資源簡介

6.2.4　向量的數量積(一)
[學習目標]　
1.了解向量數量積的物理背景，即物體在力F的作用下產生位移s所做的功.
2.掌握向量數量積的定義及投影向量.
3.會計算平面向量的數量積．
一、兩向量的夾角
問題　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是誰與誰的夾角？
知識梳理　
1.夾角：已知兩個________________a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則__________叫做向量a與b的夾角，也可以記作〈a，b〉．當θ＝0時，a與b________；當θ＝π時，a與b________.
2．垂直：如果a與b的夾角是________，我們說a與b垂直，記作________．
例1　已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
反思感悟　(1)求兩個向量夾角的關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．
(2)特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數)的夾角為θ0，當λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當λ1λ2>0時，θ0＝θ.
跟蹤訓練1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角是(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
二、兩向量的數量積
知識梳理　
1．已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量________________叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作__________，即________________．
規定：零向量與任一向量的數量積為________．
2．向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b ____________.
(3)當a∥b時，a·b＝
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|________|a||b|.
(5)cos θ＝.
例2　已知正△ABC的邊長為1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
反思感悟　定義法求平面向量的數量積
若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件．
跟蹤訓練2　(1)在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，則·＝________，·＝______，·＝________.
(2)設|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為________．
三、投影向量
知識梳理　
1.如圖，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的________向量．
2.如圖，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量．設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos θe.
例3　已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，與b同向的單位向量為e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量)．
跟蹤訓練3　(1)已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影向量的模是________．
(2)已知a·b＝16，e為與b方向相同的單位向量．若a在b上的投影向量為4e，則|b|＝________.
1．知識清單：
(1)向量的夾角．
(2)向量數量積的定義．
(3)投影向量．
(4)向量數量積的性質．
2．方法歸納：數形結合法．
3．常見誤區：向量夾角共起點；a·b>0 兩向量夾角為銳角，a·b<0 兩向量夾角為鈍角．
1．已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，則與的夾角為(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角是120°，則a·b等于(　　)
A．3 B．－3
C．－3 D．3
3．已知正方形ABCD的邊長為2，則·的值等于(　　)
A．4 B．－4
C．－2 D．2
4．已知|a|＝2，且a與b的夾角為60°，所以與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為____________．
6.2.4　向量的數量積(一)
問題　θ是向量F與向量s的夾角.
知識梳理
1.非零向量　∠AOB＝θ(0≤θ≤π)　同向　反向
2.　a⊥b
例1　解　
如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，
則＝a＋b，＝a－b.
因為|a|＝|b|＝2，
所以平行四邊形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.
跟蹤訓練1　C
[如圖，作向量＝，則∠BAD是與的夾角，在△ABC中，因為∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即與的夾角是120°.
]
知識梳理
1.|a||b|cos θ　a·b
a·b＝|a||b|cos θ　0
2.(2)a·b＝0　(4)≤
例2　解　(1)∵與的夾角為60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
(2)∵與的夾角為120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵與的夾角為60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
跟蹤訓練2　(1)0　－16　－16
(2)
知識梳理
1.投影　投影
例3　解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)a在b上的投影向量為
|a|cos θe＝e＝－e＝－e.
跟蹤訓練3　(1)1　(2)4
隨堂演練
1.C　2.B　3.A　4.e

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