在，且都不為0時，分別聯立直線與橢圓方程求得與，從而得到得關于的關系式，由此得解.
【解答過程】（1）設，由橢圓的定義可知的周長為，所以，所以離心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以橢圓的方程為.
①當直線中的一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，四邊形的面積.
②當直線的斜率都存在，且都不為0時，設的方程為，由，可得，.所以.
所以.
設的方程為，同理可得.
所以四邊形的面積
，
因為，當且僅當時取等號.所以，即此時.
由①②可知，四邊形面積的范圍為.
【變式6-3】（2023·四川成都·校考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經過點．

(1)求橢圓方程；
(2)直線與橢圓交于點為的右焦點，直線分別交于另一點、，記與的面積分別為，求的范圍．
【解題思路】（1）由離心率為，且經過點可得答案；
（2）設，令可得坐標，代入橢圓方程得，設，可得坐標，代入橢圓方程得，利用及的取值范圍可得答案．
【解答過程】（1）由離心率為，且經過點可得，又，
解得，所以橢圓 ；
（2）設，則，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
設，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
【題型7 橢圓中的定點、定值、定直線問題】
【例7】（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知點，在橢圓 上.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.
【解題思路】（1）根據橢圓所經過的點列方程求出其方程；（2）設出方程，結合韋達定理和是中點的條件，找到直線中兩個參數的關系，從而求出定點.
【解答過程】（1）由題知，又橢圓經過，代入可得，解得，
故橢圓的方程為：
（2）
由題意知，當軸時，不符合題意，故的斜率存在，設的方程為，
聯立消去得，
則，
即
設 ，，，
的方程為，令得，
的方程為，令得，
由是中點，得，即，
即，
即，
即，所以 ，
得或，
當，此時由，得，符合題意；
當，此時直線經過點，與題意不符，舍去.
所以的方程為，即，
所以過定點.
【變式7-1】（2023·江西贛州·統考二模）已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線交于、兩點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．
【解題思路】（1）根據已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）設點、、，記，則且，可知，，利用平面向量的坐標運算結合點差法求出點的軌跡方程，即可證得結論成立.
【解答過程】（1）解：由題意可得，解得，
所以，橢圓的方程為.
（2）解：設點、、，
因為，記，則且，
又因為點在橢圓外，且、、、四點共線，所以，，，
所以，，，
所以，，，
所以，，，
又因為，則，作差可得，
即，
即，即，
故點總在定直線上.
【變式7-2】（2023春·云南曲靖·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，且橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程．
(2)設、是橢圓上關于軸對稱的不同兩點，在橢圓上，且點異于、兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．
【解題思路】（1）求出橢圓上任意一點到其焦點距離的最大值，結合離心率可得出、的值，進而求出的值，由此可得出橢圓的標準方程；
（2）設點，，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出，同理可得出的另外一個表達式，利用等量關系可得出關于、的等式，討論、兩種情形，可求出的定值.
【解答過程】（1）解：設點為橢圓上任意一點，其中，易知點，
，
所以，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為，
又因為橢圓的離心率為，
所以，，，則，
因此，橢圓的標準方程為.
（2）解：設點，，，，，
則直線的方程為，直線的方程為，

聯立，消去并整理可得，
因為點在橢圓上，則直線與橢圓必有公共點，
所以，，
同理可得
所以，，
所以，，
化簡可得，
當時，則，此時，；
當時，、、三點重合，此時，.
綜上所述，，即為定值.
【變式7-3】（2023春·上海浦東新·高二校考期末）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
【解題思路】（1）根據橢圓的幾何性質列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；
（2）設，，直線的方程為，與橢圓方程聯立得到，代入的表達式，即可得出為定值；
（3）根據（1）中的結論，設，則，求出直線AP、BQ的方程，聯立即可求出點M的坐標，從而可知其在定直線上．
【解答過程】（1）依題可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設，，因為直線過點且斜率不為，
所以可設的方程為，代入橢圓方程得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，
所以，．
從而．
（3）由（1）知，設，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯立可得，
所以直線與直線的交點的坐標為，
所以點在定直線上.
【知識點4 橢圓中的最值問題】
1．橢圓中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型8 橢圓中的最值問題】
【例8】（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，橢圓的中心關于直線的對稱點落在直線上，且橢圓過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓上兩個動點，且直線與的斜率之積為為垂足，求的最大值.
【解題思路】（1）由點關于直線對稱，以及橢圓過點，構造方程解得答案；
（2）設直線方程，聯立橢圓方程，根據韋達定理，利用直線與的斜率之積為，整理化簡證明直線過定點，進而求出的軌跡是圓，把問題轉化為圓上的點到橢圓左頂點距離的最大值問題，使問題得到解決.
【解答過程】（1）設橢圓的中心關于直線的對稱點，
則有
橢圓的中心關于直線的對稱點落在直線上，
又橢圓過點，可得，解得，
所以橢圓的方程.
（2）設，由題意得直線斜率不為零，設，
由得，即，
所以
由，得，即，
所以，所以
，
所以，化簡得，
所以或，
若，則直線過橢圓的左頂點，不適合題意，所以，
所以過定點，因為為垂足，
所以在以為直徑的圓上，的中點為，又，
所以，
所以的最大值為，
即的最大值為.
【變式8-1】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知點是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)若過點的直線交軌跡于、兩點，是的中點，點是坐標原點，記與的面積之和為，求的最大值.
【解題思路】（1）由題意可知，所以動點的軌跡是橢圓，即可求解；
（2）分析出，直線的斜率不存在時，，直線的斜率存在時，可通過設而不求的方法求得，令后可得，根據的范圍即可求出的范圍，進而可求其最大值.
【解答過程】（1）由題意可知，
所以動點的軌跡是以為焦點且長軸長為4的橢圓，
則，所以，
因此動點的軌跡的方程是.
（2）如圖：

不妨設點在軸上方，連接，
因為分別為有中點，所以，
所以，
當直線的斜率不存在時，其方程為，則，，
此時；
當直線的斜率存在時，設其方程為，
設，，顯然直線不與軸重合，即，
聯立，得，
則，，
所以，
又點到直線的距離，
所以，令，
則，
因為，所以，
所以，所以.
綜上，，即的最大值為.
【變式8-2】（2023·河南洛陽·校考模擬預測）已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，左焦點為,點在橢圓上．
(1)求C的方程；
(2)設直線l與C交于不同于B的M，N兩點，且，求的最大值．
【解題思路】（1）根據題意列式求出，可得C的方程；
（2）設，，設 ，代入橢圓方程，得，根據求出三角形面積的最大值，再根據可求出的最大值．
【解答過程】（1）依題意得，解得，，
所以C的方程為.
（2）由題意知，直線l的斜率不為0，
則不妨設直線l的方程為，
聯立，消去得，
，化簡整理得，
設，，則，，
因為，所以，
因為，所以，，
得，
將，代入上式得，
得，整理得，
解得或（舍去）．
所以直線l的方程為，則直線l恒過點，
所以
，
設，則，，
易知在上單調遞增，
所以時，取得最大值，
又，
所以.

【變式8-3】（2023·上海嘉定·校考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為和的下頂點為A，直線，點在上.
(1)若，線段的中點在軸上，求的坐標；
(2)若直線與軸交于，直線經過右焦點，在中有一個內角的余弦值為，求；
(3)在橢圓上存在一個點到的距離為，使，當變化時，求的最小值.
【解題思路】（1）由題意及條件先得出橢圓方程，由AM的中點在軸上先得出M縱坐標，再代入直線方程即可求得M；
（2）分類討論中哪個內角余弦值為，分別解三角形求得對應的值即可；
（3）根據點到直線的距離公式化簡得出
，再根據三角函數的有界性得出
，解不等式求出的取值范圍即可求得的最小值.
【解答過程】（1）由題意可得，
的中點在軸上，則由中點坐標公式可知：A、M的縱坐標之和為0，
的縱坐標為，代入得：.
（2）
由直線方程可知，由直線方程可知，故有如下兩種情況：
①若，則，，即，
.
②若，則，
，
.
即，
綜上或.
（3）設，則由題意得，
顯然橢圓在直線的左下方，則，
即，
，
據此可得，
整理可得，即1 ，
又
從而.即的最小值為.

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