資源簡介

專題3.6 拋物線的標準方程和性質【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 動點的軌跡問題】 2
【題型2 利用拋物線的定義解題】 2
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】 3
【題型4 求拋物線的標準方程】 3
【題型5 根據拋物線的方程求參數】 4
【題型6 拋物線的對稱性的應用】 5
【題型7 與拋物線有關的最值問題】 6
【題型8 與拋物線有關的實際應用問題】 6
【知識點1 拋物線的標準方程】
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(2)集合語言表示
設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標準方程
拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
【題型1 動點的軌跡問題】
【例1】（2023春·陜西安康·高二校聯考期末）動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡是（ ）.
A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線
【變式1-1】（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）動點滿足方程，則點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓 外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 利用拋物線的定義解題】
【例2】（2023春·四川資陽·高二統考期末）拋物線：過點，則的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．1
【變式2-1】（2023春·江蘇鹽城·高二統考期末）若拋物線上的一點到坐標原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【變式2-2】（2023春·陜西榆林·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若到直線的距離為7，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式2-3】（2023春·河南信陽·高二統考期末）已知拋物線的焦點為F，C的準線與對稱軸交于D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且，若FB為的平分線，則等于（ ）
A． B．8 C．10 D．
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】
【例3】（2023春·陜西西安·高一校考期末）已知為拋物線上一點，則的焦點坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023春·江西南昌·高二校聯考階段練習）拋物線的焦點到其準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·北京西城·統考二模）已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則的準線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2023·甘肅蘭州·統考模擬預測）已知點在圓上，其橫坐標為，拋物線經過點，則拋物線的準線方程是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 求拋物線的標準方程】
【例4】（2023·全國·高二專題練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考開學考試）已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·北京·北京四中校考模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點．若，且的面積為，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 根據拋物線的方程求參數】
【例5】（2023秋·高二單元測試）拋物線的準線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·陜西渭南·統考二模）將拋物線繞其頂點順時針旋轉之后，正好與拋物線重合，則（ ）
A． B． C．-2 D．2
【變式5-2】（2023春·北京·高三校考階段練習）為拋物線上一點，點到拋物線準線和對稱軸的距離分別為10和6，則（ ）
A．2 B．4 C．或 D．或
【變式5-3】（2022·江西·校聯考二模）已知拋物線C：的焦點為F，點M在C上，O為坐標原點，若，，則p＝（ ）
A．2 B．4
C．2或 D．2或
【知識點2 拋物線的簡單幾何性質】
1．拋物線的幾何性質
拋物線的簡單幾何性質：
標準
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
頂點 (0,0) (0,0)
軸 對稱軸y=0 對稱軸x=0
焦點
準線
離心率 e =1 e=1
開口 開口向右 開口向左 開口向上 開口向下
焦半徑
范圍 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
2．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：
①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是01，拋物線的離心率是
e=1；
⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；
⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.
3．與拋物線有關的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：由條件建立目標函數，然后利用函數求最值的方法進行求解，如利用二次函數在閉區間上最值的求法，利用函數的單調性等，亦可用均值不等式求解.
【題型6 拋物線的對稱性的應用】
【例6】（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點，，則，則（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式6-1】（2022·全國·高一專題練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點與原點之間的距離為2的拋物線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式6-2】（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上的兩個點，O為坐標原點，若且的垂心恰是拋物線的焦點，則直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2020·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為 ，準線為，點在拋物線上，且點到準線的距離為6，的垂直平分線與準線交于點，點為坐標原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 與拋物線有關的最值問題】
【例7】（2023春·河南開封·高三統考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【變式7-1】（2023春·四川瀘州·高二統考期末）已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【變式7-2】（2023春·云南曲靖·高二統考期末）已知拋物線的焦點到其準線的距離為是拋物線上一點，若，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【變式7-3】（2023·河北滄州·統考三模）設P為拋物線C：上的動點，關于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【題型8 與拋物線有關的實際應用問題】
【例8】（2023春·上海靜安·高二校考期中）如圖1，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點處，該容器由6根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐（圖中F點為放置容器處，其余6個焊點在鏡口圓上）．已知鏡口圓的直徑為，鏡深．
(1)建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程及焦點的坐標；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作點，試求支撐容器的架子所用鐵筋的總長度（單位）．
【變式8-1】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.如圖，航天器按順時針方向運行的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點的拋物線的一部分（從點到點）.已知觀測點A的坐標，當航天器與點A距離為4時，指揮中心向航天器發出變軌指令.
(1)求航天器變軌時點的坐標；
(2)求航天器降落點與觀測點A之間的距離.
【變式8-2】（2023秋·河南周口·高二統考期末）河道上有一拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面 8m，拱圈內水面寬 24m，一條船在水面以上部分高 6.5m，船頂部寬6m．
（1）試建立適當的直角坐標系，求拱橋所在的拋物線的標準方程；
（2）近日水位暴漲了1.54m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞，試問：船身至少應該降低多少 （精確到0.1m）
【變式8-3】（2023春·上海浦東新·高二校考期中）如圖，彎曲的河流是近似的拋物線C，公路l恰好是C的準線，C上的點O到l的距離最近，且為0.4km，城鎮P位于點O的北偏東30°處，，現要在河岸邊的某處修建一座碼頭，并修建兩條公路，一條連接城鎮，一條垂直連接公路l，以便建立水陸交通網．
(1)建立適當的坐標系，求拋物線C的方程；
(2)為了降低修路成本，必須使修建的兩條公路總長最小，請給出修建方案（作出圖形，在圖中標出此時碼頭Q的位置），并求公路總長的最小值（結果精確到0.001km）．
專題3.6 拋物線的標準方程和性質【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 動點的軌跡問題】 2
【題型2 利用拋物線的定義解題】 3
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】 5
【題型4 求拋物線的標準方程】 6
【題型5 根據拋物線的方程求參數】 8
【題型6 拋物線的對稱性的應用】 11
【題型7 與拋物線有關的最值問題】 13
【題型8 與拋物線有關的實際應用問題】 16
【知識點1 拋物線的標準方程】
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(2)集合語言表示
設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標準方程
拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
【題型1 動點的軌跡問題】
【例1】（2023春·陜西安康·高二校聯考期末）動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡是（ ）.
A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線
【解題思路】根據拋物線的定義即可判斷.
【解答過程】解：∵動點到點的距離比它到直線的距離大1，
∴動點到點的距離等于它到直線的距離，
∴由拋物線的定義知：該動點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線.
故選：D.
【變式1-1】（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）動點滿足方程，則點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【解題思路】根據軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.
【解答過程】由得，
等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.
故選：D.
【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點、準線得到方程即可.
【解答過程】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓 外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．
【解答過程】設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,
由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，
所以，其方程為，
故選：A.
【題型2 利用拋物線的定義解題】
【例2】（2023春·四川資陽·高二統考期末）拋物線：過點，則的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．1
【解題思路】根據條件求出的值，從而得出拋物線的方程，進而可求出結果.
【解答過程】因為拋物線：過點，所以，故拋物線：，
所以的焦點到準線的距離為.
故選：B.
【變式2-1】（2023春·江蘇鹽城·高二統考期末）若拋物線上的一點到坐標原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【解題思路】求得點的坐標，將點到該拋物線焦點的距離轉化為點到拋物線的準線的距離即可．
【解答過程】設點，，
，
或（舍去），
，
到拋物線的準線的距離，
點到該拋物線焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離，
點到該拋物線焦點的距離為．
故選：C.
【變式2-2】（2023春·陜西榆林·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若到直線的距離為7，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】根據題意轉化為點到準線的距離為，結合拋物線的定義，即可求解.
【解答過程】由拋物線的焦點為，準線方程為，如圖，
因為點在上，且到直線的距離為，
可得到直線的距離為，即點到準線的距離為，
根據拋物線的定義，可得點到焦點的距離等于點到準線的距離，
所以.
故選：B.
【變式2-3】（2023春·河南信陽·高二統考期末）已知拋物線的焦點為F，C的準線與對稱軸交于D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且，若FB為的平分線，則等于（ ）
A． B．8 C．10 D．
【解題思路】由題意可得，，從而可求．過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為，，則．根據拋物線的定義，結合角平分線的性質及相似三角形的性質即可求解.
【解答過程】，，所以．
過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為，，則．
因為FB為的平分線．則，又，∴，又，∴．
∴．
故選：D．
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】
【例3】（2023春·陜西西安·高一校考期末）已知為拋物線上一點，則的焦點坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，進而可求得拋物線的焦點坐標.
【解答過程】將點的坐標代入拋物線的方程可得，解得，
所以，拋物線的方程為，其焦點坐標為.
故選：D.
【變式3-1】（2023春·江西南昌·高二校聯考階段練習）拋物線的焦點到其準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據拋物線的標準方程和幾何性質，即可求解.
【解答過程】由拋物線，可得，所以，
所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為
所以該拋物線的焦點到其準線的距離為.
故選：C.
【變式3-2】（2023·北京西城·統考二模）已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則的準線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據兩個拋物線的對稱性，即可求拋物線的準線方程.
【解答過程】拋物線的準線方程為，因為拋物線與拋物線關于軸對稱，所以兩個拋物線的準線也關于軸對稱，所以的準線方程是.
故選：D.
【變式3-3】（2023·甘肅蘭州·統考模擬預測）已知點在圓上，其橫坐標為，拋物線經過點，則拋物線的準線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結合圓的方程可求得點坐標，代入拋物線方程可確定的值，進而確定準線方程.
【解答過程】將代入圓方程得：，解得：，或，
在拋物線上，或，
解得：（舍）或，拋物線方程為，
拋物線的準線方程為：.
故選：D.
【題型4 求拋物線的標準方程】
【例4】（2023·全國·高二專題練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【解題思路】根據拋物線的概念以及幾何性質即可求拋物線的標準方程.
【解答過程】依題意設拋物線方程為．
因為焦點到準線的距離為4，
所以，所以，
所以拋物線方程為或．
故選：C．
【變式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考開學考試）已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由拋物線知識得出準線方程，再由點到焦點的距離等于其到準線的距離求出，從而得出方程.
【解答過程】由題意知，則準線為，
點到焦點的距離等于其到準線的距離，
即，∴，則
故選：B.
【變式4-2】（2023·北京·北京四中校考模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．
【解答過程】如圖，連接，設準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：
又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，
所以，
所以在中，，則，所以拋物線的方程為.
故選：C.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點．若，且的面積為，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用圓和拋物線的定義得到是等邊三角形，再面積得到的長度，進而建立關于的等式即可求解.
【解答過程】解：∵以為圓心，為半徑的圓交于，兩點，，結合拋物線的定義可得：
是等邊三角形，
．
的面積為：，
．
又點到準線的距離為，則該拋物線的方程為．
故選：B．
【題型5 根據拋物線的方程求參數】
【例5】（2023秋·高二單元測試）拋物線的準線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將拋物線方程標準化后寫出拋物線準線方程即可求得結果.
【解答過程】拋物線化為標準方程，
所以準線方程是，
所以，
解得.
故選：B.
【變式5-1】（2023·陜西渭南·統考二模）將拋物線繞其頂點順時針旋轉之后，正好與拋物線重合，則（ ）
A． B． C．-2 D．2
【解題思路】根據拋物線旋轉規律可得，其焦點坐標從軸負半軸旋轉到軸正半軸，即可得.
【解答過程】根據題意可得拋物線的焦點坐標為，
拋物線的標準方程為，可得其焦點坐標為，
易知繞原點順時針旋轉之后得到，即可得，
解得.
故選：A.
【變式5-2】（2023春·北京·高三校考階段練習）為拋物線上一點，點到拋物線準線和對稱軸的距離分別為10和6，則（ ）
A．2 B．4 C．或 D．或
【解題思路】由拋物線可得準線的方程為：，設點，再由點到拋物線準線和對稱軸的距離分別為10和6，可得，，再與拋物線方程，聯立解方程組，即可求解.
【解答過程】解：由題意可得：拋物線的準線的方程為：
設點，又因點到拋物線準線和對稱軸的距離分別為10和6，
所以有，解得或，
即的值分別為或.
故選：D.
【變式5-3】（2022·江西·校聯考二模）已知拋物線C：的焦點為F，點M在C上，O為坐標原點，若，，則p＝（ ）
A．2 B．4
C．2或 D．2或
【解題思路】由拋物線的定義設點坐標，由題意列方程求解
【解答過程】依題意，設，則，
，解得或，
故選：D.
【知識點2 拋物線的簡單幾何性質】
1．拋物線的幾何性質
拋物線的簡單幾何性質：
標準
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
頂點 (0,0) (0,0)
軸 對稱軸y=0 對稱軸x=0
焦點
準線
離心率 e =1 e=1
開口 開口向右 開口向左 開口向上 開口向下
焦半徑
范圍 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
2．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：
①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是01，拋物線的離心率是
e=1；
⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；
⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.
3．與拋物線有關的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：由條件建立目標函數，然后利用函數求最值的方法進行求解，如利用二次函數在閉區間上最值的求法，利用函數的單調性等，亦可用均值不等式求解.
【題型6 拋物線的對稱性的應用】
【例6】（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點，，則，則（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解題思路】由題知為等腰直角三角形，進而得，再代入方程求解即可.
【解答過程】解：∵，∴，∴，
∵，且軸，
∴由拋物線的對稱性為等腰直角三角形，
設與軸的交點為，
∴，即，
∴將代入得，解得．
故選：D．
【變式6-1】（2022·全國·高一專題練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點與原點之間的距離為2的拋物線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】根據拋物線的概念以及幾何性質即可求拋物線的標準方程.
【解答過程】依題意設拋物線方程為．因為焦點與原點之間的距離為2，所以，所以，所以拋物線方程為或．
故選：C．
【變式6-2】（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上的兩個點，O為坐標原點，若且的垂心恰是拋物線的焦點，則直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，結合拋物線的對稱性，得到關于軸對稱，設直線的方程為，由的垂心恰好是拋物線的焦點，得到，根據，列出方程，即可求解.
【解答過程】由點是拋物線上的兩點，且，
根據拋物線的對稱性，可得關于軸對稱，
設直線的方程為，則，
因為的垂心恰好是拋物線的焦點，
所以，可得，即，
解得，即直線的方程為.
故選：C.
【變式6-3】（2020·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為 ，準線為，點在拋物線上，且點到準線的距離為6，的垂直平分線與準線交于點，點為坐標原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】解法一：先根據焦半徑公式求出的坐標，再求出的垂直平分線的方程，從而可求的坐標，故可求的面積.
解法二：先根據焦半徑公式求出的坐標，過點作的垂線，垂足為，利用拋物線的定義可得重合，從而可求的面積.
【解答過程】解法一：拋物線：的焦點為，準線為：，
設，由點到準線的距離為6，得，得，
代入拋物線的方程得，所以．
由拋物線的對稱性，不妨設，則直線的斜率為，
又的中點坐標為，故的垂直平分線的方程為，
令，得，即．
所以的面積為．
故選：B.
解法二：拋物線：的焦點為，準線為：，
設，由到準線的距離為6，得，得，
代入拋物線的方程得，所以．
由拋物線的對稱性，不妨設，則直線的斜率為，
所以．過點作的垂線，垂足為，則，連接，
則，而，所以是等邊三角形，于是邊的垂直平分線過點，即點與點重合，所以的面積為．
故選：B.
【題型7 與拋物線有關的最值問題】
【例7】（2023春·河南開封·高三統考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【解題思路】先利用配方法求得到圓心的最小距離，從而求得到的最小距離.
【解答過程】由題意知，，設，則，
所以，

故當時，，
所以.
故選：B.
【變式7-1】（2023春·四川瀘州·高二統考期末）已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【解題思路】由拋物線的定義結合三點共線取得最小值.
【解答過程】，故,
記拋物線的準線為，則：，
記點到的距離為，點到的距離為，
則.
故選：A.
【變式7-2】（2023春·云南曲靖·高二統考期末）已知拋物線的焦點到其準線的距離為是拋物線上一點，若，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【解題思路】由拋物線的焦點坐標求得，設在準線上的射影為，利用拋物線的定義進行轉化后易得最小值．
【解答過程】由焦點到其準線的距離為得；
設在準線上的射影為如圖,
則 ，
當且僅當共線時取得等號．所以所求最小值是4．
故選：D．
【變式7-3】（2023·河北滄州·統考三模）設P為拋物線C：上的動點，關于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意得到，再利用拋物線的定義結合三角不等式求解.
【解答過程】解：如圖，

因為，且關于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，
所以
.
當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.
故選：A.
【題型8 與拋物線有關的實際應用問題】
【例8】（2023春·上海靜安·高二校考期中）如圖1，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點處，該容器由6根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐（圖中F點為放置容器處，其余6個焊點在鏡口圓上）．已知鏡口圓的直徑為，鏡深．
(1)建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程及焦點的坐標；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作點，試求支撐容器的架子所用鐵筋的總長度（單位）．
【解題思路】（1）先建立直角坐標系，得到A點坐標，然后設出拋物線方程進而求得的值，從而可以確定拋物線的方程和焦點的位置.
（2）根據盛水或食物的容器在焦點處，結合兩點間距離公式可得每根鐵筋的長度.
【解答過程】（1）如圖，
在反光鏡的軸截面內建立直角坐標系，
使反光鏡的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，x軸垂直于鏡口直徑．由已知，得A點坐標是，
設拋物線方程為，則，解得，
則拋物線的標準方程是，
焦點坐標是.
（2）因為盛水的容器在焦點處，所以A、F兩點間的距離即為每根鐵筋長，
所以每根鐵筋長為，
所以架子所用鋼筋總長度為.
【變式8-1】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.如圖，航天器按順時針方向運行的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點的拋物線的一部分（從點到點）.已知觀測點A的坐標，當航天器與點A距離為4時，指揮中心向航天器發出變軌指令.
(1)求航天器變軌時點的坐標；
(2)求航天器降落點與觀測點A之間的距離.
【解題思路】（1）設出點，利用的距離和橢圓方程可求出點的坐標；
（2）根據拋物線經過的點求出方程，解出降落點的坐標，可得答案.
【解答過程】（1）設，由題意，，即，
又，聯立解得或（舍），當時， ，
故的坐標為.
（2）由題意設拋物線的方程為，
因為拋物線經過點，，
所以，，解得，即；
令可得或（舍），即；
所以，
所以航天器降落點與觀測點A之間的距離為3.
【變式8-2】（2023秋·河南周口·高二統考期末）河道上有一拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面 8m，拱圈內水面寬 24m，一條船在水面以上部分高 6.5m，船頂部寬6m．
（1）試建立適當的直角坐標系，求拱橋所在的拋物線的標準方程；
（2）近日水位暴漲了1.54m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞，試問：船身至少應該降低多少 （精確到0.1m）
【解題思路】（1）根據圖形建立直角坐標系，設出拱橋所在的拋物線方程，設拱橋與水面兩交點分別為，，由坐標系可知A,B兩點的坐標，將其中一個代入拋物線方程，即可得；（2）根據船頂寬6m，可知船頂距離拱橋最高點的極限高度h，再由，可知船身應降低高度。
【解答過程】解：（1）設拋物線型拱橋與水面兩交點分別為，，以垂直平分線為軸，拱圈最高點為坐標原點，建立平面直角坐標系，
則，，
設拱橋所在的拋物線方程為，
因點在拋物線上，代入解得，
故拱橋所在的拋物線方程是．
（2）因，故當時，，
故當水位暴漲1.54m后，船身至少應降低，
因精確到0.1m，故船身應降低0.6m．
答：船身應降低0.6m，才能安全通過橋洞．
【變式8-3】（2023春·上海浦東新·高二校考期中）如圖，彎曲的河流是近似的拋物線C，公路l恰好是C的準線，C上的點O到l的距離最近，且為0.4km，城鎮P位于點O的北偏東30°處，，現要在河岸邊的某處修建一座碼頭，并修建兩條公路，一條連接城鎮，一條垂直連接公路l，以便建立水陸交通網．
(1)建立適當的坐標系，求拋物線C的方程；
(2)為了降低修路成本，必須使修建的兩條公路總長最小，請給出修建方案（作出圖形，在圖中標出此時碼頭Q的位置），并求公路總長的最小值（結果精確到0.001km）．
【解題思路】（1）由拋物線的定義，O為坐標原點可建立平面坐標系，即可求拋物線C的方程；
（2）由拋物線的定義，公路總長，即可求公路總長最小值.
【解答過程】（1）如圖，建立平面直角坐標系，由題意得，，則拋物線．
（2）如圖，設拋物線C的焦點為F，則，
∵城鎮P位于點O的北偏東30°處，，∴，
根據拋物線的定義知，公路總長．
當與Q重合時（Q為線段PF與拋物線C的交點），公路總長最小，最小值為．

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