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§6.2　平面向量的運(yùn)算
6.2.1　向量的加法運(yùn)算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.
3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性．
一、向量加法的三角形法則
問題1　兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加嗎？
問題2　如圖，某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)B到點(diǎn)C，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移如何表示？
知識(shí)梳理　
已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．這種求向量和的方法，稱為向量加法的____________法則．
例1　如圖所示，
(1)a＋b＝________；
(2)c＋d＝________；
(3)a＋b＋d＝________；
(4)c＋d＋e＝________.
反思感悟　向量加法的三角形法則的特征為首尾順次相接，其和為由第一個(gè)向量的起點(diǎn)到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)，即＋＋…＋＝.
跟蹤訓(xùn)練1　點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，則＋＋等于(　　)
A. B. C. D．0
二、向量加法的平行四邊形法則
問題3　如圖，作AD綉B(tài)C，向量與是什么關(guān)系？
問題4　由向量加法的三角形法則可知，＋＝，則＋與相等嗎？
問題5　四邊形ABCD的形狀如何？
知識(shí)梳理　
1.以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作 OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量(OC是 OACB的對角線)就是向量a與b的和．把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的________________法則．
2．從平行四邊形的性質(zhì)可知三角形法則和平行四邊形法則是一致的．
3．對于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a.
例2　(1)如圖①所示，求作向量a＋b；
(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量．
(1)＋＝_______________；
(2)＋＝___________；
(3)＋＝____________.
三、共線向量的加法與向量加法的運(yùn)算律
問題6　請結(jié)合課本例1，探索一下|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系？
問題7　我們知道實(shí)數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律呢？你能證明自己的猜想嗎？
知識(shí)梳理　
1．一般地，我們有|a＋b|≤________，當(dāng)且僅當(dāng)a，b中有一個(gè)是零向量或a，b是方向相同的非零向量時(shí)，等號(hào)成立．
2．(加法交換律)a＋b＝________；
(加法結(jié)合律)a＋(b＋c)＝________.
例3　(1)已知a，b均為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法中正確的是(　　)
A．a(chǎn)∥b，且a與b的方向相同
B．a(chǎn)，b是方向相反的向量
C．|a|＝|b|，且a與b的方向相反
D．a(chǎn)，b無論什么關(guān)系均可
(2)化簡：
①＋；
②＋＋；
③＋＋＋＋.
反思感悟　向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則
(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的．
(2)應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．
跟蹤訓(xùn)練3　已知正方形ABCD的邊長等于1，則|＋＋＋|＝________.
四、向量加法的實(shí)際應(yīng)用
例4　河水自西向東流動(dòng)的速度為10 km/h，小船在靜水中的速度為10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的實(shí)際航行速度．
延伸探究　在靜水中船的速度的大小為20 m/min，水流的速度的大小為10 m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，求船行進(jìn)的方向．
反思感悟　應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題．
(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問題．
(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題．
跟蹤訓(xùn)練4　如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大?。?繩子的重量忽略不計(jì))
1．知識(shí)清單：
(1)向量加法的三角形法則．
(2)向量加法的平行四邊形法則．
(3)向量三角不等式．
(4)向量加法的運(yùn)算律．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合法．
3．常見誤區(qū)：向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點(diǎn)．
1．化簡＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
2．正方形ABCD的邊長為1，則|＋|為(　　)
A．1 B. C．3 D．2
3．(多選)下列等式不正確的是(　　)
A．a(chǎn)＋(b＋c)＝(a＋c)＋b
B.＋＝0
C.＝＋＋
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
4.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則＋＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
6.2.1　向量的加法運(yùn)算
問題1　不是，向量相加要考慮大小及方向，而模相加是數(shù)量的加法.
問題2　這個(gè)質(zhì)點(diǎn)兩次位移，的結(jié)果，與從點(diǎn)A直接到點(diǎn)C的位移的結(jié)果相同.因此，位移可以看作位移與合成的，即可以看作與的和.
知識(shí)梳理
三角形
例1　(1)c　(2)f　(3)f　(4)g
跟蹤訓(xùn)練1　A
問題3　＝.
問題4　相等.
問題5　平行四邊形.
知識(shí)梳理
1.平行四邊形
例2　解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖③所示.
(2)方法一　(三角形法則)如圖④所示，
首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝a＋b＋c即為所求.
方法二　(平行四邊形法則)如圖⑤所示，
首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，＝b，＝c，
以O(shè)A，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則＝＋＝a＋b.
再以O(shè)D，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，
則＝＋＝a＋b＋c即為所求.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)　(2)　(3)0
解析　(1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC是以O(shè)A，OC為鄰邊的平行四邊形，OB是其對角線，故＋＝.
(2)因?yàn)椋剑?br/>故＋與方向相同，
長度為的長度的2倍，
故＋＝.
(3)因?yàn)椋剑?br/>故＋＝＋＝0.
問題6　(1)當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
問題7　如圖1，作＝a，＝b，以AB，AD為鄰邊作 ABCD，容易發(fā)現(xiàn)＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a.所以滿足交換律.
如圖2，不難證明滿足結(jié)合律.
知識(shí)梳理
1.|a|＋|b|
2.b＋a　(a＋b)＋c
例3　(1)A　[因?yàn)閨a＋b|≤|a|＋|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a與b方向相同時(shí)取等號(hào)).]
(2)解?、伲剑?
②＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
③＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
跟蹤訓(xùn)練3　2
解析　|＋＋＋|
＝|＋＋＋|
＝|＋|＝2||＝2.
例4　解　設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)任意一點(diǎn)O作＝a，＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作矩形OACB，連接OC，如圖，則＝a＋b，并且即為小船的實(shí)際航行速度.
∴||＝＝20(km/h)，
∵tan∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的實(shí)際航行速度的大小為20 km/h，沿北偏東30°的方向航行.
延伸探究　解　作出圖形，如圖所示.船速v船與岸的方向成角α，由圖可知v水＋v船＝v實(shí)際，結(jié)合已知條件，
四邊形ABCD為平行四邊形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10，
||＝|v船|＝20，
所以cos α＝＝＝，
所以α＝60°，
從而船與水流方向成120°的角.
所以船是沿與水流的方向成120°角的方向行進(jìn).
跟蹤訓(xùn)練4　解　如圖所示，設(shè)，分別表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，
則＋＝.
由題意可得
∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N).
∴A處所受力的大小為5 N，B處所受力的大小為5 N.
隨堂演練
1.C　2.B　3.BD　4.B

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