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第六章　平面向量及其應用
§6.1　平面向量的概念
[學習目標]　
1.能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數量的區別.
2.會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯系與區別.
3.理解零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念．
一、向量的概念及幾何表示
問題1　在物理中，我們學習過位移、速度和力，這些物理量與我們日常生活中的面積、質量等有什么區別？
知識梳理　
1．向量的概念
(1)向量：既有________又有________的量叫做向量．
(2)數量：只有________沒有________的量稱為數量．
2．向量的表示
(1)有向線段
具有________的線段叫做有向線段，它包含三個要素：________、________、________.
以A為起點、B為終點的有向線段記作，線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作________．
(2)向量的表示
①幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，向量的大小稱為向量的________(或稱________)，記作________．
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用，，)．
例1　某人從點A出發向西走4個單位長度到達點B，然后改變方向朝西北方向走6個單位長度到達點C，最后又向東走4個單位長度到達點D.試分別作出向量，和.
反思感悟　作向量的方法
準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據向量的大小確定向量的終點．
跟蹤訓練1　在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規畫出下列向量．
(1)＝3，點A在點O北偏西45°方向；
(2)＝2，點B在點O正南方向．
二、零向量和單位向量
知識梳理　
向量名稱 定義
零向量 長度為________的向量，記作________
單位向量 長度等于____________的向量
例2　(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A．零向量沒有大小，沒有方向
B．零向量的長度都為0
C．單位向量方向相同
D．單位向量的長度都相等
反思感悟　解決向量有關的概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題．
跟蹤訓練2　下列說法中正確的是(　　)
A．向量的模都是正實數
B．單位向量只有一個
C．向量的大小與方向無關
D．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小
三、相等向量與共線向量
問題2　如圖所示，在邊長為1的菱形ABCD中，向量與有什么關系？
問題3　如圖所示，在梯形ABCD中，向量與有什么關系？
知識梳理　
平行向量(共線向量) 方向____________的非零向量；向量a與b平行，記作a∥b 規定：零向量與任意向量______，即對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 長度________且方向______的向量；向量a與b相等，記作a＝b
例3　如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點．
(1)寫出與共線的向量；
(2)寫出模與的模相等的向量；
(3)寫出與相等的向量．
反思感悟　相等向量與共線向量的探求方法
(1)相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．
(2)共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
跟蹤訓練3　如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．
(1)與向量相等的向量為________；
(2)若||＝3，則||＝________.
1.知識清單：
(1)向量的概念及表示．
(2)向量的相關概念：零向量、單位向量、相等向量、共線向量(平行向量)．
2．方法歸納：數形結合法．
3．常見誤區：零向量和單位向量的方向容易混淆．
1．(多選)給出下列物理量，其中是向量的是(　　)
A．質量 B．速度
C．加速度 D．功
2．若＝，則四邊形ABCD的形狀為(　　)
A．平行四邊形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
3．(多選)下列說法錯誤的為(　　)
A．共線的兩個單位向量相等
B．相等向量的起點相同
C．若∥，則一定有直線AB∥CD
D．若向量，共線，則點A，B，C必在同一直線上
4．(多選)如圖所示，設O是正方形ABCD的中心，則下列結論正確的有(　　)
A.＝
B.∥
C.與共線
D.＝
§6.1　平面向量的概念
問題1　面積、質量只有大小沒有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向.
知識梳理
1.(1)大小　方向　(2)大小　方向　
2.(1)方向　起點　方向　長度　||
(2)①長度　模　||
例1　解　根據題意，在平面內任取一點為A，按照題意要求方向，作線段＝4，＝6，＝4，
則向量，和如圖所示.
跟蹤訓練1　解　(1)∵＝3，點A在點O北偏西45°方向，∴以O為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點.
(2)∵＝2＝，點B在點O正南方向，∴以O為圓心，圖中OQ為半徑作圓，圓弧與OR的交點即為B點.
知識梳理
0　0　1個單位長度　
例2　BD
跟蹤訓練2　C　[零向量的模為0，故A不正確；長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，不止一個，故B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，故C正確；不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故D不正確.]
問題2　大小相等，方向相同.
問題3　大小不等，方向相同.
知識梳理
相同或相反　平行　相等　相同　
例3　解　(1)因為E，F分別是AC，AB的中點，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因為D是BC的中點，
所以與共線的向量有，，，，，，.
(2)模與的模相等的向量有，，，，.
(3)與相等的向量有，.
跟蹤訓練3　(1)，　(2)6
解析　(1)在 ABCD和 ABDE中，
∵＝，＝，
∴＝.
(2)由(1)知，＝，
∴E，D，C三點共線，
||＝||＋||＝2||＝6.
隨堂演練
1.BC　2.A　3.ABC　4.ABC

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