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6.2.3　向量的數(shù)乘運算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.了解向量數(shù)乘的概念.
2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘的運算律進(jìn)行向量運算.
3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法．
一、向量的數(shù)乘運算
問題1　如圖，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它們的長度和方向分別是怎樣的？類比數(shù)的乘法，該如何表示運算結(jié)果？它們的長度和方向分別是怎樣的？
　
知識梳理　
一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個________，這種運算叫做向量的______，記作________，其長度與方向規(guī)定如下：
(1)|λa|＝________.
2 λa a≠0 的方向
特別地，當(dāng)λ＝0時，λa＝________.
當(dāng)λ＝－1時，(－1)a＝－a.
例1　(多選)已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各命題中，正確的命題是(　　)
A．當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向一定相反
B．當(dāng)λ＝0時，λa與a是共線向量
C．|λa|＝λ|a|
D．當(dāng)λμ>0時，λa的方向與μa的方向一定相同
反思感悟　λ的正負(fù)決定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小決定λa的模．
跟蹤訓(xùn)練1　已知非零向量a，b滿足a＝4b，則(　　)
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a(chǎn)與b的方向相同
D．a(chǎn)與b的方向相反
二、向量的線性運算
知識梳理　
1．?dāng)?shù)乘運算的運算律
設(shè)λ，μ為實數(shù)，那么
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝________.
(3)λ(a＋b)＝________.
特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的線性運算
向量的________、________、________運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________.
例2　(1)若a＝2b＋c，則化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)
A．－a B．－b C．－c D．c
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.
反思感悟　向量線性運算的基本方法
(1)類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．
(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\用運算律，簡化運算．
跟蹤訓(xùn)練2　計算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
三、用已知向量表示其他向量
例3　如圖，在 ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.a－b B.a＋b
C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b
跟蹤訓(xùn)練3　在△ABC中，若點D滿足＝2，則等于(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.＋
四、向量共線定理
問題2　如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)
知識梳理　
向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使________．
例4　設(shè)a，b是不共線的兩個向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求證：A，B，C三點共線；
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值．
延伸探究　若A，B，C三點共線，O為直線外一點，且＝x＋y，求證：x＋y＝1.
跟蹤訓(xùn)練4　已知向量e1，e2不共線，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，則共線的三個點是________．
1．知識清單：
(1)向量的數(shù)乘及運算律．
(2)向量共線定理．
(3)三點共線的常用結(jié)論．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合法、分類討論法．
3．常見誤區(qū)：忽視零向量這一個特殊向量．
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，則2a－3b＋c等于(　　)
A．10d B．－10d C．20d D．－20d
2．(多選)下列運算正確的是(　　)
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
3.如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，那么向量＋等于(　　)
A. B. C. D.
4．設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k＝______.
6.2.3　向量的數(shù)乘運算
問題1　＝＋＋
＝a＋a＋a＝3a.
＝＋＋
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍；－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍.
知識梳理
向量　數(shù)乘　λa　(1)|λ||a|
(2)λ>0　λ<0　0
例1　ABD　跟蹤訓(xùn)練1　C
知識梳理
1.(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb
2.加　減　數(shù)乘　λμ1a±λμ2b
例2　(1)C　(2)4b－3a
跟蹤訓(xùn)練2　解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
例3　D　[因為E是BC的中點，
所以＝＝－
＝－b，
所以＝＋＝＋
＝a－b.]
跟蹤訓(xùn)練3　D
問題2　共線，存在.
知識梳理
b＝λa
例4　(1)證明　∵＝－
＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴與共線，且有公共點B，
∴A，B，C三點共線.
(2)解　∵8a＋kb與ka＋2b共線，
∴存在實數(shù)λ，
使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a與b不共線，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
延伸探究　證明　∵A，B，C三點共線，
∴存在實數(shù)λ，使得＝λ，
即－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又＝x＋y，
則x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
跟蹤訓(xùn)練4　A，B，D
隨堂演練
1.B　2.ABD　3.A　4.－

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