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專題3.5 直線與雙曲線的位置關系【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 判斷直線與雙曲線的位置關系】 2
【題型2 根據直線與雙曲線的位置關系求參數或范圍】 2
【題型3 雙曲線的弦長問題】 3
【題型4 雙曲線的“中點弦”問題】 4
【題型5 雙曲線中的面積問題】 4
【題型6 雙曲線中的定點、定值、定直線問題】 6
【題型7 雙曲線中的最值問題】 7
【知識點1 直線與雙曲線的位置關系】
1．直線與雙曲線的位置關系
(1)研究直線與雙曲線的位置關系：
一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個數進行判斷.
①代入②得.
當=0，即時，直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線交于一點.
當0，即時，=.
>0直線與雙曲線有兩個交點,稱直線與雙曲線相交；
=0直線與雙曲線有一個交點,稱直線與雙曲線相切；
<0直線與雙曲線沒有交點,稱直線與雙曲線相離.
(2)對直線與雙曲線的交點位置分以下三種情況進行討論：
①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個不同的點，則應滿足條件；
②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點，則應滿足條件；
③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則應滿足條件.
【題型1 判斷直線與雙曲線的位置關系】
【例1】（2022·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的位置關系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
【變式1-1】（2023·高二課時練習）“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【變式1-2】（2023·高二課時練習）過點P（4，4）且與雙曲線只有一個交點的直線有（ ）．
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【變式1-3】（2022·高二課時練習）直線與雙曲線的交點情況是（ ）
A．恒有一個交點 B．存在m有兩個交點
C．至多有一個交點 D．存在m有三個交點
【題型2 根據直線與雙曲線的位置關系求參數或范圍】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則實數的取值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
【變式2-2】（2023·河南·統考模擬預測）若直線l：與曲線C：有兩個公共點，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·高二課時練習）若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 弦長與“中點弦問題”】
1．弦長問題
①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.
②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.
③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直
線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.
④雙曲線的通徑：
過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還
是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.
2．“中點弦問題”
“設而不求”法解決中點弦問題：
①過橢圓內一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.
②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將轉化為能用韋達定理直接代換的.垂直關系有時用向量的數量關系來刻畫，要注意轉化.
3．雙曲線的第二定義
平面內，當動點M到一個定點的距離和它到一條定直線(點不在直線上)的距離之比是常數e=(e>1)時，這個動點的軌跡就是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率.
【題型3 雙曲線的弦長問題】
【例3】（2022·全國·高二專題練習）過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【變式3-1】（2022·全國·高二假期作業）過雙曲線的一個焦點作直線交雙曲線于，兩點，若，則這樣的直線有（ ）
A．條 B．條 C．條 D．條
【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點，則截得的弦長（ ）
A． B． C．10 D．
【變式3-3】（2022·浙江·校聯考模擬預測）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點，與H的漸近線交于C，D兩點．若，則（ ）
A．2 B． C． D．3
【題型4 雙曲線的“中點弦”問題】
【例4】（2023·高二課時練習）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023秋·河南平頂山·高二統考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知點A，B在雙曲線上，線段AB的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線，過點的直線與該雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．該直線不存在
【題型5 雙曲線中的面積問題】
【例5】（2023秋·全國·高二期中）設，為雙曲線上的兩點，中點為，求
(1)直線的方程；
(2)的面積為坐標原點）．
【變式5-1】（2023·河南·襄城高中校聯考三模）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．
(1)求E的方程；
(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．
【變式5-2】（2023·湖南邵陽·邵陽市校考模擬預測）已知雙曲線的離心率為2，右焦點與拋物線的焦點重合，雙曲線的左、右頂點分別為，，點為第二象限內的動點，過點作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；
(2)直線是否過定點？若過定點請求出定點坐標，若不過定點請說明理由.
(3)設和的面積分別為和，求的取值范圍.
參考結論：點為雙曲線上一點，則過點的雙曲線的切線方程為.
【變式5-3】（2023春·浙江衢州·高二統考期末）已知雙曲線，過點作直線交雙曲線的兩支分別于，兩點，
(1)若點恰為的中點，求直線的斜率；
(2)記雙曲線的右焦點為，直線，分別交雙曲線于，兩點，求的取值范圍.
【題型6 雙曲線中的定點、定值、定直線問題】
【例6】（2023·河北張家口·統考三模）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
【變式6-1】（2023·廣東茂名·茂名市校考三模）已知雙曲線的離心率為2.
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
【變式6-2】（2023春·湖北荊門·高二統考期末）已知雙曲線：的實軸長為2，兩漸近線的夾角為．
(1)求雙曲線的方程：
(2)當時，記雙曲線的左、右頂點分別為，，動直線：與雙曲線的右支交于，兩點（異于），直線，相交于點，證明：點在定直線上，并求出定直線方程．
【變式6-3】（2023春·重慶渝中·高二校考期末）已知雙曲線C： 的漸近線方程為，其左右焦點為，，點D為雙曲線上一點，且的重心G點坐標為.
(1)求該雙曲線的標準方程；
(2)過x軸上一動點作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點，A點關于x軸的對稱點為（與B不重合），連接并延長交x軸于點Q，問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.
【知識點3 雙曲線中的最值問題】
1．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型7 雙曲線中的最值問題】
【例7】（2023·山東淄博·統考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為4，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點，且∠RAS＝60°.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點M，Q是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點N，求的最大值.
【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線，（，）的實軸長為2，且過點，其中為雙曲線的離心率．
(1)求的標準方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于點，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，（為坐標原點）的斜率分別為，，求的最小值．
【變式7-2】（2023·河南·鄭州一中校聯考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E：的右焦點為F，離心率為2，且過點．
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)設過原點O的直線在第一、三象限內分別交雙曲線E于A，C兩點，過原點O的直線在第二、四象限內分別交雙曲線E于B，D兩點，若直線AD過雙曲線的右焦點F，求四邊形ABCD面積的最小值．
【變式7-3】（2023秋·浙江嘉興·高三統考期末）已知雙曲線過點，左 右頂點分別是，右焦點到漸近線的距離為，動直線與以為直徑的圓相切，且與的左 右兩支分別交于兩點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記直線的斜率分別為，求的最小值.
專題3.5 直線與雙曲線的位置關系【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 判斷直線與雙曲線的位置關系】 2
【題型2 根據直線與雙曲線的位置關系求參數或范圍】 3
【題型3 雙曲線的弦長問題】 6
【題型4 雙曲線的“中點弦”問題】 9
【題型5 雙曲線中的面積問題】 11
【題型6 雙曲線中的定點、定值、定直線問題】 17
【題型7 雙曲線中的最值問題】 22
【知識點1 直線與雙曲線的位置關系】
1．直線與雙曲線的位置關系
(1)研究直線與雙曲線的位置關系：
一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個數進行判斷.
①代入②得.
當=0，即時，直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線交于一點.
當0，即時，=.
>0直線與雙曲線有兩個交點,稱直線與雙曲線相交；
=0直線與雙曲線有一個交點,稱直線與雙曲線相切；
<0直線與雙曲線沒有交點,稱直線與雙曲線相離.
(2)對直線與雙曲線的交點位置分以下三種情況進行討論：
①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個不同的點，則應滿足條件；
②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點，則應滿足條件；
③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則應滿足條件.
【題型1 判斷直線與雙曲線的位置關系】
【例1】（2022·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的位置關系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
【解題思路】聯立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x，從而得出直線和雙曲線位置關系，得出答案.
【解答過程】由得 整理得，；
所以，故直線和雙曲線只有一個交點；
又雙曲線的漸近線方程為：
與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個交點.
所以直線和雙曲線的位置關系為相交．
故選：B.
【變式1-1】（2023·高二課時練習）“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解題思路】利用定義法，分充分性和必要性分類討論即可.
【解答過程】充分性：因為“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”，所以直線與雙曲線相切或直線與漸近線平行.故充分性不滿足；
必要性：因為“直線與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”.故必要性滿足.
所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件.
故選：B.
【變式1-2】（2023·高二課時練習）過點P（4，4）且與雙曲線只有一個交點的直線有（ ）．
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【解題思路】把直線與雙曲線的位置關系，轉化為方程組的解的個數來判斷，借助判別式求解，注意分類討論．
【解答過程】解；雙曲線方程為：，
當k不存在時，直線為x＝4，與1的圖象有且只有一個公共點，
當k存在時，直線為：y＝k（x﹣4）+4，代入雙曲線的方程可得：
，
（1）若＝0，k時，y＝（x﹣4）+4與雙曲線的漸近線yx平行，
所以與雙曲線只有1個公共點，
（2）k時， ，
即k，此時直線y（x﹣4）+4與雙曲線相切，只有1個公共點．
綜上過點P（4，4）且與該雙曲線只有一個公共點的直線4條．
故選：D.
【變式1-3】（2022·高二課時練習）直線與雙曲線的交點情況是（ ）
A．恒有一個交點 B．存在m有兩個交點
C．至多有一個交點 D．存在m有三個交點
【解題思路】聯立方程組得，當時，無解；當時，有一解．
【解答過程】將代入得
當時，無解；
當時，，所以至多有一個交點．
故選：C.
【題型2 根據直線與雙曲線的位置關系求參數或范圍】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則實數的取值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【解題思路】聯立直線與雙曲線的方程組，通過消元，利用方程解的個數，求出的值即可
【解答過程】因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為；
由，消去整理得．
①當即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點，符合題意；
②當即時，由，解得，
此時直線雙曲線相切于一個公共點，符合題意，
綜上所述：符合題意的的所有取值為或，
故選：D.
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
【解題思路】已知直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，將直線與雙曲線兩個方程聯立，得到的一元二次方程有一正一負根，即可得出結論．
【解答過程】聯立，消y得，.
因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，
所以方程有一正一負根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D．
【變式2-2】（2023·河南·統考模擬預測）若直線l：與曲線C：有兩個公共點，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】依題意作出曲線C的圖象，作出直線的圖象，平行移動直線，即可得到當直線l介于與之間時，直線l與曲線C有兩個公共點，結合圖象，即可求出實數m的取值范圍．
【解答過程】當時，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；
當時，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，
作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動直線，可得直線l，
如圖可知，當直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點在第一象限）之間時，直線l與曲線C有兩個公共點．
設的方程為，，則有，
聯立，消去x并整理得，
由，解得或（舍），
故m的取值范圍為．
故選：B．
【變式2-3】（2023·高二課時練習）若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意設直線的方程，與雙曲線方程聯立消得關于的方程，根據條件得方程有兩個不同的正根，結合韋達定理列不等式組，從而可求出的取值范圍
【解答過程】由題意可得直線斜率存在，設直線的方程為，
設交點，
聯立可得，
由題意可得
解得：，
故選：D．
【知識點2 弦長與“中點弦問題”】
1．弦長問題
①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.
②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.
③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直
線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.
④雙曲線的通徑：
過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還
是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.
2．“中點弦問題”
“設而不求”法解決中點弦問題：
①過橢圓內一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.
②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將轉化為能用韋達定理直接代換的.垂直關系有時用向量的數量關系來刻畫，要注意轉化.
3．雙曲線的第二定義
平面內，當動點M到一個定點的距離和它到一條定直線(點不在直線上)的距離之比是常數e=(e>1)時，這個動點的軌跡就是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率.
【題型3 雙曲線的弦長問題】
【例3】（2022·全國·高二專題練習）過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【解題思路】解法一，設直線方程與曲線方程聯立，利用根與系數的關系表示中點坐標，求直線的斜率，并代入弦長公式求；解法二，利用點差法，求直線的斜率，再代入弦長公式.
【解答過程】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故選:D.
解法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直線AB的斜率k＝＝1.則直線AB的方程為y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故選：D.
【變式3-1】（2022·全國·高二假期作業）過雙曲線的一個焦點作直線交雙曲線于，兩點，若，則這樣的直線有（ ）
A．條 B．條 C．條 D．條
【解題思路】右焦點為，斜率不存在時直線的方程為，代入雙曲線方程可得弦長，
斜率不存在時設，設出直線的方程與雙曲線方程聯立，利用弦長公式求出求出得值即可得出正確答案.
【解答過程】雙曲線的右焦點為，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
代入雙曲線可得：，即，滿足條件；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為：
代入雙曲線可得：，
設，則：，，
，
所以
兩邊平方可得：，解得：，
所以斜率存在且滿足條件的直線有條，所以共有條，
故選：C.
【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點，則截得的弦長（ ）
A． B． C．10 D．
【解題思路】根據漸進線方程得出,再根據焦點得出,結合,可求出雙曲線的標準方程,然后根據點斜式得出直線方程,聯立方程組求出，,最后由弦長公式即可求出截得的弦長.
【解答過程】∵雙曲線：的一條漸近線方程是，
∴，即，∵左焦點，∴
∴，∴，，
∴雙曲線方程為，直線的方程為，
設，由，
消可得，∴，，
∴．
故選:C.
【變式3-3】（2022·浙江·校聯考模擬預測）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點，與H的漸近線交于C，D兩點．若，則（ ）
A．2 B． C． D．3
【解題思路】由已知條件可得漸近線方程為，雙曲線方程，設出直線方程代入雙曲線方程中消去，利用根與系數的關系結合弦長公式列方程可求出的值，從而可得漸近線方程與直線方程聯立可求出C，D兩點的坐標，從而可求出結果
【解答過程】設雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
因為雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，所以，所以漸近線方程為
所以雙曲線方程為，則右焦點，
所以直線方程為，
設，將代入化簡得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以雙曲線方程為，所以雙曲線的右焦點為，
直線方程為，
由，得，
由，得，
所以，
故選：C.
【題型4 雙曲線的“中點弦”問題】
【例4】（2023·高二課時練習）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.
【解答過程】設直線交雙曲線于點、，則，
由已知得，兩式作差得，
所以，，即直線的斜率為，
故直線的斜率為，即.經檢驗滿足題意
故選：B.
【變式4-1】（2023秋·河南平頂山·高二統考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】先利用題目條件求出雙曲線的標準方程，然后利用點差法即可求出直線的斜率.
【解答過程】因為雙曲線的標準方程為，
所以它的一個焦點為，一條漸近線方程為，
所以焦點到漸近線的距離，化簡得，解得，
所以雙曲線的標準方程為，
設，所以①，②，
①-②得，，
化簡得③，
因為線段的中點為，所以，
代入③，整理得，
顯然，所以直線的斜率.
故選：B.
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知點A，B在雙曲線上，線段AB的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先結合已知條件，利用點差法求出直線的斜率，進而得到直線的方程，然后聯立雙曲線方程，結合韋達定理和弦長公式求解即可.
【解答過程】不妨設，，
從而，，
由兩式相減可得，，
又因為線段AB的中點為，從而，，
故，即直線AB的斜率為，
直線AB的方程為：，即，
將代入可得，，
從而，，
故.
故選：C.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線，過點的直線與該雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．該直線不存在
【解題思路】設，代入雙曲線方程作差可得，若是線段的中點，則，則可得直線方程，檢驗直線方程與雙曲線方程交點是否存在，即可確定直線的方程.
【解答過程】解：設，且，代入雙曲線方程得，兩式相減得：
若是線段的中點，則，所以，即直線的斜率為，
所以直線方程為：，即；
但聯立，得，則，方程無解，所以直線不存在.
故選：D.
【題型5 雙曲線中的面積問題】
【例5】（2023秋·全國·高二期中）設，為雙曲線上的兩點，中點為，求
(1)直線的方程；
(2)的面積為坐標原點）．
【解題思路】（1）設點代入方程，相減結合中點坐標公式得到直線斜率，得到直線方程.
（2）聯立方程解得交點坐標，計算點到直線的距離和弦長，得到面積.
【解答過程】(1)
設，，，，則，兩式相減可得，
，
中點為，，，
，，
直線方程為，即
(2)
可知直線的方程為，代入，整理得，
解得，，，，
，
點到直線的距離，．
【變式5-1】（2023·河南·襄城高中校聯考三模）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．
(1)求E的方程；
(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．
【解題思路】（1）根據題意得到，結合，求得的值即可；
（2）設直線，，求得，聯立方程組，利用弦長公式，求得，，得到，令，結合二次函數的性質，即可求解.
【解答過程】（1）由題意，得的漸近線方程為，
因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，
又因為，所以，則，
故的方程為．
（2）根據題意，直線，的斜率都存在且不為0，
設直線，，其中，
因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，
將的方程與聯立，可得，
設，則，，
所以
，
用替換，可得，
所以．
令，所以，
則，
當，即時，等號成立，
故四邊形面積的最小值為．
【變式5-2】（2023·湖南邵陽·邵陽市校考模擬預測）已知雙曲線的離心率為2，右焦點與拋物線的焦點重合，雙曲線的左、右頂點分別為，，點為第二象限內的動點，過點作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；
(2)直線是否過定點？若過定點請求出定點坐標，若不過定點請說明理由.
(3)設和的面積分別為和，求的取值范圍.
參考結論：點為雙曲線上一點，則過點的雙曲線的切線方程為.
【解題思路】（1）由條件確定雙曲線的焦點位置，設其方程，再列出關于的方程，解方程可得雙曲線方程，
（2）設，由條件，的斜率之比為可得，設，，，結合所給結論求切線，方程，由此可得直線的方程，由此判斷結論；
（3）先證明，設，結合設而不求法表示，再通過換元，利用函數的單調性求其取值范圍.
【解答過程】（1）由已知雙曲線為焦點在軸上，中心為原點的雙曲線，
設其方程為 ，
因為雙曲線的離心率為2，
所以，，
又雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的焦點坐標為，
所以，所以，
雙曲線的標準方程為；
（2）知，，設，
所以，，
因為，的斜率之比為，即，
解得，所以點在直線上，
設，，，
則切線方程為：，
則切線方程為：，
因為點既在直線上又在直線上，
即：，，
所以直線的方程為：，化簡可得，
所以直線過定點；

（3）由（2）得直線過定點，所以，，，
所以，點到直線的距離為點到直線的距離的3倍，所以，，
因為，所以，，
若直線的斜率為，則直線與雙曲線的左支的交點為與已知矛盾，
若直線的斜率不存在，則直線的方程為，
直線與雙曲線的交點坐標為，
故切線的方程為，切線的方程為，
此時點的坐標為，與點在第二象限矛盾，
設 ，
將代入雙曲線中得
，由已知，
方程的判別式，
所以，，，
由已知，
所以，，
所以，，
化簡可得，又，
所以或，
所以的取值范圍為
所以
令，則，
所以
函數在上單調遞增，
所以，
所以，的取值范圍為.
【變式5-3】（2023春·浙江衢州·高二統考期末）已知雙曲線，過點作直線交雙曲線的兩支分別于，兩點，
(1)若點恰為的中點，求直線的斜率；
(2)記雙曲線的右焦點為，直線，分別交雙曲線于，兩點，求的取值范圍.
【解題思路】（1）根據題意，設，，再由點差法即可得到結果；
（2）根據題意，設，，，然后聯立直線與雙曲線方程，結合韋達定理，代入計算，即可得到結果.
【解答過程】（1）由題意可得，設，，
由，得，即，即
其中，，
所以，又，故；
（2）
設，，，
由
得，又，故，
從而，同理有，
另一方面，，
設，由得
，
故，代入上式有
，
由直線交雙曲線于兩支可知，令，
故，當且僅當時，即時，取等號，
即.
【題型6 雙曲線中的定點、定值、定直線問題】
【例6】（2023·河北張家口·統考三模）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
【解題思路】（1）由點到直線的距離公式求出，再將點代入雙曲線方程求出，可得雙曲線的標準方程；
（2）聯立直線與雙曲線方程，利用韋達定理得、，再根據斜率和為列式，推出，從而可得直線過定點.
【解答過程】（1）設 到漸近線，即的距離為，
則，結合得，
又在雙曲線上，所以，得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）聯立，消去并整理得，
則，，即，
設，，
則，，
則
，
所以 ，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因為直線不過，即，，
所以，即，
所以直線，即過定點.
【變式6-1】（2023·廣東茂名·茂名市校考三模）已知雙曲線的離心率為2.
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
【解題思路】（1）根據題意可得，即可得出答案；
（2）設直線的方程，直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯立直線與雙曲線的方程，設，結合韋達定理可得，寫出直線的方程，令，解得,即可得出答案．
【解答過程】（1）由雙曲線的離心率為2，
所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為.
（2）由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程，
因為直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，
則，
聯立，得，
設，
則，直線的方程，
令，得
，
所以直線過定點.
【變式6-2】（2023春·湖北荊門·高二統考期末）已知雙曲線：的實軸長為2，兩漸近線的夾角為．
(1)求雙曲線的方程：
(2)當時，記雙曲線的左、右頂點分別為，，動直線：與雙曲線的右支交于，兩點（異于），直線，相交于點，證明：點在定直線上，并求出定直線方程．
【解題思路】（1）根據實軸長度確定a的取值，再根據漸近線夾角確定漸近線斜率，從而確定b的取值，寫出解析式；
（2）首先聯立直線與雙曲線方程，根據韋達定理確定，兩點坐標關系，聯立方程，再利用點斜式表示出直線，的方程，代入列出等式，代入韋達定理求解出即可,
【解答過程】（1）由題知，得，
或，得或，
所以雙曲線的方程為：或：．
（2）由（1）知，當時，：，
設，，
聯立直線與雙曲線得：，
，方程的兩根為，，則，．
，，則：，：，
因為直線，相交于點，
故，，
消去，整理得：，
，
因此，
故點在定直線上．
【變式6-3】（2023春·重慶渝中·高二校考期末）已知雙曲線C： 的漸近線方程為，其左右焦點為，，點D為雙曲線上一點，且的重心G點坐標為.
(1)求該雙曲線的標準方程；
(2)過x軸上一動點作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點，A點關于x軸的對稱點為（與B不重合），連接并延長交x軸于點Q，問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.
【解題思路】（1）根據雙曲線方程設，，根據重心坐標公式求出，代入原方程即可得到的值，則得到雙曲線方程；
（2）設的方程為，，將其與雙曲線方程聯立得到韋達定理式，寫出直線的方程，令，解出，將韋達定理式代入整理得，則得到定值.
【解答過程】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，
故可設雙曲線的方程為，
設，因為的重心點的坐標為，
所以，解得，所以，則代入得，
所以雙曲線的標準方程為
（2）由題意知直線的斜率必存在，設的方程為，
，則，聯立，
化簡得，
則，且，
由韋達定理得
，，
則直線的方程為：，
令，則
，故.
【知識點3 雙曲線中的最值問題】
1．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型7 雙曲線中的最值問題】
【例7】（2023·山東淄博·統考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為4，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點，且∠RAS＝60°.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點M，Q是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點N，求的最大值.
【解題思路】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，則利用點A到漸近線的距離為列方程組求解；
（2）方法①設點，寫出直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理把，表示為點的縱坐標的函數進行求解；方法②設直線的斜率為k，利用角平分線的向量表示，韋達定理，弦長公式，參數間的轉化，最終把表示為關于k的函數進行求解.
【解答過程】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，
所以點A到漸近線的距離為
所以，解得，
所以雙曲線標準方程是：
（2）方法①：由雙曲線的光學性質，可知點Q處的切線即為的角平分線.
設點，，則
設直線的方程是：，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即直線：，
即：
由點到直線的距離公式得：
直線方程：，即：
由，得：
所以，由都在雙曲線右支上，得：
所以
所以
所以，令，則
當，即時，的最大值為.
方法②：如圖，由題意知點Q在雙曲線左支上，設，則.
易知直線的斜率存在，設直線的斜率為k，
記，又為的平分線，則.
因為，，所以，
同理，又，
代入，得，
化簡得.又，，所以，
由，，得，，
所以，.
所以直線的方程為，，
由點到直線的距離公式得：，
又直線MN的斜率為，且過點M，所以直線的方程為：
，
將其與聯立得.
設，則，.
易知點N在第四象限，所以，得：，
.
故，
當且僅當，即時，等號成立，
所以當且僅當時， 的最大值為.
【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線，（，）的實軸長為2，且過點，其中為雙曲線的離心率．
(1)求的標準方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于點，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，（為坐標原點）的斜率分別為，，求的最小值．
【解題思路】（1）根據題意列式求解即可；
（2）設直線的方程及交點坐標，利用韋達定理求的坐標，進而可得，結合基本不等式分析運算即可.
【解答過程】（1）因為雙曲線的實軸長為2，則，
由雙曲線過點，且，則，
即，解得，
故雙曲線的標準方程為．
（2）設直線，，，
由題意可知，
聯立方程，整理得，
由題意可得，解得或，
則，．
可得，，
則，所以．
因為，則，整理得，
則，
即，則．
所以，即．
∴，當且僅當，即或時，等號成立，
此時或，均滿足與的左、右兩支分別相交．
∴的最小值為6．
【變式7-2】（2023·河南·鄭州一中校聯考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E：的右焦點為F，離心率為2，且過點．
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)設過原點O的直線在第一、三象限內分別交雙曲線E于A，C兩點，過原點O的直線在第二、四象限內分別交雙曲線E于B，D兩點，若直線AD過雙曲線的右焦點F，求四邊形ABCD面積的最小值．
【解題思路】（1）利用雙曲線的標準方程與性質即可求解.
（2）通過直線與雙曲線的位置關系，利用韋達定理，代入，求解雙曲線中的最值問題．
【解答過程】（1）由雙曲線E的離心率為2，得 ①．
因為雙曲線E過點，所以 ②．
又③，
聯立①②③式，解得，．
故雙曲線E的標準方程為．
（2）由雙曲線的對稱性，知四邊形ABCD為平行四邊形，所以．
由題意知直線AD的斜率不為零，設AD的方程為．
聯立消去x，得．
，設，，則，．
因為A，D均在雙曲線右支，所以
所以解得．
所以，
．
令，則．
所以．
令函數，易得在區間上單調遞減，
所以當時，．
所以四邊形ABCD面積的最小值為24．
【變式7-3】（2023秋·浙江嘉興·高三統考期末）已知雙曲線過點，左 右頂點分別是，右焦點到漸近線的距離為，動直線與以為直徑的圓相切，且與的左 右兩支分別交于兩點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記直線的斜率分別為，求的最小值.
【解題思路】（1）由點在雙曲線上，以及焦點到漸近線的距離得出雙曲線C的方程；
（2）由直線與圓的位置關系得出，聯立直線和雙曲線方程，由韋達定理、斜率公式得出，結合得出的最小值.
【解答過程】（1）因為點在雙曲線上，故，即，
而雙曲線的漸近線方程為，到一條漸近線的距離為，
所以，解得，又，
所以，故所求雙曲線的方程為；
（2）因為雙曲線的方程為，
所以，故以為直徑的圓為
，而直線是其切線，所以應滿足，得，
而坐標滿足，消去得，
求得，而，故，由此可得（*），
由于分別在的左 右兩支，故，因此，
所以，將代入整理得，
又，故，顯然，
由題意得，故，
所以，
將及代入，求得，而，
故，
又，故，
即.

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