資源簡介

第一章　集合與常用邏輯用語
§1.1 集合的概念與運(yùn)算
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合.
2.元素：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡稱元.
3.子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素（若則），則稱
集合A為集合B的子集，記為AB或BA；如果AB，并且AB，這時(shí)集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA.
4.集合的相等：如果集合A、B同時(shí)滿足AB、BA，則A=B.
5.補(bǔ)集：設(shè)AS，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記
為 .
6.全集：如果集合S包含所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看做一個(gè)全集，全集通常
記作U.
7.交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，
記作AB.
8.并集：一般地，由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并
集，記作AB.
9.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.
10.有限集：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.
11.無限集：含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.
12.集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）.
13.常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集記作N，正整數(shù)集記作N+或N，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實(shí)數(shù)集記作R.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.符號(hào)，，，，=，表示集合與集合之間的關(guān)系，其中“”包括“”和“=”兩種情況，同樣“”包括“”和“=”兩種情況.符號(hào)，表示元素與集合之間的關(guān)系.要注意兩類不同符號(hào)的區(qū)別.
2.在判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”、“無序性”.
3.在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì).
4.對(duì)由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍．用集合表示不等式（組）的解集時(shí)，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷．空集是任何集合的子集，但因?yàn)椴缓糜梦氖蠄D形表示，容易被忽視，如在關(guān)系式中，B=易漏掉的情況.
5.若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的，要注意滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之.
6.若集合中含有參數(shù)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)既不重復(fù)又不遺漏.
7.在集合運(yùn)算過程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來.
8.要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識(shí)的密切聯(lián)系與綜合使用.
9.含有n個(gè)元素的集合的所有子集個(gè)數(shù)為：，所有真子集個(gè)數(shù)為：-1
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，則M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
錯(cuò)解：求M∩N及解方程組 得 或 ∴選B
錯(cuò)因：在集合概念的理解上，僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么．事實(shí)上M、N的元素是數(shù)而不是實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，因此M、N是數(shù)集而不是點(diǎn)集,
M、N分別表示函數(shù)y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求兩函數(shù)值域的交集．
正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴應(yīng)選D．
注：集合是由元素構(gòu)成的，認(rèn)識(shí)集合要從認(rèn)識(shí)元素開始，要注意區(qū)分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，這三個(gè)集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C．
錯(cuò)解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
當(dāng)x=1時(shí)，a=2， 當(dāng)x=2時(shí)，a=1．
錯(cuò)因：上述解答只注意了B為非空集合，實(shí)際上，B=時(shí)，仍滿足A∪B=A.
當(dāng)a=0時(shí)，B=，符合題設(shè)，應(yīng)補(bǔ)上，故正確答案為C={0，1，2}．
正解：∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}
∴B=或 ∴C={0，1，2}
[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，則有： （ ）
A．m+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不屬于A，B，C中任意一個(gè)
錯(cuò)解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故選C
錯(cuò)因是上述解法縮小了m+n的取值范圍.
正解：∵mA, ∴設(shè)m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故選B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
錯(cuò)解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只須
∴ p的取值范圍是－3≤p≤3.
錯(cuò)因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時(shí)，符合題設(shè)．
正解：①當(dāng)B≠時(shí)，即p＋1≤2p－1p≥2.
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②當(dāng)B=時(shí)，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
點(diǎn)評(píng)：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)A∩B=、A∪B=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題．
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式．
解：分兩種情況進(jìn)行討論．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0時(shí)，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時(shí)，B中的三元素又相同，此時(shí)無解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
點(diǎn)評(píng)：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn).
[例6] 設(shè)A是實(shí)數(shù)集，滿足若a∈A，則A，且1(A.
⑴若2∈A，則A中至少還有幾個(gè)元素？求出這幾個(gè)元素.
⑵A能否為單元素集合？請(qǐng)說明理由.
⑶若a∈A，證明：1－∈A.
⑷求證：集合A中至少含有三個(gè)不同的元素.
解：⑴2∈A ( －1∈A ( ∈A ( 2∈A
∴ A中至少還有兩個(gè)元素：－1和
⑵如果A為單元素集合，則a＝
即＝0
該方程無實(shí)數(shù)解，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，A不可能是單元素集
⑶a∈A ( ∈A ( ∈A(A，即1－∈A
⑷由⑶知a∈A時(shí)，∈A， 1－∈A .現(xiàn)在證明a,1－, 三數(shù)互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程無解，∴a≠
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程無解∴a≠1－
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程無解∴1－≠.
綜上所述，集合A中至少有三個(gè)不同的元素.
點(diǎn)評(píng)：⑷的證明中要說明三個(gè)數(shù)互不相等，否則證明欠嚴(yán)謹(jǐn).
[例7] 設(shè)集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，試證：AB．
證明：任設(shè)∈A，
則==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),
∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*
∴ a∈B故　　　　 ①
顯然，1，而由
B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B　　　　 ②
由①、② 得AB．
點(diǎn)評(píng)：（1）判定集合間的關(guān)系，其基本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系．
（2）判定兩集合相等，主要是根據(jù)集合相等的定義．
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，?x∈?Z}，則A∩B的非空真子集的個(gè)數(shù)為（　　）
A．16????? ????B．14 C．15?????????D．322．?dāng)?shù)集{1，2，x2－3}中的x不能取的數(shù)值的集合是（　　）　A．{2，-2?}????B．{－2，－?} C．{±2，±?}?????D．{，－}3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，則P∩Q等于（ ）
A．P　　　B．Q C． 　　D．不知道
4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，則必有（ ）
A．P∩Q=　　 B．P Q C．P=Q 　　　　D．P Q
5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，則MN＝ （ ）
　　A．　　　　　　　 B．
　　C．　　　　　　　 D．
6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．
7.（06高考全國II卷）設(shè)，函數(shù)若的解集為A，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
8.已知集合A=和B=滿足
A∩B=，A∩B=，I=R，求實(shí)數(shù)a,b的值.
§1.2．常用邏輯用語
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1．邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且”、“或”、 “非”分別用符號(hào)“”“”“”表示.
2．命題：能夠判斷真假的陳述句．
3．簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題
4．復(fù)合命題：由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題，復(fù)合命題的基本形式：p或q；p且q；非p
5．四種命題的構(gòu)成：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p 則q ；逆否命題：若q 則p.
6．原命題與逆否命題同真同假，是等價(jià)命題，即“若p則q”“若q 則p ” .
7．反證法：欲證“若p則q”，從“非q”出發(fā)，導(dǎo)出矛盾，從而知“若p則非q”為假，即“若p則q”為真 .
8．充分條件與必要條件 ：
①pq ：p是q的充分條件；q是p的必要條件；
②pq ：p是q的充要條件 .
9．常用的全稱量詞：“對(duì)所有的”、“ 對(duì)任意一個(gè)”“ 對(duì)一切”“ 對(duì)每一個(gè)”“任給”等；并用符號(hào)“” 表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.
10．常用的存在量詞：“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、 “有的”、“對(duì)某個(gè)”； 并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題叫做特稱命題.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1．基本題型及其方法
（1）由給定的復(fù)合命題指出它的形式及其構(gòu)成；
（2）給定兩個(gè)簡單命題能寫出它們構(gòu)成的復(fù)合命題，并能利用真值表判斷復(fù)合命題的真假；
（3）給定命題，能寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并能運(yùn)用四種命題的相互關(guān)系，特別是互為逆否命題的等價(jià)性判斷命題的真假.注意：否命題與命題的否定是不同的.
（4）判斷兩個(gè)命題之間的充分、必要、充要關(guān)系；
方法：利用定義
（5）證明的充要條件是；
方法：分別證明充分性和必要性
（6）反證法證題的方法及步驟：反設(shè)、歸謬、結(jié)論.反證法是通過證明命題的結(jié)論的反面不成立而肯定命題的一種數(shù)學(xué)證明方法，是間接證法之一.
注：常見關(guān)鍵詞的否定：
關(guān)鍵詞
是
都是（全是）
（）
至少有一個(gè)
至多有一個(gè)
任意
存在
否定
不是
不都是（全是）
（）
一個(gè)也沒有
至少有兩個(gè)
存在
任意
2．全稱命題與特稱命題的關(guān)系：
全稱命題p:,它的否定:；特稱命題p:,它的否定:；即全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.否定一個(gè)全稱命題可以通過“舉反例”來說明.
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1] 把命題“全等三角形一定相似”寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題.
錯(cuò)解：原命題可改寫成：若兩個(gè)三角形全等，則它們一定相似.
逆命題：若兩個(gè)三角形相似，則它們?nèi)?
否命題：若兩個(gè)三角形不一定全等，則它們不一定相似.
逆否命題：若兩個(gè)三角形不一定相似，則它們不一定全等.
錯(cuò)因：對(duì)“一定”的否定把握不準(zhǔn)，“一定”的否定 “一定不”，在邏輯知識(shí)中求否定相當(dāng)于求補(bǔ)集，而“不一定”含有“一定”的意思.對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)要多與日常生活中的例子作比較，注意結(jié)合集合知識(shí).因而否命題與逆否命題錯(cuò)了.
正解：否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則它們不相似.
逆否命題：若兩個(gè)三角形不相似，則它們不全等.
[例2] 將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出否命題.a>o時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值隨x值的增加而增加.
錯(cuò)解：原命題改為：若a>o時(shí)，x的值增加，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.
錯(cuò)因：如果從字面上分析最簡單的方法是將a>o看作條件，將“隨著”看作結(jié)論，而x的值增加，y的值也增加看作研究的對(duì)象，那么原命題改為若a>o時(shí)，則函數(shù)y=ax+b的值隨著x的值增加而增加，其否命題為若ao時(shí)，則函數(shù)y=ax+b的值不隨x值的增加而增加.此題錯(cuò)解在注意力集中在“增加”兩個(gè)字上，將x值的增加當(dāng)做條件，又不把a(bǔ)>o看作前提，就變成兩個(gè)條件的命題，但寫否命題時(shí)又沒按兩個(gè)條件的規(guī)則寫，所以就錯(cuò)了.
正解：原命題改為： a>o時(shí)，若x的值增加，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.
否命題為： a>o時(shí)，若x的值不增加，則函數(shù)y=ax+b的值也不增加.
原命題也可改為：當(dāng)x的值增加時(shí)，若a>o，，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加.
否命題為： 當(dāng)x增加時(shí)，若ao，則函數(shù)y=ax+b的值不增加.
[例3] 已知h>0，設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足，命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足且，那么
A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
錯(cuò)解：,
故本題應(yīng)選C.
錯(cuò)因：（1）對(duì)充分、必要、充要條件的概念分不清，無從判斷，憑猜測產(chǎn)生錯(cuò)誤；
（2）不能運(yùn)用絕對(duì)值不等式性質(zhì)作正確推理而產(chǎn)生錯(cuò)誤.
正解：因?yàn)? 所以
兩式相減得
故
即由命題甲成立推出命題乙成立，所以甲是乙的必要條件.
由于
同理也可得
因此，命題甲成立不能確定命題乙一定成立，所以甲不是乙的充分條件，故應(yīng)選B.
[例4] 已知命題甲：a+b4, 命題乙:a且b，則命題甲是命題乙的 .
錯(cuò)解：由逆否命題與原命題同真同假知，若a=1且b=3則a+b=4成立，所以命題甲是命題乙的充分不必要條件.
錯(cuò)因 ：對(duì)命題的否定不正確.a且b的否定是a=1或b=3.
正解：當(dāng)a+b4時(shí),可選取a=1,b=5，故此時(shí)a且b不成立(a=1).
同樣，a,且b時(shí)，可選取a=2,b=2,a+b=4，故此時(shí)a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要條件.
注：a且b為真時(shí)，必須a,b同時(shí)成立.
[例5] 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 ( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
分析：本題考查簡易邏輯知識(shí).
因?yàn)閜rsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以選A
解：選A
[例6] 已知關(guān)于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0
求方程①和②都有整數(shù)解的充要條件.
解：方程①有實(shí)根的充要條件是解得m1.
方程②有實(shí)根的充要條件是，解得
故m=－1或m=0或m=1.
當(dāng)m=－1時(shí)，①方程無整數(shù)解.當(dāng)m=0時(shí)，②無整數(shù)解；
當(dāng)m=1時(shí)，①②都有整數(shù).從而①②都有整數(shù)解m=1.反之，m=1①②都有整數(shù)解.
∴①②都有整數(shù)解的充要條件是m=1.
[例7] 用反證法證明：若、、，且，，，則、、中至少有一個(gè)不小于0
證明： 假設(shè)、、均小于0，即：
----① ；
----② ；
----③；
①+②+③得，
這與矛盾，
則假設(shè)不成立，
∴、、中至少有一個(gè)不小于0
[例8] 已知命題p:方程x2＋mx＋1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實(shí)根．若“p或q”為真，“p且q”為假，求m的取值范圍．
分析：“p或q”為真，則命題p、q至少有一個(gè)為真，“p且q”為假，則命題p、q至少有一為假，因此，兩命題p、q應(yīng)一真一假，即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真.
解： 若方程x2＋mx＋1=0有兩不等的負(fù)根，則解得m＞2，
即命題p：m＞2
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實(shí)根，
則Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”為真，所以p、q至少有一為真，
又“p且q”為假，所以命題p、q至少有一為假，
因此，命題p、q應(yīng)一真一假，即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真.
∴
解得：m≥3或1＜m≤2.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1．方程至少有一個(gè)負(fù)根，則（ ）
A. 或 B. C. D.
2．“”是“或”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3．三個(gè)數(shù)不全為0的充要條件是 （ ）
A.都不是0. B.中至多一個(gè)是0.
C.中只有一個(gè)是0. D.中至少一個(gè)不是0.
4．由命題p:6是12的約數(shù)，q:6是24的約數(shù)，構(gòu)成的“p或q”形式的命題是：_ ___，“p且q”形式的命題是__ _，“非p”形式的命題是__ _.
5．若，試從
A. B. C. D. E. F. 中，選出適合下列條件者，用代號(hào)填空：
（1）使都為0的充分條件是 ；
（2）使都不為0的充分條件是 ；
（3）使中至少有一個(gè)為0的充要條件是 ；
（4）使中至少有一個(gè)不為0的充要條件是 ．
6．分別指出由下列各組命題構(gòu)成的邏輯關(guān)聯(lián)詞“或”、“且”、“非”的真假．
（1）p: 梯形有一組對(duì)邊平行；q：梯形有一組對(duì)邊相等．
（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．
（3）p: 不等式解集為R；q: 不等式解集為．
7．命題：已知a、b為實(shí)數(shù)，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，則a2－ 4b≥0.寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這些命題的真假．
8．用反證法證明：若a、b、c、d均為小于1的正數(shù)，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，則x、y、z、t四個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)不大于1．
　第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù)
§2.1　映射、函數(shù)、反函數(shù)
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.映射：一般地，設(shè)A、B兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則 ，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合 B的映射，記作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的對(duì)應(yīng)法則)　　2.函數(shù)： 設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，且B中每一個(gè)元素都的原象，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從集合A到集合 B的一個(gè)函數(shù)，記作 .
其中所有的輸入值組成的集合A稱為函數(shù)定義域.
對(duì)于A中的每一個(gè)，都有一個(gè)輸出值與之對(duì)應(yīng)，我們將所有輸出值組成的集合稱為函數(shù)的值域.
　　3.反函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=f-1(y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么x=f-1(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)
叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y). 我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f-1(x) 反函數(shù)y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.對(duì)映射概念的認(rèn)識(shí)
(1) 與 是不同的，即 與 上有序的.或者說：映射是有方向的，
(2) 輸出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到對(duì)應(yīng)的輸入值.集合A中每一個(gè)輸入值，在集合B中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合B中有剩留元素；允許多對(duì)一，不允許一對(duì)多.
(3)集合A，B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它類型的集合.
2.對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)
（1）對(duì)函數(shù)符號(hào) 的理解知道 y=與 的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量，是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 .是單值對(duì)應(yīng).
(2)注意定義中的集合 A，B都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合；
（3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法.
3.對(duì)反函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)
　（1）函數(shù)y=只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)；
　（2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不能由其解析式來求，而應(yīng)該通過原函數(shù)的值域而得.
　（3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它們的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]設(shè)M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）從M到N的映射種數(shù)；
　　　（2）從M到N的映射滿足 (a)>(b)≥f(c),試確定這樣的映射的種數(shù).
錯(cuò)解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，結(jié)合映射的概念，有
，共6個(gè)映射
(2)由（1）得滿足條件的映射僅有一種情況
錯(cuò)因：沒有找全滿足條件的映射個(gè)數(shù)，關(guān)健是對(duì)概念認(rèn)識(shí)不清
正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，結(jié)合映射的概念，有
一共有27個(gè)映射
（2）符合條件的映射共有4個(gè)
[例2]已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，求函數(shù)的定義域
錯(cuò)解：由于函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，即，
∴的定義域是[1，2]
錯(cuò)因：對(duì)函數(shù)定義域理解不透，不明白與定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實(shí)在這里只要明白：中取值的范圍與中式子的取值范圍一致就好了.
正解：由于函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，即∴滿足
，∴的定義域是[－1，0]
[例3]已知：，求.
錯(cuò)解：∵ ，∴
故，∴＝3－3＝0.
錯(cuò)因：沒有理解分段函數(shù)的意義，的自變量是3，應(yīng)代入中去，而不是代入－5中，只有將自變量化為不小于6的數(shù)才能代入解析式求解.
正解：∵ ，
∴＝＝＝7-5＝2　
[例4]已知的反函數(shù)是，如果與的圖像有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)必在直線上，判斷此命題是否正確？
錯(cuò)解：正確
錯(cuò)因：對(duì)互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù)
的圖像的交點(diǎn)中，點(diǎn)不在直線上，由此可以說明“兩互為反函數(shù)圖像的交點(diǎn)必在直線上”是不正確的.
[例5]求函數(shù)，的值域.
錯(cuò)解：
　　　又，的值域是
錯(cuò)因:對(duì)函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，錯(cuò)誤地理解為x的兩端點(diǎn)時(shí)函數(shù)值就是y的取值范圍了.
正解：配方，得
∵，對(duì)稱軸是∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值為2，
的值域是
[例6]已知，求函數(shù)的解析式.
錯(cuò)解：由已知得
即，∴
錯(cuò)因：將函數(shù)錯(cuò)誤地認(rèn)為是的反函數(shù)，是由于對(duì)函數(shù)表達(dá)式理解不透徹所致，實(shí)際上與并不是互為反函數(shù)，一般地應(yīng)該由先求，再去得到.
正解：因?yàn)榈姆春瘮?shù)為＝，
所以＝＝
[例7]根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：
（1）已知是二次函數(shù)，若，求.
（2）已知，求
（3）若滿足求
解：（1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解
設(shè)＝由于得，
又由，∴
即　
　　因此：＝
(2)本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式問題，可采用換元法求解
設(shè)
∴＝　　（）
（3）由于為抽象函數(shù)，可以用消參法求解
　用代可得：
與　　　　　
　聯(lián)列可消去得：＝.
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法.
[例8] 已知，試求的最大值.
分析：要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值.
解 由 得
又
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為
點(diǎn)評(píng)：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學(xué)生的作法如下：
由 得
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為
這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題..
[例9]設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有
，求的表達(dá)式.
解法一：由，設(shè)，
得，所以＝
解法二：令，得
即
又將用代換到上式中得＝
點(diǎn)評(píng)：所給函數(shù)中含有兩個(gè)變量時(shí)，可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù).具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1. 已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個(gè)數(shù)是（　　　 ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
2.對(duì)函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost
3.方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲線是 ( )

4.（06年高考全國II）函數(shù)f(x)＝的最小值為
A．190 B.171 C.90 D.45
5. 若函數(shù)f(x)=(x≠)在定義域內(nèi)恒有f［f(x)］=x,則m等于( )
A.3 B. C.－ D.－3
6.已知函數(shù)滿足：，，則
.
7.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達(dá)式.
8.已知函數(shù)是函數(shù)（R）的反函數(shù)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x－1成軸對(duì)稱圖形，記＝+.
（1）求函數(shù)F（x）的解析式及定義域；
（2）試問在函數(shù)F（x）的圖像上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
§2.2函數(shù)的性質(zhì)
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
　　1.函數(shù)的單調(diào)性：
　（1）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)　（2）減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＞f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).
　（3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）如y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在這區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
　　2.函數(shù)的奇偶性：
　（1）奇函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x) =－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).
　（2）一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x) =f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).
　（3）如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說f(x)具有奇偶性.
　　3.函數(shù)的圖像：將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)（x0,f(x0)），當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合（點(diǎn)集）組成的圖形就是函數(shù)y=f(x)的圖像.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
　　1. 對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解， 函數(shù)的單調(diào)性一般在函數(shù)的定義域內(nèi)的某個(gè)子區(qū)間上來討論，函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.
2.對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖像的特殊的對(duì)稱性的反映.
這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對(duì)學(xué)生能力的較高要求.
　　3. 用列表描點(diǎn)法總能作出函數(shù)的圖像，但是不了解函數(shù)本身的特點(diǎn)，就無法了解函數(shù)圖像的特點(diǎn)，如二次函數(shù)圖像是拋物線，如果不知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和存在著對(duì)稱軸，盲目地列表描點(diǎn)是很難將圖像的特征描繪出來的.
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]判斷函數(shù)的單調(diào)性.
錯(cuò)解：是減函數(shù)
錯(cuò)因：概念不清，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間），仍是從基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化.當(dāng)然這個(gè)函數(shù)可化為，從而可判斷出其單調(diào)性.
正解：　令，則該函數(shù)在R上是減函數(shù)，又在R上是減函數(shù)，
∴　是增函數(shù)
[例2]判斷函數(shù)的奇偶性.
錯(cuò)解：∵＝
　　∴
　　∴是偶函數(shù)
錯(cuò)因：對(duì)函數(shù)奇偶性定義實(shí)質(zhì)理解不全面.對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.
正解：有意義時(shí)必須滿足
即函數(shù)的定義域是｛｜｝，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
[例3] 判斷的奇偶性.
錯(cuò)解：∵
　　　∴且
　　　所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
錯(cuò)因：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義中f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，也可改為研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.
正解：方法一：∵
＝＝＝－
∴是奇函數(shù)
　　方法二：∵
＝
　　∴是奇函數(shù)
[例4]函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間是_________.
錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸是，圖像是拋物線，開口向下，由圖可知在上是增函數(shù)，所以y=的增區(qū)間是
錯(cuò)因：在求單調(diào)性的過程中注意到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究方法，但沒有考慮到函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，從而忽視了函數(shù)的定義域，導(dǎo)致了解題的錯(cuò)誤.
正解：y=的定義域是，又在區(qū)間上增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，所以y=的增區(qū)間是
[例5] 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范圍.
錯(cuò)解：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0
解得x>2或x<－3
又 f(x)是定義在(－3，3)上的函數(shù)，
所以2＜x＜3
錯(cuò)因：只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域.
正解：由,故0又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2[例6] 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).
分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形.在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想.
解：(1)當(dāng)x≥2時(shí)，即x-2≥0時(shí)，
當(dāng)x＜2時(shí)，即x-2＜0時(shí)，
所以
這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見圖)
(2)當(dāng)x≥1時(shí)，lgx≥0，y=10lgx=x；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，
所以
這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖)
點(diǎn)評(píng)：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價(jià)，要特別注意x，y的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像.
[例7]若f(x)= 在區(qū)間（－2，＋）上是增函數(shù)，求a的取值范圍
解：設(shè)
　　　
　　　由f(x)=在區(qū)間（－2，＋）上是增函數(shù)得
∴a＞
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)于單調(diào)性的問題，當(dāng)我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時(shí)，回到單調(diào)性的定義上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺.
[例8] 已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減
解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).
(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0，?
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力要求較高. 如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得. 對(duì)于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解題關(guān)鍵；對(duì)于(2)，判定的范圍是解題的焦點(diǎn).
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1.某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學(xué)校的距離，x軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則適合題意的圖形是( )
2. （05年高考重慶卷） 若函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，在 上是減函數(shù)，且 ，則使得的取值范圍是 （ ）
A. 　B. C. 　D.（－2，2）
3. （05年高考江西卷）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a= .
4. （05年高考遼寧卷）已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)，
，若，則（ ）
A. B. C. D..
5.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，＝，求.
6. 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,
當(dāng)x>－時(shí)，f(x)>0.
(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證.
7.已知函數(shù)y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)問函數(shù)f(x)圖像上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
§2.3　基本初等函數(shù)
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).
（1）注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式
二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和
二次函數(shù)的坐標(biāo)式
（2）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.
①，當(dāng)時(shí)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=.
②　二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得.
2.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).
（1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則：
①；②；③（這時(shí)m,n是有理數(shù)）
對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式.
；　
（2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).
①指數(shù)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)在x軸上方，當(dāng)a＞1時(shí)，圖像越接近y軸，底數(shù)a越大；當(dāng)0②對(duì)數(shù)函數(shù)的符號(hào)常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約，注意對(duì)底數(shù)a的討論.
③當(dāng)a>1時(shí)，圖像越接近x軸，底數(shù)a越大; 當(dāng)03.冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).
結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2 ,y=x3,y=,y=的圖像，了解它們的變化情況.
①＞0時(shí)，圖像都過（0,0）、（1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
注意＞1與0<＜1的圖像與性質(zhì)的區(qū)別.
②＜0時(shí)，圖像都過（1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖像向上無限接近y軸，向右無限接近x軸.
③當(dāng)x>1時(shí)，指數(shù)大的圖像在上方.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像.二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）定義域區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)；（2）定義域區(qū)間在對(duì)稱軸的左側(cè)；（3）對(duì)稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi)　
2.冪的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用.會(huì)用語言準(zhǔn)確敘述這些運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：
（1）式子＝，
（2）
　3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值.
　4.函數(shù)的研究方法一般是先研究的性質(zhì)，再由的情況討論的性質(zhì).
　5.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，會(huì)將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式相互轉(zhuǎn)化.
　6.冪函數(shù)的性質(zhì)，要注意的取值變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響.
（1）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]已知求
錯(cuò)解：∵∴
　∴
錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完.
正解：∵∴
　∴
[例2]分析方程（）的兩個(gè)根都大于1的充要條件.
錯(cuò)解：由于方程（）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為
的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于1即可.
　故需滿足，所以充要條件是
錯(cuò)因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于1，卻忽視了最基本的的前題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)才行，即滿足△≥0，故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.
正解：充要條件是
[例3]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
錯(cuò)解：令，則＝
∴當(dāng)t≥6,即x≥1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，
當(dāng)t≤6,即x≤1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為
錯(cuò)因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍.
正解：令，則為增函數(shù)，
＝＝
　∴當(dāng)t≥6,即x≥1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，
當(dāng)t≤6,即x≤1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為
[例4]已知在[0，1]上是的減函數(shù)，則的取值范圍是　　　　　
錯(cuò)解：∵是由，復(fù)合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知
應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1
錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在[0，1]上有意義.
正解：∵是由，復(fù)合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知
應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1
又由于 在[0，1]上時(shí) 有意義，又是減函數(shù)，∴＝1時(shí)，取最小值是＞0即可，　　∴＜2
綜上可知所求的取值范圍是1＜＜2
[例5]已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1，如果存在，試求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
分析：函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問題，分析時(shí)一般先假設(shè)存在后再證明.
解：（1）由假設(shè)，＞0，對(duì)一切恒成立，
顯然，函數(shù)g(x)= 在[0，2]上為減函數(shù)，從而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范圍是（0，1）∪（1，）
(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，由題設(shè)知，即＝1
∴＝此時(shí)
當(dāng)時(shí)，沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在.
點(diǎn)評(píng)：本題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的處理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說明假設(shè)不成立.即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決.
[例6]已知函數(shù)f(x)=, 其中為常數(shù)，若當(dāng)x∈(－∞, 1］時(shí), f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析：參數(shù)深含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于的不等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把分離出來，重新認(rèn)識(shí)與其它變?cè)?x)的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，常可使原問題“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
當(dāng)x∈(－∞, 1]時(shí), y=與y=都是減函數(shù)，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函數(shù)，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范圍是(－, +∞).
點(diǎn)評(píng)：發(fā)掘、提煉多變?cè)獑栴}中變?cè)g的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實(shí)數(shù)a的取值范圍.此法也叫主元法.
[例7]若，試求的取值范圍.
解：∵冪函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，
∴根據(jù)和的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系　
①　　　②　　　　　③
解三個(gè)不等式組：①得＜＜，②無解，③＜－1
∴的取值范圍是（－∞，－1）∪（，）
點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性；
(3)對(duì)于f(x) ,當(dāng)x ∈(－1 , 1)時(shí) , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M .
分析：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第三問.
解：(1)令t=logax(t∈R)，則
f(x)在R上都是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng)：對(duì)含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對(duì)字母進(jìn)行討論.對(duì)本例的③不需要代入f（x）的表達(dá)式可求出m的取值范圍，請(qǐng)同學(xué)們細(xì)心體會(huì).
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1. 函數(shù)的圖像如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.　　　　B.
C. D.　　　　　　
　（05年高考福建試題）
2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,則的值為（ ）
A.1 B.4 C.1或4 D.4 或 8
3、方程 (0 A.0 B.1 C.2 D.3
4、函數(shù)f(x)與g(x)=()x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則f(4－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ）
A. B. C. D.
5、圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖像，已知n可取±2，±四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線c1、c2、c3、c4的n依次為( )
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2　　
C. －，－2,2， D. 2，，－2, －
6. 求函數(shù)y = log 2 (x2 －5x+6) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.
7. 若x滿足 ,求f(x)=最大值和最小值.
8.已知定義在R上的函數(shù)為常數(shù)
（1）如果＝，求的值；
（2）當(dāng)滿足（1）時(shí)，用單調(diào)性定義討論的單調(diào)性.
§2.4　函數(shù)與方程
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：
　一般地，對(duì)于函數(shù)（）我們稱方程的實(shí)數(shù)根也叫做函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)的零點(diǎn).
2.函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系：
　　一般地，函數(shù)（）的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是的根.綜合方程f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù)y＝f(x)與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或求方程的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
　　3.判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)的方法：
　　如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)數(shù)使得，這個(gè)c也就是方程的一個(gè)根.對(duì)于我們學(xué)習(xí)的簡單函數(shù)，可以借助圖像判斷解的個(gè)數(shù)，或者把寫成，然后借助、的圖像的交點(diǎn)去判斷函數(shù)的零點(diǎn)情況.
4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系：
　　二次函數(shù)的零點(diǎn)，就是二次方程的根，也是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
5. 二分法：
　　對(duì)于區(qū)間[a,b]上的連續(xù)不斷，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是與函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 要深刻理解，解題中靈活運(yùn)用.
2.如果二次函數(shù)，在閉區(qū)間[m,n]上滿足，那么方程在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
3. 二次方程的根在某一區(qū)間時(shí)，滿足的條件應(yīng)據(jù)具體情形而定.如二次方程＝的根都在區(qū)間時(shí)
應(yīng)滿足：
4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是
（1）取一個(gè)區(qū)間（）使
（2）取區(qū)間的中點(diǎn)，
（3）計(jì)算，①若，則就是的解，計(jì)算終止；②若，則解位于區(qū)間（）中，令；若則解位于區(qū)間（）令
（4）取區(qū)間是（）的中點(diǎn)，重服第二步、第三驟直到第n步，方程的解總位于區(qū)間（）內(nèi)
（5）當(dāng)精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時(shí)，那么這個(gè)值就是所求的近似解.
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]已知函數(shù)若時(shí)，≥0恒成立，求的取值范圍.
錯(cuò)解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立
　解得的取值范圍為
錯(cuò)解：（二）∵若時(shí)，≥0恒成立
∴即
解得的取值范圍為
錯(cuò)因：對(duì)二次函數(shù)＝當(dāng)上≥0恒成立時(shí)，△≤0
片面理解為，≥0，恒成立時(shí)，△≤0 ；或者理解為
這都是由于函數(shù)性質(zhì)掌握得不透徹而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.二次函數(shù)最值問題中“軸變區(qū)間定”要對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論；“軸定區(qū)間變”要對(duì)區(qū)間進(jìn)行討論.
正解：設(shè)的最小值為
（1）當(dāng)即＞4時(shí)，＝＝7－3≥0，得故此時(shí)不存在；
(2) 當(dāng)即－4≤≤4時(shí)，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4時(shí)，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
綜上，得－7≤≤2
[例2]已知有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求的取值范圍.
錯(cuò)解：設(shè)∵有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)
∴得＜－2
錯(cuò)因：對(duì)于一般，若，那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，但不一定唯一.對(duì)于二次函數(shù)，若則在區(qū)間（a,b）上存在唯一的零點(diǎn)，一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立.
　　　但方程＝0在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時(shí)，不僅是，也有可能.如二次函數(shù)圖像是下列這種情況時(shí)，就是這種情況.
由圖可知＝0在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，但是
正解：設(shè)，（1）當(dāng)＝0時(shí)方程的根為－1，不滿足條件.
（2）當(dāng)≠0∵有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)
又＝1＞0　
　∴有兩種可能情形①得＜－2
或者②得不存在
綜上所得，＜－2
[例3]已知一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像如圖，其中
的交點(diǎn)與軸、軸的交點(diǎn)分別為A（2，0），B（0，2）；與二次函數(shù)的交點(diǎn)為P、Q，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比為1︰4.（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式.（2）解方程：
（1）錯(cuò)解：把 A（2，0），B（0，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解得
∴一次函數(shù)為
設(shè)P（1，1），Q（，2），則
1︰2＝1︰4
∴︰＝1︰4　　∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2
當(dāng)1︰2＝1︰2時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（21，41），把P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入直線方程即得　　　解得
∴P（3，－1），Q（6，－4），拋物線方程為
當(dāng)1︰2＝（－1）︰2時(shí)， Q點(diǎn)坐標(biāo)為（－21，41）把P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入直線方程即得　　　解得
∴P（1， 1），Q（－2， 4），拋物線方程為
錯(cuò)因：在得到1︰2值之后，要注意題意判斷點(diǎn)的位置關(guān)系，多余的解要舍去，題中Q在第二象限，所以不合條件.
正解：（1）拋物線方程為
（2）方法一：由（1）得方程　即為　
解得1＝－2，2＝1.
　　方法二：方程的根即為二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由（1）知它們交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（1， 1），Q（－2， 4），　
∴方程的解為1＝－2，2＝1.
[例4]是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程
2+（2k－3）－（3k－1）＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在0與2之間？如果有，試確定k的取值范圍；如果沒有，試說明理由.
錯(cuò)解：令那么由條件得到
即此不等式無解
即不存在滿足條件的k值.
錯(cuò)因：方程兩根都在0與2之間，根據(jù)圖像，可知除滿足上述條件外，還要考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間（0,2）內(nèi).
正解：令那么由條件得到
即即此不等式無解
即不存在滿足條件的k值.
[例5]已知二次函數(shù)對(duì)于1、2R，且1＜2時(shí)
，求證：方程＝有不等實(shí)根，且必有一根屬于區(qū)間（1，2）.
解：設(shè)F（）＝－，　　
則方程　　　　＝　　　　　　①
與方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等價(jià)
∵F（1）＝－＝
F（2）＝－＝
∴　F（1）·F（2）＝－，又
∴F（1）·F（2）＜0
故方程②必有一根在區(qū)間（1，2）內(nèi).由于拋物線y＝F（）在軸上、下方均有分布，所以此拋物線與軸相交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程②有兩個(gè)不等的實(shí)根，從而方程①有兩個(gè)不等的實(shí)根，且必有一根屬于區(qū)間（1，2）.
點(diǎn)評(píng)：本題由于方程是＝，其中因?yàn)橛斜磉_(dá)式，所以解題中有的學(xué)生不理解函數(shù)圖像與方程的根的聯(lián)系，誤認(rèn)為證明的圖像與軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，從而證題中著眼于證＜0，使本題沒法解決. 本題中將問題轉(zhuǎn)化為F（）＝－的圖像與軸相交于兩個(gè)不同的兩點(diǎn)是解題的關(guān)健所在.
[例6]試確定方程最小根所在的區(qū)間，并使區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù).
分析：只要構(gòu)造函數(shù)＝，計(jì)算的自變量取整數(shù)值時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)其符號(hào)，確定方程根的個(gè)數(shù)及根的分布.
解：令＝
∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　
＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
＝－2－1＋4＋2＝3＞0
＝0－0－0＋2＝2＞0
＝2－1－4＋2＝－1＜0
＝16－4－8＋2＝6＞0
根據(jù)·＜0，·＜0，·＜0
可知的零點(diǎn)分別在區(qū)間（－2，－1），（0,1），（1,2）內(nèi).
因?yàn)榉匠淌且粋€(gè)一元三次方程，所以它最多有三個(gè)根，所以原方程的最小根在區(qū)間（－2，－1）內(nèi).
點(diǎn)評(píng)：計(jì)算一元高次函數(shù)值可借助于計(jì)算器來完成，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一元n次方程最多有n個(gè)實(shí)根，當(dāng)然本題也可以用因式分解方法來解.
所以＝0有三個(gè)根：
[例7]設(shè)二次函數(shù)方程的兩個(gè)根，滿足0.
（1）當(dāng)時(shí)，證明；
（2）設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：
.
分析：（1）用作差比較法證明不等式；
（2）函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，實(shí)際直線就是二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即，然后用已知條件證明不等式即可.
證明：（1）依題意，設(shè)
當(dāng)時(shí)，由于，∴，又
∴>0即
∵0.∴
∴
綜合得
（2）依題意知，又
∴
∵∴
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數(shù)的表達(dá)式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，此直線為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即
[例8] 已知函數(shù)，且方程有實(shí)根.
(1)求證：-3(2)若m是方程的一個(gè)實(shí)根，判斷的正負(fù)并加以證明
分析：（1）題中條件涉及不等關(guān)系的有和方程有實(shí)根.
及一個(gè)等式，通過適當(dāng)代換及不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷的符號(hào)，因而只要研究出值的范圍即可定出符號(hào).
(1)證明：由，得1+2b+c=0,解得，又，
1
解得，
又由于方程有實(shí)根，即有實(shí)根，
故即解得或
∴，由，得≥0.
（2）=
∵，∴c∴c—4∴的符號(hào)為正.
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)值的符號(hào)，可以求出其值判斷，也可以靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)解題.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
2.已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1,0）兩旁，則關(guān)于的方程的根的情況是（　　）
Ａ.有兩個(gè)正數(shù)根 　　　 　B.有兩個(gè)負(fù)數(shù)根
C.有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根　　　　　　D.無實(shí)數(shù)根
3.若關(guān)于的方程在（0,1）內(nèi)恰有一解，則的取值范圍為（　　）
A. ＜－1　　　　　B. ＞1　　C. －1＜＜1　　　D.0＜＜1
4.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則b的取值范圍是（　　）
A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞)
5.已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且方程=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則這6個(gè)根的和是 .
6. 已知在二次函數(shù)的解析式中，＝－3，＝－8，且它的兩個(gè)零點(diǎn)間的距離等于2，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
7. （06年高考浙江卷）設(shè)f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
(1)a＞0且-2＜＜-1；
(2)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
8.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0，證明：f(x)的圖像與X軸相交；
(2)證明：若對(duì)x1、x2，且f(x1)f(x2),則方程必有一實(shí)根在區(qū)間（x1,x2）內(nèi)；
(3)在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(m) = －a成立時(shí),f(m+3)>0.
§2.5　函數(shù)的綜合運(yùn)用
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識(shí).在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程.這個(gè)過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，使基礎(chǔ)知識(shí)向深度和廣度發(fā)展.
2.以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體突出數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識(shí).函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想.此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法.解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化.因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
3.要重視綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng).函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識(shí).但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的意識(shí)是十分重要的.推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對(duì)這方面的考查，尤其是對(duì)代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的.本課題在例題安排上作了這方面的考慮.
4.函數(shù)應(yīng)用題主要研究如何利用函數(shù)思想解決生產(chǎn)實(shí)踐中的實(shí)際問題，要求各位同學(xué)有較寬的知識(shí)面，能讀懂題意，然后對(duì)問題進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立量與量的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題材轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對(duì)函數(shù)問題材的解決達(dá)到實(shí)際問題解決目的.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.為了能較快地解決函數(shù)綜合問題，要求各位學(xué)生
⑴在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力.
⑵掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng).
⑶初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識(shí)的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.
⑷樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題.
2.對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，是提高分析問題、解決問題能力的好途徑.不少人在數(shù)學(xué)應(yīng)用題面前，束手無策；有的讀不懂題意；有的不會(huì)歸納抽象、建模，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)加強(qiáng)提高閱讀理解能力，然后將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想去解決問題.
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1] 不等式
錯(cuò)解：
錯(cuò)因： 當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因 ），說明解法錯(cuò)誤.原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義.此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性.
正解

[例2]將進(jìn)價(jià)為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售0件，若每件售價(jià)漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤最大，并求出這個(gè)最大利潤.
錯(cuò)解：設(shè)每件售價(jià)提高x元，利潤為y元，
則y=∴=1時(shí)，（元）
錯(cuò)因：沒理解題意，每天銷售0件是在定價(jià)10元時(shí)的情況下，所設(shè)的應(yīng)理解為在定價(jià)目10元的基礎(chǔ)上，再每件售價(jià)提高x元，故利潤每件應(yīng)為（2+x）元，此時(shí)的銷售量為（0－20）元
正解：設(shè)每件售價(jià)提高x元，利潤為y元，則y==
故當(dāng)，即定價(jià)為14元時(shí)，每天可獲得最大利潤為720元.
[例3]某工廠改進(jìn)了設(shè)備，在兩年內(nèi)生產(chǎn)的月增長率都是m，則這兩年內(nèi)第二年三月份的產(chǎn)值比第一年三月份的產(chǎn)值的增長率是多少？
錯(cuò)解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為a，則經(jīng)過二年，三月份的產(chǎn)值是a(1+m)11,則所求增長率為
，或把第二年三月份的產(chǎn)值寫為a(1+m)13.
錯(cuò)因：對(duì)增長率問題的公式未透徹理解而造成錯(cuò)解，或者是由于審題不細(xì)致而造成題意的理解錯(cuò)誤.若某月的產(chǎn)值是a，則此后第月的產(chǎn)值為，指數(shù)是基數(shù)所在時(shí)間后所跨過的時(shí)間間隔數(shù).
正解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為a，則第四個(gè)月的產(chǎn)值為a(1+m)，五月份的產(chǎn)值為a(1+m)2，
從此類推，則第二年的三月份是第一年三月份后的第12個(gè)月，故第二年的三月份的產(chǎn)值是
a(1+m)12，又由增長率的概念知，這兩年的第二年的三月份的產(chǎn)值比第一年的三月份的產(chǎn)值的增長率為
[例4]在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)生路段，為了確保交通安全，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速v（單位：km/h）的平方和車身長（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個(gè)車身長.假定車身長均為（單位：m）且當(dāng)車速為50（km/h）時(shí)，車距恰為車身長，問交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大？
(車流量=)
錯(cuò)解：，將，代入得
，∴，又將代入得，
由題意得（）
將Q==（）
∵
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
綜上所知，（km/h）時(shí)，車流量Q取得最大值.
錯(cuò)因：上述解法中結(jié)果雖然正確，但解題過程中是錯(cuò)誤的，即雖然車速要求，但在行駛過程中車速有可能低于25（km/h），所以解題材中應(yīng)分兩類情形求解，得分段函數(shù).
正解：（1）依題意，
則
顯然當(dāng)時(shí)，Q是關(guān)于的增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，Q==
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，車流量Q取得最大值.
[例5] 定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，.
（1）試求的值；
（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)，若，試確定的取值范圍.
（4）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù).
解：（1）在中，令.得：.
因?yàn)椋裕?
（2）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè).
在已知條件中，若取，則已知條件可化為：.
由于，所以.
為比較的大小，只需考慮的正負(fù)即可.
在中，令，，則得.
∵ 時(shí)，，
∴ 當(dāng)時(shí)，.
又，所以，綜上，可知，對(duì)于任意，均有.
∴ .
∴ 函數(shù)在R上單調(diào)遞減.
（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含的式子.
，
，即.
由，所以，直線與圓面無公共點(diǎn).所以，
.
解得 .
（4）如.
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，將一般問題特殊化，也即選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個(gè)適合題目條件的函數(shù)，則有助于問題的思考和解決.
[例6]（02年高考）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，
（1）討論的奇偶性；
（2）求的最小值.
解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)
此時(shí)，為偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，，
，
此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
（2）（i）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為.
若，則函數(shù)在上的最小值為，且.
（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)
若，則函數(shù)在上的最小值為，且
若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.
點(diǎn)評(píng)：（1）探索函數(shù)的奇偶性，可依據(jù)定義，通過代入有
，即
可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù).
通過可得
化得 此式不管還是都不恒成立，
所以函數(shù)不可能是奇函數(shù).
（2）由于本題中含有絕對(duì)值，需要去掉，故分類討論，既要對(duì)二次函數(shù)值域的研究方法熟練掌握，又要將結(jié)論綜合，對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力及數(shù)學(xué)思想作了較好的考查.
[例7]某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息).
已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價(jià)p（元／件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月130元.
（1）若當(dāng)銷售價(jià)p為52元／件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；
（2）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？
分析：本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟危迕恳粚哟为?dú)立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面.由題目的問題找到關(guān)鍵詞——“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤”相關(guān).
從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對(duì)題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題.為此，首先應(yīng)該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價(jià)p之間的關(guān)系，然后，通過研究解析式，來對(duì)問題作出解答.
由于銷售量和各種支出均以月為單位計(jì)量，所以，先考慮月利潤.
解：（1）設(shè)該店的月利潤為S元，有職工m名.則
.
又由圖可知：.
所以，
由已知，當(dāng)時(shí)，，即
，
解得.即此時(shí)該店有50名職工.
（2）若該店只安排40名職工，則月利潤
.
當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，S取最大值7800元.
當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，S取最大值6900元.
綜上，當(dāng)時(shí)，S有最大值7800元.
設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，有
.
解得.
所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為55元.
點(diǎn)評(píng)：求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：
（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義.
（2）建模關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
（3）數(shù)理關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1.對(duì)函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost
2.用鐵管做一個(gè)形狀為直角三角形的鐵框架，要使直角三角形面積為1平方米，有下列四種長度的鐵管，最合理（夠用，浪費(fèi)又最少）的是（ ）
A.4.1米 B.4.8米 C.5米 D.5.2米
3.（05年高考湖北卷）函數(shù)的圖像大致是（ ）
4.設(shè)x1、x2為方程4x2－4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m=_________時(shí)，x12+x22有最小值_________.
5.設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M.
(2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.
(3)求證：對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.
6.（03年荊州質(zhì)量檢測）某影院共有1000個(gè)座位，票價(jià)不分等次，根據(jù)該影院的經(jīng)營經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)每張票價(jià)不超過10元時(shí)，每提高一元，將有30張票不能售出，為了獲得更高的收益，需給影院定一個(gè)比較合理的價(jià)格，要求它符合以下三個(gè)基本條件：①為了方便找零與算賬，票價(jià)為 1元的整數(shù)倍；②影院放一場電影成本費(fèi)用支出為5750元；③票房收入必需大于成本支出.用x（元）表示每張票的價(jià)格，用y（元）表示該影院放映一場電影的凈收入.
（1）求函數(shù)的解析式和它的定義域；
（2）試問在符合基本條件的前提下，每張票價(jià)定為多少時(shí)，放映一場的凈收益最大.
7.(05年高考浙江卷)已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
8.(05年高考江西卷）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3, x2=4.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；
（2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；.
9．（06年高考江蘇卷）設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（1）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
（2）求g(a)
（3）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a
第三章 基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）
3.1任意角三角函數(shù)
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1．角：角可以看成由一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的幾何圖形.角的三要素是：頂點(diǎn)、始邊、終邊.角可以任意大小，按旋轉(zhuǎn)的方向分類有正角、負(fù)角、零角.
2．弧度制：任一已知角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中是以作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，為圓的半徑.規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度與角度的換算：；；1.用弧度為單位表示角的大小時(shí)，弧度（rad）可以省略不寫.度不可省略.
4．弧長公式、扇形面積公式：,其中為弧長，為圓的半徑.圓的周長、面積公式是弧長公式和扇形面積公式中當(dāng)時(shí)的情形.
5．任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意大小的角，角終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別是.這六個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).
6．三角函數(shù)的定義域
三角函數(shù)
定義域
R
R
7．三角函數(shù)值的符號(hào)：各三角函數(shù)值在第個(gè)象限的符號(hào)如圖所示（各象限注明的函數(shù)為正，其余為負(fù)值）
可以簡記為“一全、二正、三切、四余”為正.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角
（1）角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限角（或說這個(gè)角屬于第幾象限）.它的前提是“角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，角的始邊為軸的非負(fù)半軸.否則不能如此判斷某角為第幾象限.若角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說這個(gè)角不屬于任何象限.
（2）與角終邊相同的角的集合表示.
，其中為任意角.終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差整數(shù)倍.
2．值得注意的幾種范圍角的表示法
“0～間的角”指；“第一象限角”可表示為；“小于90的角”可表示為.
3．在弧度的定義中與所取圓的半徑無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).
4．確定三角函數(shù)的定義域時(shí)，主要應(yīng)抓住分母為零時(shí)比值無意義這一關(guān)鍵.當(dāng)終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)中必有一個(gè)為0.
5．根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：（1）一個(gè)角的三角函數(shù)值只與這個(gè)角的終邊位置有關(guān)，即角與的同名三角函數(shù)值相等；（2），故有，這是三角函數(shù)中最基本的一組不等關(guān)系.
6．在計(jì)算或化簡三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)，常常需要對(duì)角的范圍以及相應(yīng)三角函數(shù)值的正負(fù)情況進(jìn)行討論.因此，在解答此類問題時(shí)要注意：（1）角的范圍是什么？（2）對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值是正還是負(fù)？（3）與此相關(guān)的定義、性質(zhì)或公式有哪些？
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]　若A、B、C是的三個(gè)內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①.　　②.　　③.　　④.
A．1 B.2 C.3 D.4
錯(cuò)解： ∴ ，故選B
錯(cuò)因：三角形中大角對(duì)大邊定理不熟悉，對(duì)函數(shù)單調(diào)性理解不到位導(dǎo)致應(yīng)用錯(cuò)誤
正解：法1在中，在大角對(duì)大邊，
法2　考慮特殊情形，A為銳角，C為鈍角，故排除B、C、D，所以選A .
[例2]已知角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則與的關(guān)系為　　　　　　　　　.
錯(cuò)解：∵角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，∴+，（
錯(cuò)因：把關(guān)于軸對(duì)稱片認(rèn)為關(guān)于軸的正半軸對(duì)稱.
正解：∵角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱
∴ 即
說明：（1）若角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則與的關(guān)系為
（2）若角的終邊關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，則與的關(guān)系為
（3）若角的終邊在同一條直線上，則與的關(guān)系為
[例3]　已知 ，試確定的象限.
錯(cuò)解：∵，∴是第二象限角，即
從而
故是第三象限角或第四象限角或是終邊在軸負(fù)半軸上的角.
錯(cuò)因：導(dǎo)出是第二象限角是正確的，由即可確定，
而題中不僅給出了符號(hào)，而且給出了具體的函數(shù)值，通過其值可進(jìn)一步確定的大小，即可進(jìn)一步縮小所在區(qū)間.
正解：∵，∴是第二象限角，
又由知
，故是第四象限角.
[例4]已知角的終邊經(jīng)過，求的值.
錯(cuò)解：
錯(cuò)因：在求得的過程中誤認(rèn)為0
正解：若，則，且角在第二象限
若，則，且角在第四象限
說明：（1）給出角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的某個(gè)三解函數(shù)值常用定義求解；
（2）本題由于所給字母的符號(hào)不確定，故要對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論.
[例5]　（1）已知為第三象限角，則是第　　　象限角，是第　　　象限角；
（2）若，則是第　　　象限角.
解：（1）是第三象限角，即
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第二象限角
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角
而的終邊落在第一、二象限或軸的非負(fù)半軸上.
（2）因?yàn)椋詾榈诙笙藿?
點(diǎn)評(píng)：為第一、二象限角時(shí)，為第一、三象限角，為第三、四象限角時(shí)，為第二、四象限角，但是它們?cè)谝韵笙藿瞧椒志€為界的不同區(qū)域.
[例6]一扇形的周長為20，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？
解：設(shè)扇形的半徑為，則扇形的弧長
扇形的面積
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí).
點(diǎn)評(píng)：涉及到最大（小）值問題時(shí)，通常先建立函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用函數(shù)求最值的方法確定最值的條件及相應(yīng)的最值.
[例7]已知是第三象限角，化簡。
解：原式＝＝
又是第三象限角，
所以，原式＝。
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)化簡一般要求是：（1）盡可能不含分母；（2）盡可能不含根式；（3）盡可能
使三角函數(shù)名稱最少；（4）盡可能求出三角函數(shù)式的值.本題的關(guān)健是如何應(yīng)用基本關(guān)系式脫去根式，進(jìn)行化簡.
[例8]　若角滿足條件，則在第（　　）象限
A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四
解：角在第二象限.故選B.
[例9]　已知，且.
（1）試判斷的符號(hào)；
（2）試判斷的符號(hào).
解：（1）由題意，，
，所以.
（2）由題意知為第二象限角，，所以.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1．已知鈍角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則的值為 ）
A． B． C． D．
2．角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則β為（ ）
A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，則角α的集合為（ ）
A．[2k－，2k +] B.( 2k－,2k+)
C.( 2k－，2k+)∪ D.以上都不對(duì)
4．當(dāng)0＜x＜時(shí),則方程cos (cosx)=0的解集為( )
A. B. C. D.
5．下列四個(gè)值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小關(guān)系是( )
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3 D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0, ),則下面四式: 中正確命題的序號(hào)是 .
①sinx＜x＜tgx ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
③sin3x+cos3x＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四組角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中終邊相同的是（ ）
A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3)
C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的終邊過點(diǎn)(sin30°，-cos30°),則sinα等于（ ）
A.  B.－  C.－ D.－
9．函數(shù)y= 的定義域是______,值域是______.
10．若點(diǎn)P在第一象限，則在［０，2］內(nèi)的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.2三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
平方關(guān)系：；商數(shù)關(guān)系：；倒數(shù)關(guān)系：
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可用圖表示
（1）三個(gè)陰影部分三角形上底邊平方和等于1的平方；
（2）對(duì)角為倒數(shù)關(guān)系；
（3）每個(gè)三角函數(shù)為相鄰兩函數(shù)的積.
2．誘導(dǎo)公式()
角 函數(shù)
正弦
余弦
記憶口訣
函數(shù)名不變
符號(hào)看象限
－
－
－
－
－
函數(shù)名不變
符號(hào)看象限
－
－
－
誘導(dǎo)公式可將“負(fù)角正化，大角小化，鈍角銳化”.
3．誘導(dǎo)公式解決常見題型
（1）求值：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)，求這個(gè)角其他三角函數(shù)；
（2）化簡：要求是能求值則求值，次數(shù)、種類盡量少，盡量化去根式，盡可能不含分母.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1．三角變換的常見技巧
“1”的代換；，，三個(gè)式子，據(jù)方程思想知一可求其二（因?yàn)槠溟g隱含著平方關(guān)系式）；
2．在進(jìn)行三角函數(shù)化簡和三角等式證明時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，一般思路是將切割化弦.盡量化同名，同次，同角；
3．已知角的某個(gè)三角函數(shù)值，求角的其余5種三角函數(shù)值時(shí)，要注意公式的合理選擇.在利用同角公式中的平方關(guān)系并要開方時(shí)，要根據(jù)角的范圍來確定符號(hào)，常要對(duì)角的范圍進(jìn)行討論.解決此類問題時(shí)，要細(xì)心求證角的范圍.
三、典型例題導(dǎo)講
[例1]已知__________
錯(cuò)解：兩邊同時(shí)平方，由得
∴解得：
或解得：
錯(cuò)因：沒有注意到條件時(shí)，由于
所以的值為正而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
正解：
兩邊同時(shí)平方，有
求出∴
[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B為銳角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
錯(cuò)解：由得tan A=tan B
錯(cuò)因：對(duì)題目最終要求理解錯(cuò)誤.不清楚最后結(jié)論用什么代數(shù)式表示
正解：由 ①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1
∴cos2B= ∴sin2B= ∴tan 2B=
∵B為銳角 ∴tan B=
得tan A=tan B=
[例3]（05年高考重慶卷）若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.
點(diǎn)評(píng)：本試題將三角函數(shù)“”誘導(dǎo)公式有機(jī)地溶于式子中，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，這就要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要腳踏實(shí)地，狠抓基礎(chǔ).
[例4] （05年高考北京卷）已知=2，求
（1）的值； （2）的值．
解：（1）∵ tan=2, ∴ ;
所以=；
（2）由(I), tanα=－, 所以==.
點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)簡潔明了，入手容易，但對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)、同角間的基本關(guān)系式要求熟練應(yīng)用，運(yùn)算準(zhǔn)確.
[例5]化簡：
錯(cuò)解：原式
錯(cuò)因：對(duì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式不完全理解，不加討論而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
正解：原式
（1）當(dāng)，時(shí)
原式+
=0
（2）當(dāng)，時(shí)
原式+
+=0
[例6]（05年高考江蘇卷）若，則=（ ）
A． B． C． D．
錯(cuò)解：===1—2=
錯(cuò)因：誘導(dǎo)公式應(yīng)用符號(hào)錯(cuò).
正解：=
=—=—1+2=—.故選A.
[例7]．（05年高考福建卷）已知.
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求的值.
解法一：（1）由
即
又 故
（2）

解法二：（1）聯(lián)立方程
由①得將其代入②，整理得
故
（2）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號(hào)等基本知識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力.
[例8] (1)化簡： ＋+cos2αcsc2α
(2)設(shè)sin(α+)=－,且sin2α＞0
求sinα,tanα
解：原式=＋ +cos2αcsc2α
=cos2α+sin2α+cos2αcsc2α
=1+cot2α
=csc2α
(2)解：由sin(α+ )=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π
kπ＜α∵cosα=- ＜0 ∴α為第三角限角
sinα=-＝ tan α= = 
點(diǎn)評(píng)：本題要求同學(xué)們熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，在求值過程中特別注意三角函數(shù)值的符號(hào)的探討.
[例9] 求函數(shù)的定義域.
解：由題意有

當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的定義域是
點(diǎn)評(píng)：有部分同學(xué)可能會(huì)認(rèn)為不等式組（*）兩者沒有公共部分，所以定義域?yàn)榭占蚴菦]有正確理解弧度與實(shí)數(shù)的關(guān)系，總認(rèn)為二者格格不入，事實(shí)上弧度也是實(shí)數(shù).
[例10] （05年高考天津卷）
已知.
解法一:由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得
即 ①
由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由兩角和的正切公式
解法二：由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得
解得
由
由于，
故在第二象限，于是.
從而（以下同解法一）.
點(diǎn)評(píng)：，，三個(gè)式子，據(jù)方程思想知一可求其二（因?yàn)槠溟g隱含著平方關(guān)系式），在求值過程中要注意符號(hào)的討論.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1． 當(dāng)0＜x＜л時(shí),則方程cos (лcosx)=0的解集為( )
A. B. C. D.
2．（05年高考全國卷Ⅰ）在中，已知，給出以下四個(gè)論斷：
① ②
③ ④
其中正確的是
A．①③ 　B.②④ C.①④ D.②③
3．（05年全國卷Ⅲ）設(shè),且,則
A. B. C. D.
4．函數(shù)
A. 增函數(shù) B. 減函數(shù)
C. 偶函數(shù) D. 奇函數(shù)
5．曲線和直線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依
次記為P1，P2，P3，…，則|P2P4|等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．
7．已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．
(1) 求f()的值； (2) 設(shè)∈(0，)，f()＝，求sin的值．
8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，
sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
9．（06年高考安徽卷）已知
（1）求的值；
（2）求的值。
3.3三角函數(shù)的恒等變換
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.兩角和、差、倍、半公式
兩角和與差的三角函數(shù)公式



二倍角公式


半角公式
， ，

2.恒等變形主要是運(yùn)用三角公式對(duì)式子進(jìn)行等價(jià)變形，常見于化簡求值和恒等式證明.恒等式證明就是利用公式消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，使左右相等，常用方法為：（1）從一邊開始證得它等于另一邊，一般由繁到簡；（2）證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子（或數(shù)值）.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的內(nèi)涵是揭示同名不同角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，常用于解決求值、化簡和證明題.
2．倍角公式的內(nèi)涵是揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律.如成立的條件是“是任意角，的2倍角”，精髓體現(xiàn)在角的“倍數(shù)”關(guān)系上.
3．公式使用過程中（1）要注意觀察差異，尋找聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，要熟悉公式的正用逆用和變形使用，也要注意公式成立的條件.例、、等.
4． 三角公式由角的拆、湊很靈活.如、、
，等，注意到倍角的相對(duì)性.
5．化為三角函數(shù)式，常見的思路為化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等.
6. 三角恒等式的證明包括無條件恒等式和有條件恒等式
(1)無條件恒等式證明,要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)的特點(diǎn),角度和函數(shù)關(guān)系,找出差異尋找突破口.
(2)有條件的等式證明,常常四尋找條件與需證式的區(qū)別與聯(lián)系,對(duì)條件或須證式進(jìn)行變形.采用消去法或基本量法等求證.

三、典型例題導(dǎo)講
[例1] 在(ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，則(C的大小應(yīng)為( )
A． B． C．或 D．或
錯(cuò)解：C
錯(cuò)因：求角C有兩解后未代入檢驗(yàn).
正解：A
[例2] 已知tan( tan(是方程x2+3x+4=0的兩根，若(，(((-)，則(+(=（ ）
A． B．或- C．-或 D．-
錯(cuò)解：B.
錯(cuò)因：未能準(zhǔn)確限制角的范圍.
正解：D.
[例3] 若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)的取值為（ ）
A. 1 B. 區(qū)間（0，1） C. D. 不能確定
錯(cuò)解：C
錯(cuò)因：此題極易認(rèn)為答案A最不可能，怎么能會(huì)與無關(guān)呢？其實(shí)這是我們忽略了一個(gè)隱含條件，導(dǎo)致了錯(cuò)選為C或D.
正解：解法一　設(shè)點(diǎn)，則此點(diǎn)滿足

解得或
即

選A
解法二：用賦值法，
令
同樣有
選A
[例4] △ABC中，已知cosA=，sinB=，則cosC的值為（ ）
A. B. C.或 D.
錯(cuò)解：C
錯(cuò)因：是忽略對(duì)題中隱含條件的挖掘.
正解：A
[例5] 已知，（），則（　　）
A、 B、 C、 D、
錯(cuò)解：A
錯(cuò)因：是忽略，而解不出
正解：C
[例6]求值：=_______________
解：答
解法一　
原式


解法二


[例7] 已知是第三象限的角，若等于（ ）
A. B. 　　　　C. D.
解：選A.
解析：




[例8]
分析：對(duì)三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)是：
（1）次數(shù)盡可能低；
（2）角盡可能少；
（3）三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；
（4）項(xiàng)數(shù)盡可能少.
觀察欲化簡的式子發(fā)現(xiàn)：
（1）次數(shù)為2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化為α，2β化為β）；
（3）函數(shù)名稱為正弦、余弦（可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一）；
（4）共有3項(xiàng)（需要減少），由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點(diǎn)不同，本題化簡方法不止一種.
解法一：（復(fù)角→單角，從“角”入手）
原式




解法二：　（從“名”入手，異名化同名）





解法三　（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）


解法四　（從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方）





點(diǎn)評(píng)：在對(duì)三角式作變形時(shí)，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問題時(shí)經(jīng)常要用的變形手法.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1.已知集合M=，N=則MUN等于（　　）
A．M B.N C.ф D.
2.若sinα+cosα=,則tanα+cotα=( 　 )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知＜α＜л＜,sinα=,則cos的值為( )
A.或- B.- C. D.以上都不對(duì)
4.已知θ=,則= .
5.計(jì)算sinsin= .
6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，則cos(A+B)的值是（　　）
A． B． C． D．
7．求值：__________
8.函數(shù)的最小值為（ ）
A. B. C. 0 D. 1
9．已知角A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且，則△ABC是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．形狀不確定
10.已知向量
（1）求的值；
（2）若的值.
3.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.三角函數(shù)線.設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)做軸于，過點(diǎn)做單位圓的切線，與角的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)，則有向線段分別叫做角的正弦線，余弦線，正切線.
2.三角函數(shù)的圖像
（1）四種圖像
（2）函數(shù)的圖像
①“五點(diǎn)作圖法”
②圖像變化規(guī)律
3.三角函數(shù)的定義域、值域及周期
4.三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.+中，及，對(duì)正弦函數(shù)圖像的影響，應(yīng)記住圖像變換是對(duì)自變量而言.
如：向右平移個(gè)單位，應(yīng)得，而不是
2.用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，將看作整體，取，來求相應(yīng)的值及對(duì)應(yīng)的值，再描點(diǎn)作圖.
3.的圖像既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.而圖像只是中心對(duì)稱圖形，掌握對(duì)稱中心和對(duì)稱軸的求法及位置特征，充分利用特征求出中的各個(gè)參數(shù).
4.三角函數(shù)的定義域是研究其它一切性質(zhì)的前提.求定義域?qū)嵸|(zhì)上是解簡單的三角不等式（組）.要考慮到分母不為零，偶次根式被開方數(shù)不小于零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1，同時(shí)還要考慮到函數(shù)本身的定義域.可用三角函數(shù)圖像或三角函數(shù)線解不等式（組）.
5.求三角函數(shù)的值域是常見題型.一類是型，這要變形成；二是含有三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)，可利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域.
6.單調(diào)性的確定，基本方法是將看作整體，如求增區(qū)間可由解出的范圍.若的系數(shù)為負(fù)數(shù)，通常先通過誘導(dǎo)公式處理.
7.利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.往往先利用對(duì)稱型或周期性轉(zhuǎn)化成同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù).

三、典型例題導(dǎo)講
[例1] 為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ）
A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
錯(cuò)解：A
錯(cuò)因：審題不仔細(xì),把目標(biāo)函數(shù)搞錯(cuò)是此題最容易犯的錯(cuò)誤.
正解：B
[例2] 函數(shù)的最小正周期為( )
A B C D
錯(cuò)解：A
錯(cuò)因：將函數(shù)解析式化為后得到周期,而忽視了定義域的限制,導(dǎo)致出錯(cuò).
正解：B
[例3]下列四個(gè)函數(shù)y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以點(diǎn)(,0)為中心對(duì)稱的三角函數(shù)有（ ）個(gè).
A．1 B．2 C．3 D．4
錯(cuò)解：B
錯(cuò)因：對(duì)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性和平移變換未能熟練掌握.
正解：D
[例4]函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 ( )
A. B. C. D.
錯(cuò)解：B
錯(cuò)因：不注意內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性.
正解： C
[例5]函數(shù)的最大值為__________.
解：

[例6] 函數(shù)的部分圖像是（ ）
解：選D.
提示：顯然

[例7] 當(dāng)
A. 最大值為1，最小值為-1 B. 最大值為1，最小值為
C. 最大值為2，最小值為 D. 最大值為2，最小值為
解：選D
解析：，而


[例8]已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
其圖像如圖所示.
（1）求函數(shù)在的表達(dá)式；
（2）求方程的解.
解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，觀察圖像易得：，即時(shí)，函數(shù)，
由函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱得，時(shí)，
函數(shù). ∴.
（2）當(dāng)時(shí)，由得，
；
當(dāng)時(shí)，由得，.
∴方程的解集為
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1.函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知點(diǎn)是函數(shù)上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且，
試根據(jù)圖像特征判定下列四個(gè)不等式的正確性：①；②；③
；④.其中正確不等式的序號(hào)是 .
3.
4.若常數(shù)α滿足＜1,求使函數(shù)f (x)=sin(x+α)+cos(x-α)為偶函數(shù)的α的值.
5．已知函數(shù)，
（1）當(dāng)y取最大值時(shí)，求自變量x的集合；
（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx，的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
6.
求函數(shù)的最小值.
7．（06年高考浙江卷）如圖，函數(shù)y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)
的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）.
(1)求φ的值；
(2)設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求
3.5解三角形及三角函數(shù)的應(yīng)用
一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.解三角形的的常用定理:
內(nèi)角和定理:結(jié)合誘導(dǎo)公式可減少角的個(gè)數(shù).
(2) 正弦定理: （指△ABC外接圓的半徑）

(3) 余弦定理: 及其變形.
(4) 勾股定理:
2.解三角形是指已知三角形中的部分元素運(yùn)用邊角的關(guān)系求得其他的邊角的問題.
三角函數(shù)的應(yīng)用是指用三角函數(shù)的理論解答生產(chǎn)、科研和日常生活中的實(shí)際應(yīng)用問題.他的顯著特點(diǎn)是（1）意義反映在三角形的邊、角關(guān)系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函數(shù)模型多種多樣，有三角函數(shù)，有代數(shù)函數(shù)，有時(shí)一個(gè)問題中三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)并存.解三角函數(shù)應(yīng)用題一般首先審題，三角函數(shù)應(yīng)用題多以“文字語言，圖形語言”并用的方式，要通過審題領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)的本質(zhì)，將問題中的邊角關(guān)系與三角形聯(lián)系起來，確定以什么樣的三角形為模型，需要哪些定理或邊角關(guān)系列出等量或不等量關(guān)系的解題思路；其次，尋求變量之間的關(guān)系，也即抽象出數(shù)學(xué)問題，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語言和符號(hào)語言等方式來思考解決問題；再次，討論對(duì)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對(duì)照討論變量的性質(zhì)，從而得到的是數(shù)學(xué)參數(shù)值；最后，按題目要求作出相應(yīng)的部分問題的結(jié)論.
二、疑難知識(shí)導(dǎo)析
1.對(duì)各類定理的應(yīng)用要注意使用其變形逆用.同時(shí)充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.
2.三角函數(shù)的應(yīng)用主要是圖像和性質(zhì)的應(yīng)用.
3.三角形中元素關(guān)系的應(yīng)用與實(shí)際問題中的應(yīng)用關(guān)鍵是如何建立數(shù)模結(jié)構(gòu).
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]已知方程（a為大于1的常數(shù)）的兩根為，，
且、，則的值是_________________.
錯(cuò)解： 是方程的兩個(gè)根
，
由===可得
錯(cuò)因：忽略了隱含限制是方程的兩個(gè)負(fù)根，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
正解： ，
是方程的兩個(gè)負(fù)根
又 即
由===可得
答案: -2 .
[例2]在中，已知，b，c是角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊，則
①若，則在R上是增函數(shù)；
②若，則ABC是；
③的最小值為；
④若，則A=B；
⑤若，則，其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是_____.
錯(cuò)解：③④⑤中未考慮.
錯(cuò)因：④中未檢驗(yàn).
正解：錯(cuò)誤命題③⑤.
①
②.
③時(shí)最小值為.
顯然.得不到最小值為.
④
或(舍) ，.
⑤
錯(cuò)誤命題是③⑤.
[例3]函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開_____________.
錯(cuò)解：
錯(cuò)因：令后忽視,從而
正解：
[例4] （06年高考江蘇卷）＝　　
【思路點(diǎn)撥】本題考查三角公式的記憶及熟練運(yùn)用三角公式計(jì)算求值
解：
＝
＝
【解后反思】方法不拘泥,要注意靈活運(yùn)用,在求三角的問題中,要注意這樣的口決“三看”即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計(jì)算角轉(zhuǎn)化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用.
[例5] 在銳角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,
=,求證：a+
解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-
又由已知=　∵銳

展開更多......

收起↑