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專題3.1 橢圓及其標準方程【六大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 橢圓的定義】 1
【題型2 曲線方程與橢圓】 2
【題型3 橢圓方程的求解】 3
【題型4 動點軌跡方程的求法】 3
【題型5 橢圓中的焦點三角形問題】 5
【題型6 橢圓中的最值問題】 5
【知識點1 橢圓的定義】
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內與兩個定點,的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫
作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.
(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.
【題型1 橢圓的定義】
【例1】（2023秋·陜西寶雞·高二統考期末），為橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則（ ）
A．9 B．4 C．2 D．1
【變式1-1】（2023秋·陜西漢中·高二統考期末）若橢圓上一點A到焦點的距離為2，則點A到焦點的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，分別是橢圓C的焦點，過點的直線交橢圓C于A，B兩點，若，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式1-3】（2023秋·河北邢臺·高二校考期末）設P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 橢圓的標準方程】
1．橢圓的標準方程
橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
橢圓在坐標
系中的位置
標準方程
焦點坐標 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關系
2．橢圓方程的求解
(1)用定義法求橢圓的標準方程
根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數法求橢圓的標準方程
①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待
定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.
②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點
在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【題型2 曲線方程與橢圓】
【例2】（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習）“”是方程“表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）方程表示焦點在軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023秋·全國·高二期末）若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式2-3】（2022·高二單元測試）若方程表示橢圓，則下面結論正確的是（ ）
A． B．橢圓的焦距為
C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則
【題型3 橢圓方程的求解】
【例3】（2023春·河北承德·高二校考開學考試）焦點坐標為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023秋·江蘇·高二統考期末）已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統考期末）設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為B．若，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C的焦點為，．過點的直線與C交于A，B兩點．若的周長為12，則橢圓C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 動點軌跡方程的求法】
【例4】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）△ABC的周長是8，B（﹣1，0），C（1，0），則頂點A的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·高二課時練習）在中，已知，若，且滿足，則頂點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022秋·山西運城·高二校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知圓：（圓心為），點，點Р在圓A上運動，設線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為Q，則點Q的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023秋·江蘇鹽城·高二校考期末）已知圓，為圓內一點，將圓折起使得圓周過點(如圖)，然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為 （ ）
A． B． C． D．
【知識點3 橢圓的焦點三角形】
1．橢圓的焦點三角形
(1)焦點三角形的概念
設M是橢圓上一點，,為橢圓的焦點，當點M,,不在同一條直線上時，它們構成一個三角形焦
點三角形，如圖所示.
(2)焦點三角形的常用公式
①焦點三角形的周長L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③設，，則.
【題型5 橢圓中的焦點三角形問題】
【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二統考期末）已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）已知△的頂點 在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則△的周長為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023春·廣東深圳·高二校考階段練習）在橢圓上有一點P，是橢圓的左 右焦點，為直角三角形，這樣的點P有（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6 B．12 C． D．
【題型6 橢圓中的最值問題】
【例6】（2023·高二課時練習）已知橢圓的左右焦點分別為 ，P是橢圓上的動點，求的最大值及最小值.
【變式6-1】（2023·高二課時練習）已知P是橢圓上一點，，求的最小值與最大值．
【變式6-2】（2023·高二課時練習）已知橢圓：內有一點，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的一點，求：
(1)的最大值與最小值；
(2)的最大值與最小值．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓內有一點P(1，1)，F為右焦點，橢圓上的點M.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求使得的值最小時點M的坐標.
專題3.1 橢圓及其標準方程【六大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 橢圓的定義】 1
【題型2 曲線方程與橢圓】 3
【題型3 橢圓方程的求解】 5
【題型4 動點軌跡方程的求法】 6
【題型5 橢圓中的焦點三角形問題】 8
【題型6 橢圓中的最值問題】 10
【知識點1 橢圓的定義】
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內與兩個定點,的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫
作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.
(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.
【題型1 橢圓的定義】
【例1】（2023秋·陜西寶雞·高二統考期末），為橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則（ ）
A．9 B．4 C．2 D．1
【解題思路】由橢圓定義可得，進而求得結果．
【解答過程】橢圓中，，，為橢圓的兩個焦點，
，又，
故選：A.
【變式1-1】（2023秋·陜西漢中·高二統考期末）若橢圓上一點A到焦點的距離為2，則點A到焦點的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用橢圓的定義有，結合已知即可求A到焦點的距離.
【解答過程】由橢圓方程知：.根據橢圓的定義有.
因為，
所以.
故選：D.
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，分別是橢圓C的焦點，過點的直線交橢圓C于A，B兩點，若，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解題思路】根據橢圓的定義可求，，結合條件可求.
【解答過程】設橢圓的長半軸為，則，
由橢圓定義可得，，
又，
所以.
故選：D.
【變式1-3】（2023秋·河北邢臺·高二校考期末）設P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據橢圓的定義寫出，再根據條件即可解得答案.
【解答過程】根據P為橢圓C：上一點，
則有，
又，所以，
故選：B.
【知識點2 橢圓的標準方程】
1．橢圓的標準方程
橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
橢圓在坐標
系中的位置
標準方程
焦點坐標 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關系
2．橢圓方程的求解
(1)用定義法求橢圓的標準方程
根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數法求橢圓的標準方程
①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待
定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.
②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點
在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【題型2 曲線方程與橢圓】
【例2】（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習）“”是方程“表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條
【解題思路】根據橢圓的標準方程可得，解不等式組得出且，再利用必要不充分條件定義即可求解.
【解答過程】若方程表示橢圓，則有
因此且，
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：B.
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）方程表示焦點在軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將方程化為標準式，依題意求出參數的取值范圍，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【解答過程】方程可變形為，表示焦點在軸上的橢圓，則有，解得.
易知當時，，當時未必有，
所以是的充分但不必要條件.
故選：B.
【變式2-2】（2023秋·全國·高二期末）若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】根據橢圓焦點在軸上,可得,解出范圍即可.
【解答過程】解:由題知表示焦點在軸上的橢圓,
則有: ,
解得:或.
故選:D.
【變式2-3】（2022·高二單元測試）若方程表示橢圓，則下面結論正確的是（ ）
A． B．橢圓的焦距為
C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則
【解題思路】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項分析、計算即可判斷作答.
【解答過程】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；
焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；
焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.
故選：C.
【題型3 橢圓方程的求解】
【例3】（2023春·河北承德·高二校考開學考試）焦點坐標為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意可知，即可由求出，再根據焦點位置得出橢圓方程．
【解答過程】因為，所以，而焦點在軸上，所以橢圓方程為．
故選：B．
【變式3-1】（2023秋·江蘇·高二統考期末）已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據橢圓的性質可得，則橢圓方程可求.
【解答過程】由點在橢圓上得，
由橢圓的對稱性可得，則，
故橢圓方程為.
故選：A.
【變式3-2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統考期末）設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為B．若，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意和橢圓的幾何性質，得到，進而求得的值，即可求解.
【解答過程】由橢圓的幾何性質，因為，可得，
所以，，則，所以橢圓的方程為.
故選：A.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C的焦點為，．過點的直線與C交于A，B兩點．若的周長為12，則橢圓C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.
【解答過程】依題意，解得，
由于橢圓的焦點在軸上，
所以橢圓的標準方程為.
故選：B.
【題型4 動點軌跡方程的求法】
【例4】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）△ABC的周長是8，B（﹣1，0），C（1，0），則頂點A的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由周長得AB+AC＝6，從而知A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，再根據已知條件可求得軌跡方程．注意范圍．
【解答過程】解：∵△ABC的兩頂點B（﹣1，0），C（1，0），周長為8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，且2a＝6，c＝1，b＝2，
所以橢圓的標準方程是.
故選：A.
【變式4-1】（2023·高二課時練習）在中，已知，若，且滿足，則頂點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先利用正弦定理化角為邊，從而可得，再結合題意可得點的軌跡是以為焦點的橢圓的左半部分，即可得解.
【解答過程】解：在中，因為，
所以，
又，則，
所以，即，
由于，
所以點的軌跡是以為焦點的橢圓的左半部分，
由，
所以頂點的軌跡方程是.
故選：A.
【變式4-2】（2022秋·山西運城·高二校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知圓：（圓心為），點，點Р在圓A上運動，設線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為Q，則點Q的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據橢圓的定義求得正確答案.
【解答過程】圓：的圓心，半徑.
由于，所以在圓內，
根據垂直平分線的性質可知，
所以，
所以點的軌跡是橢圓，且，
所以點的軌跡方程是.
故選：C.
【變式4-3】（2023秋·江蘇鹽城·高二校考期末）已知圓，為圓內一點，將圓折起使得圓周過點(如圖)，然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為 （ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由圖形可知結果為定值，進而根據橢圖的定義推斷出點的軌跡方程.
【解答過程】，，點關于折痕的對稱點在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，折痕與相交于點， 如圖所示：
則有，可知，
所以點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓，其中長軸，焦距，所以點的軌跡方程為，即折痕圍成輪廓的圓錐曲線的方程為.
故選：A.
【知識點3 橢圓的焦點三角形】
1．橢圓的焦點三角形
(1)焦點三角形的概念
設M是橢圓上一點，,為橢圓的焦點，當點M,,不在同一條直線上時，它們構成一個三角形焦
點三角形，如圖所示.
(2)焦點三角形的常用公式
①焦點三角形的周長L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③設，，則.
【題型5 橢圓中的焦點三角形問題】
【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二統考期末）已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【解題思路】利用橢圓的定義求解即可.
【解答過程】設橢圓的另外一個焦點為，如圖，

則的周長為，
故選：C.
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）已知△的頂點 在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則△的周長為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據橢圓定義得，結合橢圓方程，即可知△的周長.
【解答過程】由橢圓方程知：，又，，
∴△的周長為，
故選：D.
【變式5-2】（2023春·廣東深圳·高二校考階段練習）在橢圓上有一點P，是橢圓的左 右焦點，為直角三角形，這樣的點P有（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
【解題思路】由為直角三角形，討論直角頂點的位置，分三種情況，分別得出符合要求的點，可得選項.
【解答過程】當為直角時，這樣的點有2個，如下圖中的點；
當為直角時，這樣的點有2個，如下圖中的點；
當為直角時，因為橢圓中，所以這樣的點有2個，如下圖中的點，
所以符合條件為直角三角形的點有6個，
故選：C.
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6 B．12 C． D．
【解題思路】設，先得到的值，再代入的余弦定理計算可得，再利用三角形的面積公式計算即可.
【解答過程】對于橢圓有，
設，
則根據橢圓的定義得，
又，
解得，
.
故選：D.
【題型6 橢圓中的最值問題】
【例6】（2023·高二課時練習）已知橢圓的左右焦點分別為 ，P是橢圓上的動點，求的最大值及最小值.
【解題思路】根據橢圓的定義，結合焦半徑的取值范圍，建立的函數關系，求函數的最值即可.
【解答過程】對橢圓，，不妨設
又，即，則，
，
對，其在單調遞增，在單調遞減.
故當時，，當或時，.
即的最大值和最小值分別為和.
【變式6-1】（2023·高二課時練習）已知P是橢圓上一點，，求的最小值與最大值．
【解題思路】設點P的坐標為，則，由 ，利用二次函數的性質求解.
【解答過程】因為P是橢圓上一點，
所以，且橢圓焦點在y軸上，
點P是橢圓上任意一點，設點P的坐標為，
則，
所以，
，
，
因為，
當時，，
所以
當時， .
【變式6-2】（2023·高二課時練習）已知橢圓：內有一點，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的一點，求：
(1)的最大值與最小值；
(2)的最大值與最小值．
【解題思路】(1)由題意可知：根據三角形的性質，即可求得然后得到的最大值與最小值；
(2)利用橢圓的定義表示出，根據橢圓的定義及三角形三邊的關系，即可求得答案．
【解答過程】（1）由橢圓可知，，，
則，，

則，當且僅當、、三點共線時成立，
所以，
所以的最大值與最小值分別為和；
（2），，，
設是橢圓上任一點，由，，
，
等號僅當時成立，此時、、共線，
由，
，
等號僅當時成立，此時、、共線，
故的最大值與最小值為．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓內有一點P(1，1)，F為右焦點，橢圓上的點M.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求使得的值最小時點M的坐標.
【解題思路】（1）利用數形結合，根據三點共線分析的最大值；（2）利用橢圓的定義轉化，求的最小值；（3）利用橢圓的第二定義，轉化，再利用數形結合分析得到最小值，以及取得最小值時的點的坐標.
【解答過程】（1），所以，即
當點三點不共線時，，如圖當三點共線時，，即，所以的最大值是，

（2）設橢圓的左焦點，根據橢圓定義可知，
即，如圖，當三點共線時，等號成立，
，所以的最大值是.

（3）橢圓的右準線，設橢圓上的點到右準線的距離為，因為，所以， ，如圖，的最小值是點到直線的距離，即

所以的最小值是，此時點的縱坐標是1，代入橢圓方程可得，所以的值最小時點M的坐標 .

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