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專題3.4 雙曲線的標準方程和性質(zhì)【九大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 曲線方程與雙曲線】 1
【題型2 利用雙曲線的定義解題】 2
【題型3 雙曲線的標準方程的求解】 3
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】 3
【題型5 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程】 5
【題型6 雙曲線的漸近線方程】 6
【題型7 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】 6
【題型8 雙曲線中的最值問題】 7
【題型9 雙曲線的實際應用問題】 7
【知識點1 雙曲線的標準方程】
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關(guān)系：
雙曲線在坐標系中的位置
標準方程
焦點坐標 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關(guān)系
【題型1 曲線方程與雙曲線】
【例1】（2023·高二課時練習）當時，方程所表示的曲線是（ ）
A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線
C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線
【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（ ）
A．曲線可以表示圓
B．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓
C．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓
D．曲線可以表示焦點在軸上的雙曲線
【變式1-3】（2022·高二課時練習）已知，當為何值時：
(1)方程表示雙曲線；
(2)表示焦點在軸上的雙曲線；
(3)表示焦點在軸上的雙曲線．
【題型2 利用雙曲線的定義解題】
【例2】（2023秋·江蘇常州·高二校考期末）雙曲線上的點到左焦點的距離為，則到右焦點的距離為（ ）
A． B． C．或 D．
【變式2-1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【變式2-2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【變式2-3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
【題型3 雙曲線的標準方程的求解】
【例3】（2023秋·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且滿足，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，是線段上點，若，則當面積最大時，雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】
【例4】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知y軸上兩點，，則平面內(nèi)到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知平面內(nèi)兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022·高二課時練習）動圓M與圓：和圓：均外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023秋·安徽安慶·高二校考期末）已知定點是圓上任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，則點的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)】
1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
圖形
標準方程
范圍 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
對稱性 關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
頂點 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長 實半軸長為a,虛半軸長為b
離心率
漸近線方程
2．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
3．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型5 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程】
【例5】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點在C上，則C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·四川成都·三模）已知雙曲線經(jīng)過點，且與雙曲線具有相同的漸近線，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點所在軸相同，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為，以坐標原點為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，若四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 雙曲線的漸近線方程】
【例6】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線經(jīng)過點，則其漸近線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，則雙曲線的漸近線方程式為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）已知點P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點，若，則漸近線l的斜率為（　　）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的左，右焦點分別為，右支上一點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型7 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】
【例7】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知雙曲線的一個焦點坐標為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．4
【變式7-1】（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式7-2】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知為雙曲線的右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于、兩點，若在雙曲線左支上存在點使得，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023·安徽合肥·校考模擬預測）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 雙曲線中的最值問題】
【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的焦點分別是、，點P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最大值為4 B．的最大值為2
C．的最小值為 D．的最小值為
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【題型9 雙曲線的實際應用問題】
【例9】（2023春·河南商丘·高二開學考試）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當拱頂M到水面的距離為4米時，水面寬AB為米，則當水面寬度為米時，拱頂M到水面的距離為（ ）
A．4米 B．米 C．米 D．米
【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（ ）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340m
C．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m
【變式9-2】（2023·全國·高三專題練習）雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為，下底直徑為，高為，則喉部（最細處）的直徑為（ ）
A． B． C． D．
專題3.4 雙曲線的標準方程和性質(zhì)【九大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 曲線方程與雙曲線】 1
【題型2 利用雙曲線的定義解題】 3
【題型3 雙曲線的標準方程的求解】 5
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】 7
【題型5 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程】 10
【題型6 雙曲線的漸近線方程】 12
【題型7 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】 14
【題型8 雙曲線中的最值問題】 16
【題型9 雙曲線的實際應用問題】 18
【知識點1 雙曲線的標準方程】
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關(guān)系：
雙曲線在坐標系中的位置
標準方程
焦點坐標 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關(guān)系
【題型1 曲線方程與雙曲線】
【例1】（2023·高二課時練習）當時，方程所表示的曲線是（ ）
A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線
C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線
【解題思路】化簡方程，然后判斷表示的曲線即可．
【解答過程】當ab＜0時，方程化簡得，
∴方程表示雙曲線．焦點坐標在y軸上；
故選：D．
【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先求方程表示雙曲線的條件，再根據(jù)兩者相等關(guān)系確定充要關(guān)系.
【解答過程】因為方程表示雙曲線，所以，
又當時，方程表示雙曲線，
因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.
故選：C.
【變式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（ ）
A．曲線可以表示圓
B．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓
C．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓
D．曲線可以表示焦點在軸上的雙曲線
【解題思路】由橢圓、雙曲線、圓的方程定義列式求解判斷.
【解答過程】對A，若曲線表示圓，則有，無解，A錯；
對BC，若曲線表示橢圓，則有，此時，則曲線表示焦點在軸上的橢圓，C對B錯；
對D，若曲線表示雙曲線，則有，此時，此時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，D對.
故選：CD.
【變式1-3】（2022·高二課時練習）已知，當為何值時：
(1)方程表示雙曲線；
(2)表示焦點在軸上的雙曲線；
(3)表示焦點在軸上的雙曲線．
【解題思路】根據(jù)雙曲線標準方程中的分母的正負解決即可．
【解答過程】（1）因為，即，方程表示雙曲線，
所以，解得或；
所以或；
（2）因為，即，焦點在軸上的雙曲線，
則，解得，
所以；
（3）因為1，即，焦點在y軸上的雙曲線，
則，解得，
所以.
【題型2 利用雙曲線的定義解題】
【例2】（2023秋·江蘇常州·高二校考期末）雙曲線上的點到左焦點的距離為，則到右焦點的距離為（ ）
A． B． C．或 D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.
【解答過程】由雙曲線方程可得：，，設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，則，
若點在雙曲線的左支上，則由雙曲線的定義可知：，
所以；
若點在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義可知：，
所以，因為，所以此時不成立，
綜上：到右焦點的距離為，
故選：.
【變式2-1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【解題思路】由漸近線方程可得，則，后由雙曲線定義可得答案.
【解答過程】由，可得，則.
又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.
故選：B.
【變式2-2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解題思路】結(jié)合雙曲線的定義來解決即可.
【解答過程】雙曲線的實半軸長，
由雙曲線的定義，可得
所以，
則三角形的周長為.
故選：B.
【變式2-3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
【解題思路】利用雙曲線定義求出的三邊長度，根據(jù)余弦定理求出三角形的夾角，最后通過三角形正弦定理面積公式求出面積.
【解答過程】，根據(jù)雙曲線定義：，
，，，
根據(jù)余弦定理：，
則，.
故選：A.
【題型3 雙曲線的標準方程的求解】
【例3】（2023秋·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果.
【解答過程】∵雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，且，
由題意可得，解得，
∴雙曲線的方程為.
故選：A.
【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出橢圓的焦點坐標，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點位置可求得雙曲線的標準方程.
【解答過程】橢圓的焦點坐標為，設(shè)雙曲線的標準方程為，
由雙曲線的定義可得，
，，，
因此，雙曲線的方程為.
故選：C.
【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且滿足，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求得正確答案.
【解答過程】依題意，，
所以，
由于雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程是.
故選：D.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，是線段上點，若，則當面積最大時，雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】在和分別利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根據(jù)均值不等式求面積最大時的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解.
【解答過程】如圖所示
設(shè)，，，，則，，
在中由余弦定理得①，
在中由余弦定理得②，
得③，
在中由余弦定理得④，
③④聯(lián)立消去得，
因為，當面積最大時即最大，
由均值不等式可得，
當且僅當即時等號成立，取得最大值，
此時由④解得，所以，
所以，即為直角三角形，且，
所以在中，解得，
由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，
所以雙曲線的方程為，
故選：C.
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】
【例4】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知y軸上兩點，，則平面內(nèi)到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.
【解答過程】點，，令為軌跡上任意點，則有，
因此動點的軌跡是以，為焦點，實軸長為8的雙曲線，
即雙曲線的實半軸長，而半焦距，則虛半軸長，
所以所求軌跡方程為.
故選：B.
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知平面內(nèi)兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由雙曲線的定義即可求解.
【解答過程】解：由題意，因為，
所以由雙曲線的定義知，當時，動點的軌跡為雙曲線，
故選：C.
【變式4-2】（2022·高二課時練習）動圓M與圓：和圓：均外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，進而結(jié)合雙曲線的定義即可求得答案.
【解答過程】設(shè)動圓M的半徑為r，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因為動圓M與圓和圓均外切，所以，，所以，所以點M的軌跡是以點，為焦點的雙曲線的右支．，，，所以.所以動圓圓心M的軌跡方程為．
故選：A．
【變式4-3】（2023秋·安徽安慶·高二校考期末）已知定點是圓上任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，則點的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由是圓上任意一點,可得，為的中點可求，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得為定值，由雙曲線的定義即可得結(jié)果.
【解答過程】如圖，當點在軸左側(cè)時，連接，，則，所以．
結(jié)合為線段的垂直平分線，可得，
所以．
同理，當點在軸右側(cè)時，．
故點的軌跡是雙曲線，其方程為．
故選：B.
【知識點2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)】
1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
圖形
標準方程
范圍 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
對稱性 關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
頂點 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長 實半軸長為a,虛半軸長為b
離心率
漸近線方程
2．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
3．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型5 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程】
【例5】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點在C上，則C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線一條漸近線的斜率可得，將點的坐標代入方程，即可求得答案.
【解答過程】由題意可得，所以，
把點的坐標代入方程，得，
所以，
則C的標準方程為，
故選：A.
【變式5-1】（2023·四川成都·三模）已知雙曲線經(jīng)過點，且與雙曲線具有相同的漸近線，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先利用共漸近線方程的設(shè)法設(shè)出雙曲線的方程，再代入點，即可求解.
【解答過程】由題意設(shè)雙曲線的標準方程為，代入點，
得，得，
所以雙曲線的標準方程為.
故選：A.
【變式5-2】（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點所在軸相同，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由橢圓方程可確定焦點在軸上且離心率，從而得雙曲線的焦點也在軸上，離心率，再結(jié)合離心率公式及所求雙曲線的虛軸長為，即可求得雙曲線的方程.
【解答過程】解：因為橢圓的焦點在軸上，離心率，
所以所求雙曲線的焦點也在軸上，離心率，
即，所以，
又因為雙曲線的虛軸長為，
即，所以，
即，
所以，
所以所求雙曲線的方程為：.
故選：C.
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為，以坐標原點為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，若四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)離心率求出，得漸近線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，則，求出，利用面積求出即可得解.
【解答過程】因為雙曲線的離心率為，所以，得，
所以雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
由對稱性不妨令點A，B分別在第一、四象限，坐標原點為O，則，
于是得，
而雙曲線的虛半軸長為b，即，
顯然四邊形為矩形，其面積，得，所以，
所以雙曲線的方程為．
故選：B．
【題型6 雙曲線的漸近線方程】
【例6】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線經(jīng)過點，則其漸近線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先應用雙曲線經(jīng)過點求出，再根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)漸近線方程解決即可.
【解答過程】由題知雙曲線經(jīng)過點，所以，
所以，雙曲線焦點在軸上，
所以雙曲線的漸近線方程為，
故選：A.
【變式6-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，則雙曲線的漸近線方程式為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.
【解答過程】由題意可得，故由題意可得，
漸近線方程為.
故選：D.
【變式6-2】（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）已知點P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點，若，則漸近線l的斜率為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)漸近線l的方程，由兩直線垂直的條件可得直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求得A的坐標，再由向量共線的坐標表示可得P的坐標，代入雙曲線的方程，化簡整理可得所求直線的斜率．
【解答過程】解：設(shè)，漸近線l的方程為，①
直線的方程為，②
聯(lián)立①②可得，，
即有，
由，可得，，
解得，，即，
由P在雙曲線上，可得，
化為，即，
可得，
所以直線l的斜率為．
故選：D．
【變式6-3】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的左，右焦點分別為，右支上一點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求得雙曲線的漸近線方程，求得點到雙曲線的兩條漸近線的距離，根據(jù)題意化簡得到，結(jié)合，求得，即可求解.
【解答過程】設(shè)，則，即，
漸近線方程為，即，
則點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為：，
因為，則，
可得，即，
又由，可得，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，
故選：D．
【題型7 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】
【例7】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知雙曲線的一個焦點坐標為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．4
【解題思路】把雙曲線方程化成標準形式，求出m即可求出離心率作答.
【解答過程】雙曲線化為：，依題意，，解得，
因此雙曲線的實半軸長為1，所以雙曲線的離心率為2.
故選：C.
【變式7-1】（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】根據(jù)漸近線方程可得，再由可求得結(jié)果.
【解答過程】因為雙曲線的一條漸近線方程為，
所以，
所以雙曲線的離心率為，
故選：B.
【變式7-2】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知為雙曲線的右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于、兩點，若在雙曲線左支上存在點使得，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出點、的坐標，設(shè)點，其中，可得出，由已知可得出，可得出，整理可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.
【解答過程】將代入雙曲線的方程可得，可得，
不妨取點、，設(shè)點，其中，且，
，，
因為，所以
，
因為，則，所以，，
可得，即，
整理可得，因為，解得.
故選：D.
【變式7-3】（2023·安徽合肥·校考模擬預測）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先表示出直線的方程，利用距離公式表示出，，依題意可得，再根據(jù)、、的關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解得即可.
【解答過程】依題意直線：，即，又，
所以，，
所以，所以，
即，即，解得，
又，所以.
故選：B.
【題型8 雙曲線中的最值問題】
【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【解題思路】由雙曲線定義等于到右焦點的距離 ，而的最小值是（是圓半徑），由此可得結(jié)論．
【解答過程】記雙曲線的右焦點為，所以 ，
當且僅當點為線段與雙曲線的交點時，取到最小值．
故選：C．
【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分析可知兩圓圓心為雙曲線的兩個焦點，利用圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義可求得的最大值.
【解答過程】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點，
記點、，當取最大值時，在雙曲線的左支上，
所以，.
故選：B.
【變式8-2】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的焦點分別是、，點P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最大值為4 B．的最大值為2
C．的最小值為 D．的最小值為
【解題思路】設(shè)出點的坐標，結(jié)合雙曲線的范圍，利用數(shù)量積的坐標運算求解即可.
【解答過程】根據(jù)題意，的坐標為，設(shè)點的坐標為，則，
故，
又，故 ，
又，故當時，取得最小值，且其沒有最大值，
故的最小值為，無最大值.
故選：D.
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【解題思路】設(shè)且，應用兩點距離公式及P在雙曲線上，結(jié)合基本不等式求的范圍，注意等號成立條件，進而可求目標式的最小值.
【解答過程】令且，則，而，
所以，令，
則，當且僅當，即時等號成立，
所以，即最小值為23.
故選：B.
【題型9 雙曲線的實際應用問題】
【例9】（2023春·河南商丘·高二開學考試）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當拱頂M到水面的距離為4米時，水面寬AB為米，則當水面寬度為米時，拱頂M到水面的距離為（ ）
A．4米 B．米 C．米 D．米
【解題思路】將代入雙曲線得到，當?shù)玫剑玫酱鸢?
【解答過程】根據(jù)題意：，，故，解得，即，
當水面寬度為米時，即時，，
拱頂M到水面的距離為.
故選：D.
【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（ ）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340m
C．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m
【解題思路】建立平面直角坐標系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.
【解答過程】如圖，

以接報中心為原點，正東、正北方向為軸、軸正向，建立直角坐標系．設(shè)分別是西、東、北觀測點，則
設(shè)為巨響為生點，由 同時聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點比點晚聽到爆炸聲，故，
由雙曲線定義知點在以為焦點的雙曲線左支上，
依題意得
故雙曲線方程為，將 代入上式，得 ，即
故 .
故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北距中心處．
故選：A.
【變式9-2】（2023·全國·高三專題練習）雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．
【解答過程】易知共線，共線，如圖，設(shè)，
則.因為，所以，
則，則，
又因為，所以，則,
在中，，即，
所以.
故選：D.
【變式9-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為，下底直徑為，高為，則喉部（最細處）的直徑為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】畫出塔筒的軸截面；以為喉部對應點，以所在直線為軸，過點且與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系；設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)題意寫出點的坐標；把點的坐標代入雙曲線方程即可求出答案.
【解答過程】該塔筒的軸截面如圖所示，以為喉部對應點，以所在直線為軸，過點且與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系，設(shè)與分別為上，下底面對應點.
由題意可知，設(shè)，則，
設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以.
所以方程可化簡為，
將和的坐標代入式可得，解得，
則喉部的直徑為.
故選：D.

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