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6.2.4　向量的數量積(二)
[學習目標]　
1.掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式.
2.會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明．
一、向量數量積的運算律
知識梳理　
1．對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2.
多項式乘法 向量數量積
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝__________
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝__________
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b) ＝________
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝________
例1　(1)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
(2)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分別為BC，CD的中點，則·等于(　　)
A. B．－ C. D．－
反思感悟　(1)運用a·b＝|a||b|cos θ計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，求解時要靈活運用數量積的運算律．
(2)若所求向量的模與夾角未知，應先選取已知模與夾角的兩個向量，表示出所求向量，再代入運算．
跟蹤訓練1　(多選)設a，b，c是任意的非零向量，且它們兩兩不共線，給出下列結論，正確的是(　　)
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)a－(c·a)b不與c垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
二、利用數量積求向量的模和向量的夾角
例2　(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.
(2)已知非零向量a，b滿足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②當a·b＝－時，求向量a與a＋2b的夾角θ的值．
反思感悟　(1)求解向量模的問題就是要靈活應用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘記開方．
(2)求向量的夾角，主要是利用公式cos θ＝求出夾角的余弦值，從而求得夾角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關系，然后代入求解．
跟蹤訓練2　已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，求a與b的夾角．
三、與垂直有關的問題
例3　已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，m與n夾角的余弦值為，若n⊥(tm＋n)，則實數t的值為(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
反思感悟　解決有關垂直問題時利用a⊥b a·b＝0(a，b為非零向量)．
跟蹤訓練3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求a與b的夾角．
1．知識清單：
(1)向量數量積的運算律．
(2)利用數量積求向量的模和夾角．
(3)向量垂直的應用．
2．方法歸納：類比法．
3．常見誤區：忽略向量數量積不滿足結合律．
1．設e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則a·b等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，那么向量a－4b的模為(　　)
A．2 B．2 C．6 D．12
3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夾角為60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值為(　　)
A. B. C. D.
4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為________．
6.2.4　向量的數量積(二)
知識梳理
2.a2＋2a·b＋b2　a2－2a·b＋b2　a2－b2　a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
例1　(1)B
(2)D　[∵E，F是菱形ABCD中邊BC，CD的中點，
∴＝＋，
＝＝(－)，
又||＝||＝2，且∠BAD＝60°，
∴·＝·(－)
＝·＋||2－||2
＝||||cos 60°＋×22－×22＝－.]
跟蹤訓練1　ACD　[根據數量積的分配律知A正確；
∵[(b·c)a－(c·a)b]·c
＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，
∴(b·c)a－(c·a)b與c垂直，B錯誤；
∵a，b不共線，∴|a|，|b|，|a－b|組成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；顯然D正確.]
例2　(1)2
(2)解　①因為(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
②因為|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，
故|a＋2b|＝1.
又因為a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b
＝1－＝，
所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
跟蹤訓練2　解　設a與b的夾角為θ，
由題意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，
∴θ＝，即a與b的夾角為.
例3　B　[由題意知，
＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因為n⊥(tm＋n)，
所以n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝0，
即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.]
跟蹤訓練3　解　設a與b的夾角為θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)
＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，
即a與b的夾角為60°.
隨堂演練
1.B　2.B　3.C　4.

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