資源簡介

第六章　平面向量及其應用 章末復習課
一、向量的線性運算
1.向量的線性運算有平面向量及其坐標運算的加法、減法、數(shù)乘運算，以及平面向量的基本定理、共線定理，主要考查向量的線性運算和根據(jù)線性運算求參問題.
2.通過向量的線性運算，培養(yǎng)數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).
例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則2a－b等于(　　)
A.(7，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(7,2)
(2)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
反思感悟　向量線性運算的基本原則
向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量的線性運算的結果仍是一個向量，因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面.
跟蹤訓練1　如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.2
二、向量的數(shù)量積運算
1.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內容，重點是數(shù)量積的運算，利用向量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計算向量的長度等.
2.通過向量的數(shù)量積運算，提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).
例2　(1)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________.
(2)設四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點M，N滿足＝3，＝2，則·＝______.
反思感悟　(1)向量數(shù)量積的兩種計算方法
①當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos θ；
②當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)利用向量數(shù)量積可以解決以下問題
①設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b均為非零向量)；
②求向量的夾角和模的問題
設a＝(x1，y1)，則|a|＝.
兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π，a，b為非零向量)
cos θ＝＝ .
跟蹤訓練2　已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為______.
三、余弦定理、正弦定理
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判斷三角形的形狀、求三角形的面積，以及余弦定理、正弦定理簡單的綜合應用.
2.借助解三角形，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).
例3　在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).
(1)求角C；
(2)若c＝2，D為BC的中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度.
條件①：△ABC的面積S＝4且B>A；
條件②：cos B＝.
注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.
反思感悟　(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角形變換得出三角形內角之間的關系進行求解時，注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內角關系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin A＝，cos A＝等，通過代數(shù)變換.
跟蹤訓練3　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝.
(1)求a的值；
(2)求cos C的值；
(3)求sin的值.
四、余弦、正弦定理在實際問題中的應用
1.余弦定理和正弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結果還原為實際問題進行檢驗.
2.將生活中的實際問題轉化為三角形模型，提升邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng).
例4　為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量.A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如圖).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離.請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
反思感悟　正弦、余弦定理在實際應用中應注意的問題
(1)分析題意，弄清已知元素和未知元素，根據(jù)題意畫出示意圖.
(2)明確題目中的一些名詞、術語的意義，如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)將實際問題中的數(shù)量關系歸結為數(shù)學問題，利用學過的幾何知識，作出輔助線，將已知與未知元素歸結到同一個三角形中，然后解此三角形.
(4)在選擇關系時，一是力求簡便，二是要盡可能使用題目中的原有數(shù)據(jù)，盡量減少計算中誤差的積累.
跟蹤訓練4　如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)n mile的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20 n mile的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30 n mile/h，該救援船到達D點需要多長時間？
章末復習課
例1　(1)A　(2)A
跟蹤訓練1　B
例2　(1)
(2)9
解析　因為＝＋
＝＋，
＝－＝－A，
所以·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)
＝×(16×62－9×42)＝9.
跟蹤訓練2　
解析　由⊥，知·＝0，
即·
＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λ2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，
解得λ＝.
例3　解　(1)由題意及余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A).
∴b＝c(cos A－sin A)，
由正弦定理可得
sin B＝sin C(cos A－sin A)，
∴sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
∴sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A≠0，
∴tan C＝－1，又0解得C＝.
(2)若選擇條件①，S＝4且B>A，
∵S＝4＝absin C＝absin ，
∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
∴a2＋b2＋ab＝40.
由
解得或
∵B>A，∴b>a，∴
∴CD＝.
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，
∴AD＝.
若選擇條件②，cos B＝，
∴sin B＝.
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
由正弦定理可得a＝＝2.
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB BDcos B，
解得AD＝.
跟蹤訓練3　解　(1)∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶，
又b＝，∴a＝2，c＝2.
(2)由余弦定理的推論可得
cos C＝＝＝.
(3)由(2)得cos C＝，
∴sin C＝＝，
∴sin 2C＝2sin Ccos C
＝2××＝，
cos 2C＝2cos2C－1
＝2×－1＝，
∴sin＝sin 2Ccos－cos 2Csin＝×－×＝.
例4　解　①需要測量的數(shù)據(jù)有：A觀測M，N的俯角α1，β1，B觀測M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).
②方法一　第一步：計算AM.
在△ABM中，由正弦定理得，
AM＝；
第二步：計算AN.在△ABN中，
由正弦定理得，
AN＝；
第三步：計算MN.在△AMN中，
由余弦定理得，
MN＝.
方法二　第一步：計算BM.
在△ABM中，由正弦定理得，
BM＝；
第二步：計算BN.在△ABN中，
由正弦定理得，
BN＝；
第三步：計算MN.在△BMN中，
由余弦定理得，
MN＝.
跟蹤訓練4　解　由題意知
AB＝5(3＋)n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝
＝
＝
＝＝10(n mile)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile).∴t＝＝1(h).
∴救援船到達D點需要1 h.

展開更多......

收起↑