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專題3.7 直線與拋物線的位置關系【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 判斷直線與拋物線的位置關系】 1
【題型2 根據直線與拋物線的位置關系求參數或范圍】 2
【題型3 拋物線的弦長問題】 3
【題型4 拋物線的焦點弦問題】 3
【題型5 拋物線中的切線問題】 4
【題型6 拋物線中的面積問題】 5
【題型7 拋物線中的定點、定值、定直線問題】 6
【題型8 拋物線中的最值問題】 8
【知識點1 直線與拋物線的位置關系】
1．直線與拋物線的位置關系
(1)直線與拋物線的三種位置關系：
(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立，整理成關于x的方程
.
①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當<0時，直線與拋物線相離，無交點.
②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
【題型1 判斷直線與拋物線的位置關系】
【例1】（2023·全國·高三專題練習）直線與拋物線的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【變式1-1】（2022·高二課時練習）“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2023春·上海虹口·高二校考期中）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【題型2 根據直線與拋物線的位置關系求參數或范圍】
【例2】（2022·高二課時練習）若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個公共點，則實數k的值為（ ）
A． B．0
C．或0 D．8或0
【變式2-1】（2023·高二課時練習）直線與拋物線有且只有一個公共點，則，滿足的條件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
【變式2-2】（2022秋·高二課時練習）已知拋物線C的方程為，過點和點的直線l與拋物線C沒有公共點，則實數t的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·山東·統考二模）已知拋物線，若過點作直線與拋物線交，兩個不同點，且直線的斜率為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 拋物線的弦長與焦點弦問題】
1．弦長問題
設直線與拋物線交于A,B兩點，則
|AB|==或
|AB|== (k為直線的斜率，k≠0).
2．拋物線的焦點弦問題
拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).
設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：
標準方程 弦長公式
y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2)
【題型3 拋物線的弦長問題】
【例3】（2023·河南安陽·統考三模）已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于、兩點，且點到的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）設經過點的直線與拋物線相交于兩點，若線段中點的橫坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023秋·貴州銅仁·高二統考期末）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市校考模擬預測）過拋物線：焦點的直線與交于，兩點，過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則（ ）
A． B． C．18 D．20
【題型4 拋物線的焦點弦問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（ ）
A．32 B． C． D．8
【變式4-1】（2023秋·高二單元測試）過拋物線焦點的直線與拋物線交于點，若，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點為，過過直線交拋物線于兩點，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）
A．16 B． C．8 D．
【變式4-3】（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知拋物線的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【知識點3 拋物線的切線】
1．拋物線的切線
過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.
拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).
【題型5 拋物線中的切線問題】
【例5】（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知點在拋物線的準線上，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點，直線與交于，兩點，
(1)當的縱坐標為4時，求拋物線在點處的切線方程；
(2)四邊形面積的最小值.
【變式5-2】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過直線上的點作拋物線的兩條切線，設切點分別為，，求點到直線的距離的最大值.
【變式5-3】（2023春·云南曲靖·高一校考期末）已知、是拋物線上的兩點，是線段的中點，過點和分別作的切線、，交于點
(1)證明：軸：
(2)若點的坐標為，求的面積.
注：拋物線在點處的切線方程為.
【題型6 拋物線中的面積問題】
【例6】（2023秋·湖北荊州·高二校考期末）已知拋物線，
(1)經過點作直線，若與拋物線有且僅有一個公共點，求的方程；
(2)設拋物線的準線與軸的交點為，直線過點 ，且與拋物線交于兩點，的中點為，若，求的面積．
【變式6-1】（2023春·貴州黔南·高二統考期末）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求的值；
(2)設為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，求面積的最小值．
【變式6-2】（2023春·河南南陽·高二統考期末）已知拋物線：的焦點為，過軸正半軸上一點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，且.
(1)求點的坐標；
(2)設點關于直線的對稱點為，求四邊形面積的最小值.
【變式6-3】（2023春·江西上饒·高二校聯考階段練習）已知坐標原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．
【題型7 拋物線中的定點、定值、定直線問題】
【例7】（2023春·江西贛州·高二校考期末）在平面直角坐標系中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點.
(1)求的方程；
(2)若關于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.
【變式7-1】（2023·湖北襄陽·校考模擬預測）過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
【變式7-2】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，
(1)求的值.
(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
【變式7-3】（2023春·廣東廣州·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且滿足，其中為坐標原點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)直線與拋物線相交于、兩點，以為直徑的圓過點，作，為垂足．是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【題型8 拋物線中的最值問題】
【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設弦，的中點分別為P，Q，求的最小值．
【變式8-1】（2023春·山西太原·高三校考階段練習）已知拋物線的焦點為，直線分別與軸交于點，與拋物線交于點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)如圖，設點都在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.
【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：，F為拋物線C的焦點，是拋物線C上點，且；
(1)求拋物線C的方程；
(2)過平面上一動點作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點），求的最大值.
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，過拋物線的焦點作互相垂直的直線，，交拋物線于，兩點（在軸上方），交拋物線于，兩點，交其準線于點．
（1）求四邊形的面積的最小值；
（2）若直線與軸的交點為，求面積的最小值．
專題3.7 直線與拋物線的位置關系【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 判斷直線與拋物線的位置關系】 1
【題型2 根據直線與拋物線的位置關系求參數或范圍】 3
【題型3 拋物線的弦長問題】 5
【題型4 拋物線的焦點弦問題】 7
【題型5 拋物線中的切線問題】 9
【題型6 拋物線中的面積問題】 13
【題型7 拋物線中的定點、定值、定直線問題】 18
【題型8 拋物線中的最值問題】 24
【知識點1 直線與拋物線的位置關系】
1．直線與拋物線的位置關系
(1)直線與拋物線的三種位置關系：
(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立，整理成關于x的方程
.
①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當<0時，直線與拋物線相離，無交點.
②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
【題型1 判斷直線與拋物線的位置關系】
【例1】（2023·全國·高三專題練習）直線與拋物線的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【解題思路】直線過定點，在拋物線內部，即可得出結論．
【解答過程】直線過定點，
∵，
∴在拋物線內部，
∴直線與拋物線相交，
故選：A．
【變式1-1】（2022·高二課時練習）“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據直線與拋物線的位置關系可得答案.
【解答過程】“直線與拋物線相切”可得“直線與拋物線只有一個公共點”，
“直線與拋物線只有一個公共點”時，直線可能與對稱軸平行，此時不相切，
故“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-2】（2023春·上海虹口·高二校考期中）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【解題思路】考慮直線斜率存在，和不存在三種情況，設直線方程為，聯立方程，根據得到答案.
【解答過程】點在拋物線上，易知當直線斜率不存在時不滿足；
當直線斜率時，易知滿足條件；
當直線斜率存在且時，設直線方程為，即，
，整理得到，，
，解得，直線方程為.
綜上所述：滿足條件的直線有2條.
故選：C.
【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，聯立直線方程與拋物線方程，根據根的判別式即可得出結論．
【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標為（﹣2，1），
代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，
∴a＝4，
∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．
將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，
得到拋物線C3：y＝4x2，
聯立，消整理得，
，
所以直線l與拋物線C3相交，
故選：A．
【題型2 根據直線與拋物線的位置關系求參數或范圍】
【例2】（2022·高二課時練習）若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個公共點，則實數k的值為（ ）
A． B．0
C．或0 D．8或0
【解題思路】由直線方程與拋物線方程聯立，方程組只有一解，注意k=0的情形．
【解答過程】解：由得ky2－y＋2＝0，
若k＝0，直線與拋物線只有一個交點，則y＝2；
若k≠0，則Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
綜上可知k＝0或.
故選：C．
【變式2-1】（2023·高二課時練習）直線與拋物線有且只有一個公共點，則，滿足的條件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
【解題思路】當時，直線符合題意；當時，聯立直線與拋物線方程消去，得關于的一元二次方程，由即可得 ，的關系，進而可得正確答案.
【解答過程】當時，直線與拋物線有且只有一個公共點，符合題意；
當時，由可得：，
若直線與拋物線有且只有一個公共點，
則，整理可得：，所以，
綜上所述：或，
故選：D.
【變式2-2】（2022秋·高二課時練習）已知拋物線C的方程為，過點和點的直線l與拋物線C沒有公共點，則實數t的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先求直線的方程，與拋物線方程聯立，利用，即可求解的取值范圍.
【解答過程】當時，直線，與拋物線有交點，所以，
設直線的方程為，
聯立直線與拋物線方程，得，消元整理，得，
由于直線與拋物線無公共點，即方程無解，故有，解得或.
故選：A.
【變式2-3】（2023·山東·統考二模）已知拋物線，若過點作直線與拋物線交，兩個不同點，且直線的斜率為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】假設直線的方程為，然后分和兩種情況進行討論，即可得到答案
【解答過程】易得直線的斜率存在，故設直線的方程為，
當時，直線與拋物線只有一個交點，不適合題意；
當時，將直線代入拋物線得到，
因為直線與拋物線有兩個交點，
所以即，解得，
此時或，
綜上，的取值范圍是，
故選：A.
【知識點2 拋物線的弦長與焦點弦問題】
1．弦長問題
設直線與拋物線交于A,B兩點，則
|AB|==或
|AB|== (k為直線的斜率，k≠0).
2．拋物線的焦點弦問題
拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).
設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：
標準方程 弦長公式
y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2)
【題型3 拋物線的弦長問題】
【例3】（2023·河南安陽·統考三模）已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于、兩點，且點到的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分析可知，直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，根據已知條件求出的值，可求得的值，進而可求得、的值，再結合拋物線的焦點弦長公式可求得的值.
【解答過程】拋物線的焦點為，準線為，設點、，
若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
設直線的方程為，聯立可得，
，由韋達定理可得，，所以，
點到直線的距離為，則，所以，，
因此，，
故選：C.
【變式3-1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）設經過點的直線與拋物線相交于兩點，若線段中點的橫坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用拋物線焦點弦長公式直接求解即可.
【解答過程】由拋物線方程知：為拋物線的焦點；
設，
線段中點的橫坐標為，，
直線過拋物線的焦點，.
故選：B.
【變式3-2】（2023秋·貴州銅仁·高二統考期末）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】如圖所示，由題得，利用拋物線的定義化簡即得解.
【解答過程】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.
所以.
故選：C.
【變式3-3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市校考模擬預測）過拋物線：焦點的直線與交于，兩點，過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則（ ）
A． B． C．18 D．20
【解題思路】依題意拋物線的準線為，即可求出，從而求出拋物線方程，再由，求出，從而求出直線的方程，聯立直線與拋物線方程，求出，再根據焦半徑公式計算可得.
【解答過程】依題意拋物線的準線為，即，解得，
所以拋物線方程為，則焦點為，又，所以，解得，
所以，
所以，所以直線的方程為，
由，消去整理得，解得、，
即，
所以.
故選：B.
【題型4 拋物線的焦點弦問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（ ）
A．32 B． C． D．8
【解題思路】由題意可得直線的方程為，聯立直線與拋物線的方程得，由韋達定理可得，再根據拋線的定義即可得答案.
【解答過程】解：因為拋物線，
所以，，
所以直線的方程為，
由，得，
顯然，
設
則有，
所以，
由拋物線定義可知.
故選：A.
【變式4-1】（2023秋·高二單元測試）過拋物線焦點的直線與拋物線交于點，若，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】由拋物線方程得焦點坐標和準線方程，設過焦點的直線斜率為，把直線方程代入拋物線方程，由韋達定理代入弦長公式算出直線斜率，得直線方程.
【解答過程】拋物線焦點，準線方程，
設直線的方程為，由，消去，則有，
設，，，，
則焦點弦長，解得，
所以直線的方程為，即或.
故選：D.
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點為，過過直線交拋物線于兩點，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）
A．16 B． C．8 D．
【解題思路】現根據雙曲線的離心率，求出漸近線的斜率，繼而根據點斜式求得直線AB的方程，聯立直線和拋物線方程，結合韋達定理和焦點弦公式，即可求解.
【解答過程】解：由題意得，
故雙曲線的漸近線方程為，
又與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設直線的斜率為，又，
故的直線方程為：，聯立直線方程和拋物線方程得：，
所以，所以.
故選：D.
【變式4-3】（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知拋物線的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【解題思路】設出直線，的方程，聯立拋物線，利用韋達定理和拋物線的定義求出弦長，再根據四邊形ADBE對角線垂直求出面積，利用均值不等式求最值即可.
【解答過程】由題意拋物線的焦點為，顯然，斜率存在且不為0，
設直線方程為，設，，由，得，
則，即，
設直線的方程為，設，，
則，即，
∴，
當且僅當，即時等號成立．
故選：A．
【知識點3 拋物線的切線】
1．拋物線的切線
過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.
拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).
【題型5 拋物線中的切線問題】
【例5】（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知點在拋物線的準線上，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據條件可得拋物線方程，然后求導可得過，兩點的切線的斜率，寫出切線方程，代入點，由兩點確定一條直線，即得.
【解答過程】因為拋物線的準線為，
所以，，
故拋物線，，
設切點為，，又，
則切線PA的方程為：，即，
切線PB的方程為：，即，
由是PA、PB交點可知：，，由兩點確定一條直線，
可得過A、B的直線方程為，即
故選：A.
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點，直線與交于，兩點，
(1)當的縱坐標為4時，求拋物線在點處的切線方程；
(2)四邊形面積的最小值.
【解題思路】（1）易知焦點，且，設出切線方程與拋物線方程聯立即可得切線方程為；（2）由題意可得直線，的斜率均存在，設出，的方程并與拋物線聯立，利用焦點弦公式可求得，，即可求得四邊形面積表達式，再利用基本不等式即可求得其最小值為.
【解答過程】（1）根據題意可得焦點，當的縱坐標為4時可得，
設拋物線在點處的切線方程為，
聯立整理得，
由題意知方程只有一解，所以，
解得；
所以切線方程為.
（2）如下圖所示：
易知直線，的斜率均存在，
可設的方程為，同理可得
聯立直線和拋物線并整理可得，
易知，設，
所以，由焦點弦公式可得，
同理設，
可得，，
所以四邊形的面積，
當且僅當時，等號成立；
所以四邊形面積的最小值為.
【變式5-2】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過直線上的點作拋物線的兩條切線，設切點分別為，，求點到直線的距離的最大值.
【解題思路】（1）根據拋物線的定義和可求方程；
（2）聯立方程，根據相切可求切線方程，進而得到的方程，利用點到直線的距離公式可求答案.
【解答過程】（1）拋物線的準線方程為：，
由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.
（2）記，，則可設直線，
由消去并整理得，
則由題意得，
又得，
所以直線的方程為，同理，直線的方程為，
若設，則，
所以直線的方程為，即，
所以點到直線的距離，即，
當，即時，；
當時，因為則
即，所以且；
綜上，.
所以點到直線的距離的最大值為5.
【變式5-3】（2023春·云南曲靖·高一校考期末）已知、是拋物線上的兩點，是線段的中點，過點和分別作的切線、，交于點
(1)證明：軸：
(2)若點的坐標為，求的面積.
注：拋物線在點處的切線方程為.
【解題思路】（1）設點、，寫出直線、的方程，求出點的縱坐標，證明出點、的縱坐標相等，可證得結論成立；
（2）求出點的橫坐標，根據點的坐標求出、的值，然后根據三角形的面積公式可求得的面積.
【解答過程】（1）證明：設、，若，則，即點、重合，不合乎題意，
所以，，且的中點為，
由題意可知，直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線、的方程得，可得，
所以，點、的縱坐標相等，故軸.
（2）解：因為點的坐標為，
由（1）可知，，可得，
，可得，
由于軸，則
，
即的面積為.
【題型6 拋物線中的面積問題】
【例6】（2023秋·湖北荊州·高二校考期末）已知拋物線，
(1)經過點作直線，若與拋物線有且僅有一個公共點，求的方程；
(2)設拋物線的準線與軸的交點為，直線過點 ，且與拋物線交于兩點，的中點為，若，求的面積．
【解題思路】（1）判斷當直線平行于拋物線的對稱軸x時，符合題意，當直線與拋物線相切時，設出直線方程，聯立拋物線方程，求得切線方程，綜合可得答案；
（2）設，直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯立可得根與系數關系式，結合可求得n的值，進而求得的面積．
【解答過程】（1）由題意知點在拋物線外部，直線不會垂直于軸（此時與無公共點）；
當直線平行于拋物線的對稱軸x軸時，與拋物線有且僅有一個公共點，
此時直線的方程為；
當直線與拋物線相切時，斜率存在且不等于0，
可設的方程為，由， 得，
由，解得或1，
則的方程為與，
即與，
綜上：的方程是或或.
（2）設，直線的方程為，
將直線的方程與拋物線方程聯立， ，
得，,，,
所以，所以，
又拋物線的準線為, 所以，
則，整理得，
解得或（舍），
則
．
【變式6-1】（2023春·貴州黔南·高二統考期末）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求的值；
(2)設為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，求面積的最小值．
【解題思路】（1）利用直線與拋物線的位置關系，聯立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；
（2）設直線：，利用，找到的關系，以及的面積表達式，再結合函數的性質即可求出其最小值．
【解答過程】（1）設，
由，可得，
由，則，
所以，
所以
，
化簡得，
所以或，
因為，所以．
（2）因為，顯然直線的斜率存在，
設直線：，，
由可得，，
所以，
，
因為，所以，
即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設點到直線的距離為，所以，
因為，
所以
，
所以的面積，
而或，所以，
當時，的面積

【變式6-2】（2023春·河南南陽·高二統考期末）已知拋物線：的焦點為，過軸正半軸上一點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，且.
(1)求點的坐標；
(2)設點關于直線的對稱點為，求四邊形面積的最小值.
【解題思路】（1）設直線的方程為，聯立拋物線方程，可得根與系數關系式，結合數量積的坐標表示，列式計算，即得答案.
（2）利用，結合求得，求得四邊形面積的表達式，結合基本不等式即可求得答案.
【解答過程】（1）設直線的方程為，聯立，
可得，需滿足，設，
則，由于，
由可得，
解得或（舍去），
則過軸正半軸上一點，
即點的坐標為.
（2）由題意知，結合（1）知，
不妨設，
則，
由于關于對稱，故，
故，
當且僅當時，即時，等號成立，
故四邊形面積的最小值為.
【變式6-3】（2023春·江西上饒·高二校聯考階段練習）已知坐標原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．
【解題思路】（1）首先求出雙曲線的上焦點，設，，根據三角形面積求出，再代入雙曲線方程求出，再根據點在拋物線上，即可求出，即可得解；
（2）設點，，利用導數表示出的方程，即可求出點坐標，同理可得，再將代入，即可得到的方程，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，即可求出，再求出點到直線的距離，即可得到，再求出，即可得解.
【解答過程】（1）雙曲線的上焦點為，設，，
由已知得：，則，
代入雙曲線方程可得，解得或（舍去），所以，
又因為在拋物線上，所以，解得，故拋物線的方程為．
（2）設點，，對求導得，
則切線的方程為，
由整理得，
令，則，即，同理可求得．
將代入直線可得：，
同理可求得直線的方程：，
所以，的直線方程．
聯立消去得，
則韋達定理：，
則弦長，
點到直線的距離，
所以，
又，
故．
【題型7 拋物線中的定點、定值、定直線問題】
【例7】（2023春·江西贛州·高二校考期末）在平面直角坐標系中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點.
(1)求的方程；
(2)若關于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.
【解題思路】（1）分類討論的焦點在或軸上，設出拋物線的方程，將點代入即可得出答案；
（2）設，分別求出直線，的方程，由題意可得，，再求出直線的方程，代入化簡即可得出直線過的定點.
【解答過程】（1）若的焦點在軸上，設拋物線的方程為，
將點代入，得，解得，故的方程為；
若的焦點在軸上，設拋物線的方程為，
將點代入，得，解得，故的方程為，
綜上，的方程為或.
（2）證明：由（1）知拋物線的方程為.
若直線不過點，如圖，

設，
由題意可知直線的斜率存在且不為0，則直線的斜率，
所以直線的方程為，即，
同理直線的方程分別為，
由直線過定點，可得，
由直線過焦點，可得，
直線的方程為，
由，得，
所以，
即，
又因為，所以.
令解得故直線恒過定點.
若直線過點，直線即為直線，其方程為，即，顯然直線過點.
綜上，直線過定點.
【變式7-1】（2023·湖北襄陽·校考模擬預測）過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
【解題思路】（1）設直線，聯立方程組求得，利用弦長公式，分別求得，得到，結合基本不等式，即可求解；
（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進而得到，即可求解.
【解答過程】（1）解：設，
設直線，聯立方程組，整理得，
可得，
所以，
同理可得，
所以，當且僅當時取等號，
所以，所以拋物線的方程為.
（2）解：當為時，，
由共線，可得，可得 ①，
同理由共線 ②
又由共線，可得，所以 ③
同理由共線，可得 ④
由①③得，
即 ⑤
又由②④得，
即 ⑥
由⑤⑥得，
即，即，所以在上.
【變式7-2】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，
(1)求的值.
(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
【解題思路】（1）利用圖中的幾何關系以及拋物線的定義求解；
（2）直線的方程為以及點的坐標，將直線方程與拋物線方程聯立由韋達定理以及得到與的關系式，利用直線與拋物線相切求出直線的方程，用點到直線的距離公式即可求出點到直線與到直線的距離之比.
【解答過程】（1）如圖所示，過點作，垂足為交軸于點，
由題得，所以，
因為，所以△是等邊三角形，
因為是的中點，所以，
故，
所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知拋物線的方程是，
設直線的方程為，，
因為，所以，
即，即.
又，所以，故.
聯立，消去，得，其中，
則，
所以，所以.
設點到直線和直線的距離分別為，
則由得，
所以點到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.
【變式7-3】（2023春·廣東廣州·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且滿足，其中為坐標原點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)直線與拋物線相交于、兩點，以為直徑的圓過點，作，為垂足．是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）利用拋物線的定義結合兩點間的距離公式可得出關于的方程，解出的值，即可得出拋物線的標準方程；
（2）分析可知，直線不與軸垂直，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，根據已知條件得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出、所滿足的關系式，求出直線所過定點的坐標，利用直角三角形的幾何性質可得出定點的坐標.
【解答過程】（1）解：拋物線的準線方程為，由拋物線的定義可得，
將點的坐標代入拋物線方程可得，
所以，，
所以，，因為，解得，
因此，拋物線的標準方程為.
（2）解：若直線軸，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，
設直線的方程為，設點、，
聯立可得，，則，
由韋達定理可得，，
，，
因為以為直徑的圓過點，則，
所以，，
顯然且，所以，，
即，即，可得，
所以，直線的方程為，
由可得，，所以，直線過定點，
所以，，
因為，當點為線段的中點時，即當點的坐標為時，
為定值.
因此，存在定點，且當點的坐標為時，為定值.
【題型8 拋物線中的最值問題】
【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設弦，的中點分別為P，Q，求的最小值．
【解題思路】（1）設出，由焦半徑得到方程，求出，進而求出拋物線方程；
（2）設出直線方程，表達出P，Q兩點坐標，用兩點間距離公式表達出，利用基本不等式求出最小值.
【解答過程】（1）依題意，設．
由拋物線的定義得，解得：，
因為在拋物線上，
所以，所以，解得：．
故拋物線的方程為．
（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不為0．
設直線的方程為，，．
聯立，整理得：，
則，從而．
因為是弦的中點，所以，
同理可得．
則
，
當且僅當且，即時等號成立，
故的最小值為8．
【變式8-1】（2023春·山西太原·高三校考階段練習）已知拋物線的焦點為，直線分別與軸交于點，與拋物線交于點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)如圖，設點都在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.
【解題思路】（1）設，列方程組，求出，即可得到拋物線的方程；
（2）設點，利用是以為斜邊的等腰直角三角形，表示出，用坐標表示出 利用基本不等式求出的最小值.
【解答過程】（1）設點，由已知，則，即.
因為，則，所以拋物線的方程是.
（2）設點，直線的斜率為，
因為，則直線的斜率為.
因為，則，得，①
因為，則，即，②
因為，則，即③
將②③代入①，得，即，則，
所以
因為，則，又，則，從而，當且僅當時取等號，所以的最小值為32.
【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：，F為拋物線C的焦點，是拋物線C上點，且；
(1)求拋物線C的方程；
(2)過平面上一動點作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點），求的最大值.
【解題思路】（1）根據焦半徑公式求出的值即可得拋物線方程；
（2）首先根據導數的幾何意義，求出切線，進而求出直線的方程，根據焦半徑公式，將轉化成兩點縱坐標的關系式，由韋達定理進行化簡，從函數的角度運用換元法求其最大值.
【解答過程】（1）依題意得：
∴，∴，
所求拋物線的方程為；
（2）拋物線的方程為，即∴，
設，，則切線PA，PB的斜率分別為，.
所以切線PA：，
∴，又，，
同理可得切線PB的方程為，
因為切線PA，PB均過點，所以，，
所以，為方程的兩組解.
所以直線AB的方程為.
聯立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由拋物線定義可知，，
所以
∵
，
∴
令
∴原式，
即原式的最大值.
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，過拋物線的焦點作互相垂直的直線，，交拋物線于，兩點（在軸上方），交拋物線于，兩點，交其準線于點．
（1）求四邊形的面積的最小值；
（2）若直線與軸的交點為，求面積的最小值．
【解題思路】（1）設直線AB的方程為，聯立拋物線方程得到韋達定理，利用拋物線的焦半徑公式將AB，CD表示，再結合基本不等式可得四邊形面積的最小值；
（2）求出，推出．結合韋達定理推出．然后求解的表達式，結合函數的導數求解函數的最小值即可．
【解答過程】（1）由已知可知直線的斜率必存在，
設直線的斜率為，拋物線的焦點，
則與拋物線相聯立，
，
設，，則，
，
同理，，則四邊形的面積為
，
當且僅當時，四邊形的面積的最小值為32．
（2）解：由題意可得，
令，得.
由，，得，又，
所以
.
所以
.
記，
則，
解得，即，
所以在上遞減，在上遞增，
所以.

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