資源簡介

第六章 立體幾何初步
§6.1 兩條直線之間的位置關系
一、知識導學
平面的基本性質.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，，有且只有一個平面.推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
空間兩條直線的位置關系，包括：相交、平行、異面.
公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理4：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.
異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離.
反證法.會用反證法證明一些簡單的問題.
二、疑難知識導析
1．異面直線是指不同在任何一個平面內，沒有公共點.強調任何一個平面.
2．異面直線所成的角是指經過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉化到三角形中求角，注意角的范圍.
3．異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，
4．異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度.求兩條異面直線的距離關鍵是找到它們的公垂線.
5．異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b,A且A,a,則a與b異面.
三、經典例題導講
[例1]在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM( ).
A .是AC和MN的公垂線. B .垂直于AC但不垂直于MN.
C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .與AC、MN都不垂直.
錯解:B.
錯因：學生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.
正解：A.
[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，G,H分別是BC,CD上的點,且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點.
錯解：證明：、F分別是AB,AD的中點,
∥BD,EF=BD,
又, GH∥BD,GH=BD,
四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T,
,F分別是AD.AC與FH交于一點.
直線EG,FH,AC相交于一點
正解：證明：、F分別是AB,AD的中點,
∥BD,EF=BD,
又,
GH∥BD,GH=BD,
四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T,
平面ABC,FH平面ACD,
T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,
,直線EG,FH,AC相交于一點T.
[例3]判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行.
錯解：認為正確.
錯因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行.
正解：假命題．
[例4] 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F．求證：E，F，G，H四點必定共線（在同一條直線上）．??分析：先確定一個平面，然后證明相關直線在這個平面內，最后證明四點共線．??證明 ∵ AB//CD， AB，CD確定一個平面β．?又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，??即 E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點．
∵ 兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，∴ E，F，G，H四點必定共線．?點?評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某兩平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結論．
[例5]如圖，已知平面α，β，且α∩β＝．設梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求證：AB，CD，共點（相交于一點）．? 分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點M，只要證明M在上，而是兩個平面α，β的交線，因此，只要證明M∈α，且M∈β即可．
證明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，?∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰．?∴ AB，CD必定相交于一點，?設 AB ∩CD＝M．?又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．?∴ M∈α∩β．?又∵ α∩β＝，∴ M∈，?即 AB，CD，共點．
?點?評：證明多條直線共點時，與證明多點共線是一樣的．
[例6]已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．? 分析：弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎上，根據平面的性質，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內．
證明 1o若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設a，b，c相交于一點?A?? ∴ 直線d和A確定一個平面α．
又設直線d與a，b，c分別相交于E，F，G，則 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可證 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α內．2o當四條直線中任何三條都不共點時，如圖．∵ 這四條直線兩兩相交，則設相交直線a，b確定一個平面α．設直線c與a，b分別交于點H，K，則 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可證 dα．∴ a，b，c，d四條直線在同一平面α內．
點?評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內．本題最容易忽視“三線共點”這一種情況．因此，在分析題意時，應仔細推敲問題中每一句話的含義．
[例7] 在立方體ABCD－A1B1C1D1中，　?。?）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內的射影；　?。?）直線BD1和直線AC的位置關系如何？　?。?）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？
解：(1)連結BD, 交AC于點O .
(2)BD1和AC是異面直線.
(3)過O作BD1的平行線交DD1于點M，連結MA、MC，則∠MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角.
不難得到MA＝MC，而O為AC的中點，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴異面直線BD1與AC所成的角為90°.
[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D，求證：AD⊥PC證明：∵　PA ⊥平面ABC∴　PA⊥BA　　又∵　BA⊥AC ∴　BA⊥平面PAC　　∴　AD是BD在平面PAC內的射影　　又∵　BD⊥PC ∴　AD⊥PC.（三垂線定理的逆定理）四、典型習題導練
1．如圖, P是△ABC所在平面外一點，連結PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所在的直線中，異面直線的對數為( )
A.2對 B.3對 C.4對 D.6對
2. 兩個正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF所成角的大小為 　．
3. 在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，體對角線DB1與面對角線BC1所成的角是 ，它們的距離是 .
4.長方體中，
則所成角的大小為_ ___.
5.關于直角AOB在定平面α內的射影有如下判斷：①可能是0°的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是180°的角. 其中正確判斷的序號是_____.（注：把你認為正確的序號都填上）. 
6．在空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，
求證：BH⊥CD
7．如圖正四面體中，D、E是棱PC上不重合的兩點；F、H分別是棱PA、PB上的點，且與P點不重合．
求證：EF和DH是異面直線．
§6.2直線與平面之間的位置關系
一、知識導學
掌握空間直線與平面的三種位置關系（直線在平面內、相交、平行）.
直線和平面所成的角，當直線與平面平行或在平面內時所成的角是，當直線與平面垂直時所成的角是9，當直線與平面斜交時所成的角是直線與它在平面內的射影所成的銳角.
掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和平面平行）和性質定理（如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行）.
直線與平面垂直的定義是：如果一條直線和一個平面內所有直線垂直，那么這條直線和這個平面垂直；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面）和性質定理（如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行）.
直線與平面的距離（一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離）.
三垂線定理（在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直）、逆定理（在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直）.
從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；③垂線段比任何一條斜線段都短.
二、疑難知識導析
1.斜線與平面所成的角關鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角.
2.在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質定理的反復運用.
3.在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質定理的反復運用，同時還要注意三垂線定理及其逆定理的運用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，如果用“無數”或“兩條”都是錯誤的.
4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點到平面的距離.“如果在平面的同一側有兩點到平面的距離（大于0）相等，則經過這兩點的直線與這個平面平行.”要注意“同一側”、“距離相等”.
三、經典例題導講
[例1]已知平面∥平面，直線平面,點P直線,平面、間的距離為8，則在內到點P的距離為10，且到的距離為9的點的軌跡是（ ）
A.一個圓 B.四個點 C.兩條直線 D .兩個點
錯解：A.
錯因：學生對點線距離、線線距離、面面距離的關系掌握不牢.
正解：B.
[例2] a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面( ).
A．有且只有一個 B．一個面或無數個
C．可能不存在 D．可能有無數個
錯解：A.
錯因：過a與b垂直的平面條件不清.
正解：C.
[例3]由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C，O為⊿ABC的外心，求證：.
錯解：因為O為⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因為PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.
錯因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對的，但它們為什么是直角呢？這里缺少必要的證明.
正解：取BC的中點D，連PD、OD，
[例4]如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC1到M點的最短路線長為，設這條最短路線與C1C的交點為N,
求: （1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；
（2）PC和NC的長；
（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆?br/>錯因：（1）不知道利用側面BCC1 B1展開圖求解,不會找 的線段在哪里;(2)不會找二面角的平面角.
正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為
(2)如圖，將側面BC1旋轉使其與側面AC1在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1 ，則MP1就是由點P沿棱柱側面經過CC1到點M的最短路線.
設PC＝，則P1C＝，
在
(3)連接PP1（如圖），則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC1平面ABC，連結CH，由三垂線定理的逆定理得，.
[例5] P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點，Q 是PA 的中點，求證：PC∥ 平面BDQ ．
　　分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內找到一條直線和已知直線平行就可以了．
證明：如圖所示，連結AC ，交BD 于點O ，
∵四邊形ABCD 是平行四邊形.
∴AO=CO ，連結OQ ，則OQ 在平面BDQ 內，且OQ 是 的中位線，∴PC∥OQ ．
∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．
點?評：應用線面平行的判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條直線與已知直線平行.
[例6] 在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，O是底面ABCD的中點．求證：EF垂直平面BB1O．
證明?： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點．
∵E、F分別是AB、BC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC．
∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD
∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，
又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，
∴AC⊥平面BB1O(線面垂直判定定理)
∵AC∥EF，
∴ EF⊥平面BB1O．
[例7]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 ．
分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 內找兩條相交直線與OE 垂直．
證明：連結B1D 、A!D 、BD ，在△B1BD 中，
　　∵E,O 分別是B1B 和DB 的中點，
　　∴EO∥B1D ．
　　∵B1A1 面AA1D1D ，
　　∴DA1 為DB1 在面AA1D1D 內的射影．
　　又∵AD1A1D ，
　　∴AD1DB1 ．
　　同理可證B1DD1C ．
　　又∵AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，
　　∴B1D 平面ACD1 ．
　　∵B1D∥OE ，
　　∴OE 平面ACD1 ．
　　點?評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉化方法．在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應用，也要注意有時是從數量關系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應用．
[例8]．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上, 點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA1B1B.
證明：
證法一.如圖,作ME∥BC,交BB1于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.
ME=NF
又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN為平行四邊形,
MN∥EF. MN∥平面AA1B1B.
證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.
∽,
又CM=DN,B1C=BD,
∥B1P.
B1P平面AA1B1B, MN∥平面AA1B1B.
證法三.如圖,作MP∥BB1,交BC于點P,連NP.
MP∥BB1,
BD=B1C,DN=CM,
NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA1B1B.
MN∥平面AA1B1B.
?四、典型習題導練
1．設a ，b 是空間兩條垂直的直線，且b∥平面 ．則在“a∥平面 ”、“a ”、“a與相交”這三種情況中，能夠出現的情況有（???? ）．
　A．0個　　B．1　　C．2個　　D．3個
2．一個面截空間四邊形的四邊得到四個交點，如果該空間四邊形僅有一條對角線與這個截面平行，那么此四個交點圍成的四邊形是（???）．
　A．梯形　　B．任意四邊形　　C．平行四邊形　　D．菱形
3．若一直線和一個平面平行，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置關系是（??? ）．
　　A．平行　　B．相交　　C．異面　　D．平行、相交或異面
4．空間四邊形的邊AB 、BC 、CD 、DA 的中點分別是E 、F 、G 、H ，若兩條對角線BD 、AC 的長分別為2和4，則EG2+HF2 的值（???? ）．
A．5　　B．10?????? C．20?????? D．40
5．點P 、Q 、R 、S 分別是空間四邊形ABCD 四邊的中點，則：當AC 時，四邊形PQRS 是______形；當AC=BD 時，四邊形PQRS 是____形．
6．已知兩個全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內，M 、N 分別在它們的對角線AC ，BF 上，且CM=BN ，
求證：MN∥ 平面BCE ．
7.如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且
證明C1C;
當的值為多少時，能使A1C平面C1BD？請給出證明.
§6.3平面與平面之間的位置關系
一、基礎知識導學
1．空間兩個平面的位置關系（有交點的是相交；沒交點的是平行）.
2．理解并掌握空間兩個平面平行的定義；掌握空間兩個平面平行判定定理（如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行）和性質定理（如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行）.
3．理解并掌握空間兩個平面垂直的定義（一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面垂直）；判定定理（如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直）和性質定理（如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面）.
4．二面角的有關概念（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角）與運算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常見作法(定義法、三垂線定理及逆定理法、垂面法等).
二、疑難知識導析
1．兩個平面的位置關系關系的判定關鍵看有沒有公共點.
2．面面平行也是推導線面平行的重要手段；還要注意平行與垂直的相互聯系，如：如果兩個平面都垂直于同一條直線，則這兩個平面平行；如果兩條直線都垂直于一個平面，則這兩條直線平行等.在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行的判定定理和性質定理的反復運用.
3．對于命題“三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線互相平行或者相交于同一點.”要會證明.
4.在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質定理的反復運用.
5．注意二面角的范圍是，找二面角的平面角時要注意與棱的垂直直線，這往往是二面角的平面角的關鍵所在.求二面角的大小還有公式,用的時候要進行交代.在二面角棱沒有給出的情況下求二面角大小方法一：補充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形時注意垂直（直角）、數據在不同的面上轉換.
三、經典例題導講
[例1]一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為α，β，則α+β滿足（ ）.
A.α+β<900 B.α+β≤900 C.α+β>900 D.α+β≥900
錯解:A.
錯因：忽視直線與二面角棱垂直的情況.
正解：B.
[例2].如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應為（ ）.
A．90° 　B．60° 　 　C．50° 　D．45°
錯解:A.
正解：C
[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面邊長是10，高是12，過底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是_____.
錯解：.用面積射影公式求解：S底=S截=.
錯因：沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形.
正解：.
[例4]點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點．沿對角線把正方形折成直二面角D－AC－B．
（1）求的大小；
（2）求二面角的大小．
錯解:不能認識折疊后變量與不變量.不會找二面角的平面角.
正解：（1）如圖，過點E作EG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H，則，．
因為二面角D－AC－B為直二面角，

又在中，，
．
．
（2）過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM．
∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．
∴就是二面角的平面角．
在RtEGM中，，，，
∴．∴．
所以，二面角的大小為
[例5]如圖，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之間，若α和β的距離是5，β和γ的距離是3，直線和α、β、γ分別交于A、B、C，AC＝12，則AB＝ ，BC＝ .
解:作′⊥α，
∵　α∥β∥γ，∴　′與β、γ也垂直，
′與α、β、γ分別交于A1、B1、C1.
因此，A1B1是α與β平面間的距離，B1C1是β與γ平面間的距離，A1C1是α與γ之間的距離.　　
∴　A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12
AB= ， ，BC= .
答：AB= ，BC＝ .
[例6] 如圖，線段PQ分別交兩個平行平面α、β于A、B兩點，線段PD分別交α、β于C、D兩點，線段QF分別交α、β于F、E兩點，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面積為72，求△BDE的面積.
解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE
又∵α∥β，∴　AF∥BE
同理可證：AC∥BD.∴∠FAC與∠EBD相等成互補
由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=　
由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=　
又∵△ACF的面積為72，即 ＝72
S=
=,
答：△BDE的面積為84平方單位.
[例7]如圖，B為ACD所在平面外一點，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心.
（1）求證：平面MNG∥平面ACD
（2）求S：S
解:（1）連結BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于P、F、H
∵　M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，
則有：
連結PF、FH、PH有MN∥PF
又PF 平面ACD
∴　MN∥平面ACD
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M
∴　平面MNG∥平面ACD.
（2）由（1）可知：
∴MG=，又PH=
∴MG=　 ，
同理：NG= ，
∴　△MNG∽△ACD，其相似比為1：3
∴S：S=　1：9
[例8]如圖，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求證：EFGH是矩形.
(2)求當點E在什么位置時，EFGH的面積最大.
(1)證明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF
同理HG∥CD.∴EF∥HG
同理HE∥GF.∴四邊形EFGH為平行四邊形
由CD∥EF，HE∥AB
∴∠HEF為CD和AB所成的角或其補角，
又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四邊形EFGH為矩形.
(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n
∴
由HE∥AB
∴
又∵四邊形EFGH為矩形
∴S矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab
∵m＋n≥2，∴（m＋n）2≥４mn
∴≤，當且僅當m＝n時取等號，即E為BD的中點時,
S矩形EFGH=ab≤ab，
矩形EFGH的面積最大為ab.
點評：求最值時經常轉化為函數求最值、不等式求最值、導數求最值、線性規劃求最值等.
四、典型習題導練
1. 山坡面α與水平面成30°的角，坡面上有一條公路AB與坡角線BC成45°的角，沿公路向上去1公里時，路基升高_____米．
2. 過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，則平面ABP與平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度數是_____．
3. 在60°二面角的棱上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內垂直于AB的線段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD長．
4.如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，
且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.
? 求證：平面ABC⊥平面BSC.???????????
5. 已知：如圖，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度數.
§6.4空間角和距離
一、知識導學
1.掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作法及運算.
2．掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點到直線（或平面）的距離、直線與平面的距離及兩平行平面間距離的求法.
二、疑難知識導析
1．求空間角的大小時，一般將其轉化為平面上的角來求，具體地將其轉化為某三角形的一個內角.
2．求二面角大小時，關鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.
3．空間距離的計算一般將其轉化為兩點間的距離.求點到平面距離時，可先找出點在平面內的射影（可用兩個平面垂直的性質），也可用等體積轉換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得
4．球面上兩點間的距離是指經過這兩點的球的大圓的劣弧的長，關鍵在于畫出經過兩點的大圓以及小圓.
5．要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.
三、經典例題導講
[例1]　平面外有兩點A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點P，且AP:PB=m:n，則點P到平面的距離為_________________.
錯解：.
錯因：只考慮AB在平面同側的情形，忽略AB在平面兩測的情況.
正解： .
[例2]與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有______個.
錯解：4個.
錯因：只分1個點與3個點在平面兩側.沒有考慮2個點與2個點在平面兩側.
正解：7個.
[例3]一個盛滿水的三棱錐形容器，不久發現三條側棱上各有一個小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（ ）
A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D.
錯解：A、B、C.由過D或E作面ABC的平行面，所截體計算而得.
正解：D.
當平面EFD處于水平位置時，容器盛水最多
最多可盛原來水得1－
[例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側棱長等于b，一條側棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個三棱柱的側面積.
錯解：一是不給出任何證明，直接計算得結果；二是作直截面的方法不當，即“過BC作平面與AA1垂直于M”；三是由條件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線”不給出論證.
正解：過點B作BM⊥AA1于M，連結CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA為公共邊，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，∴S側=(1+)ab
[例5]已知CA⊥平面α，垂足為A；AB α，BD⊥AB，且BD與α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D兩點間的距離.
解?: 本題應分兩種情況討論：
（1）如下左圖.C，D在α同側：過D作DF⊥α，垂足為F.連BF，則于是.
根據三垂線定理BD⊥AB得BF⊥AB.
在Rt△ABF中，AF=
過D作DEAC于E，則DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故
CD=
(2)如上右圖.C，D在α兩側時：同法可求得CD=
點?評: 本題是通過把已知量與未知量歸結到一個直角三角形中，應用勾股定理來求解.
[例6] （06年湖北卷）如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，.
（1）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于.
并證明你的結論.
解：解法一（1）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為
PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP與平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.
（2）可以推測，點Q應當是AICI的中點O1，因為
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根據三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。
解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
所以
又由知，為平面的一個法向量。
設AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為。
（2）若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為，則Q(x，1－，1)，。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1Q⊥AP即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求。
[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P為平面ABCD外一點，PAD是正三角形，且PA⊥AB，
求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；
（2）D點到平面PBC的距離．
解: （1）設AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設條件得PA=AD=AE，則∠EPD=90°，PD⊥PE
又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．
∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．
由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．
（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，
因此平面PDC⊥平面PBC，
作DH⊥PC，H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離．
在Rt△PDC中，，DC=2，，．
平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan，D到平面PBC的距離為.
[例8] 半徑為1的球面上有A、B、C三點，A與B和A與C的
球面距離都是，B與C的球面距離是，求過A、B、C三點的截面到球心O距離．
分析?： 轉化為以球心O為頂點，△ABC為底面的三棱錐問題解決．
由題設知△OBC是邊長為1的正三角形，△AOB和△AOC是腰長為1的全等的等腰三角形．
取BC中點D，連AD、OD，易得BC⊥面AOD，進而得面AOD⊥面ABC，過O作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC，OH的長即為
所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=
點評： 本題若注意到H是△ABC的外心，可通過解△ABC和△AHO得OH．或利用體積法．
四、典型習題導練
1．在平面角為600的二面角內有一點P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱的距離為____________.
2．異面直線a , b所成的角為，過空間一定點P，作直線，使與a ,b 所成的角均為，這樣的直線有 條.
3．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AD的中點，則點A1到平面EFB1D1的距離為
4.二面角－－內一點P，分別作兩個面的垂線PA、PB，A、B為垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距離．
5.ABCD是邊長為4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分別是AD、AB的中點．求點B到面EFG的距離．
6.如圖：二面角α--β為銳角，P為二面角內一點，P到α的 距離為，到面β的距離為4，到棱的距離為，求二面角α- -β的大小.
7.如圖，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是邊長為2的正三角形，側棱A1A與AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
(1)求點A到平面B1BCC1的距離；
(2)當AA1多長時，點A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等.
§6.5空間幾何體及投影
一、知識導學
了解投影（投影線通過物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法）、中心投影（投射線交于一點的投影稱為中心投影）、平行投影（投影線互相平行的投影稱為平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正對著投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正對著投影面的投影）的概念.
了解三視圖的有關概念（視圖是指將物體按正投影向投影面投　射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結構，稱之為三視圖）;了解三視圖畫法規則，能作出物體的三視圖.
注意投影和射影的關系，以及在解題中的作用.
二、疑難知識導析
1．三視圖間基本投影關系的三條規律：主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長對正，高平齊，寬相等”；看不見的畫虛線.
2．主視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對應物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、后、前.
三、經典例題導講
[例1]如圖，該物體的俯視圖是（?。?
錯解：B.
錯因：投影方向不對.
正解：C.
[例2] 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA1,D1C1的中點，G是正方形BDB1D1的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是（ ）
A B C D
錯解：C.
正解：D
[例3]水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正△A1B1C1，則△ABC是（ ）
A. 銳角三角形　　B. 直角三角形　　　C. 鈍角三角形 　D. 任意三角形
錯解：B.
錯因：不熟悉斜二側畫法的規則.
正解:C.
[例4] 正方體的全面積是a2，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是（ ）.
A. B. C. D.
錯解：A.
錯因：對正方體和球的關系理解不清.
正解:B.正方體的對角線就是球的直徑.
[例5]（06年江西卷）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）
A.S1(S2　　B.S1(S2　　　　C.S1=S2　　　　　　D.S1，S2的大小關系不能確定
解：連OA、OB、OC、OD
則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C
[例6]正三棱臺A1B1C1-ABC的側面與底面成45°角，求側棱與底面所成角的正切值.
解：解法一　　如圖，設O1，O為上下底面正三角形的中心，連接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.連接D1D.易證A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，過A1，D1分別作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易證E、F在AD上.
因為正三棱臺A1B1C1-ABC的側面與底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.設該正三棱臺上下底面的邊長為a,b,則AD=b,A1D1=a.
所以? A1E=O1O=D1F=FD=b-= (b-a).
AE=(b-a).
所以? tan∠A1AE=.
解法二　如圖，延長AA1，BB1，CC1，則AA1，BB1，CC1相交于一點S.顯然點S在DD1的延長線上.由解法一得知，∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.
所以? 在RtΔSOD中，SO=OD，
因為? AO=2·OD，所以? tan∠SAO=.
點評:由此例可以看出，在解決棱臺的問題時，“還臺為錐”利用棱錐的性質來解決棱臺問題是一種快捷方便的方法.
[例7] 粉碎機的下料斗是正四棱臺形，如圖所示，它的兩底面邊長分別是80 mm和440 mm，高是200 mm，計算：
（1）這個下料斗的體積；
（2）制造這樣一個下料斗所需鐵板的面積（保留兩個有效數字）？
分析：要求下料斗所需鐵板的面積，就是求正四棱臺的側面積.正四棱臺的側面積公式是S側＝（c＋c＇）h＇.
解：（1）因為S上＝4402mm2，S下＝802 mm2，h＝200 mm

（2）下底面周長c＇＝4×80＝320mm，
下底面周長c＝4×440＝1760mm，
斜高h＇＝
S正棱臺側＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×105（mm2）
答：這個下料斗的體積約為1.6×107mm3，制造這樣一個下料斗需鐵板約2.8×105mm2.
點評：對于實際問題，須分清是求幾何體的表面積，還是求側面積，還是求側面積與一個底面面積的和，還是求體積.
四、典型習題導練
1．一個直立在水平面上圓柱體的主視圖、俯視圖、左視圖分為（?。?br/>A．長方形、圓、矩形 B．矩形、長方形、圓
C．圓、長方形、矩形 D．長方形、矩形、圓
2．直角三角形繞它最長邊（即斜邊）旋轉一周得到的幾何體為（?。?br/>3.下列平面圖中不能圍成立方體的是（　）.
4．從七邊形的某個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把七邊形分成_____個三角形．
5. 在球心同側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.
第七章 平面解析幾何初步
§7.1直線和圓的方程
一、知識導學　
1．兩點間的距離公式:不論A(1，1)，B(2，2)在坐標平面上什么位置，都有d=|AB|=，特別地，與坐標軸平行的線段的長|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.
2．定比分點公式:定比分點公式是解決共線三點A(1，1)，B(2，2)，P(，)之間數量關系的一個公式，其中λ的值是起點到分點與分點到終點的有向線段的數量之比.這里起點、分點、終點的位置是可以任意選擇的，一旦選定后λ的值也就隨之確定了.若以A為起點，B為終點，P為分點，則定比分點公式是.當P點為AB的中點時，λ=1，此時中點坐標公式是.
3．直線的傾斜角和斜率的關系
（1）每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直線，其斜率與傾斜角α之間的關系是=tanα.
4．確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.
名稱
方程
說明
適用條件
斜截式
為直線的斜率
b為直線的縱截距
傾斜角為90°的直線不能用此式
點斜式
() 為直線上的已知點，為直線的斜率
傾斜角為90°的直線不能用此式
兩點式
=
()，()是直線上兩個已知點
與兩坐標軸平行的直線不能用此式
截距式
+=1
為直線的橫截距
b為直線的縱截距
過（0，0）及與兩坐標軸平行的直線不能用此式
一般式
，，分別為斜率、橫截距和縱截距
A、B不全為零
5．兩條直線的夾角。當兩直線的斜率,都存在且·≠ -1時，tanθ=，當直線的斜率不存在時，可結合圖形判斷.另外還應注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區別.
6．怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可以用斜率的關系來判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷.
（1）斜率存在且不重合的兩條直線1∶， 2∶，有以下結論：
①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2
②1⊥2·= -1
（2）對于直線1∶，2 ∶，當1，2，1，2都不為零時，有以下結論：
①1∥2=≠
②1⊥212+12 = 0
③1與2相交≠
④1與2重合==
7．點到直線的距離公式.
（1）已知一點P（）及一條直線：，則點P到直線的距離d=；
（2）兩平行直線1: ， 2: 之間的距離d=.
8．確定圓方程需要有三個互相獨立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩種形式之間的相互轉化及相互聯系
（1）圓的標準方程：，其中（，b）是圓心坐標，是圓的半徑；
（2）圓的一般方程：（＞0），圓心坐標為（-，-），半徑為=.
二、疑難知識導析　
1．直線與圓的位置關系的判定方法.
（1）方法一　直線：；圓：.
一元二次方程
（2）方法二　直線: ；圓：，圓心（，b）到直線的距離為
d=
2．兩圓的位置關系的判定方法.
設兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為1，2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關系如下：
|O1O2|>1+2兩圓外離；
|O1O2|=1+2兩圓外切；
| 1-2|<|O1O2|<1+2兩圓相交；
| O1O2 |=|1-2|兩圓內切；
0<| O1O2|<| 1-2|兩圓內含.
三、經典例題導講　
［例1］直線l經過P（2,3）,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.
錯解：設直線方程為:,又過P(2,3),∴,求得a=5
∴直線方程為x+y-5=0.
錯因：直線方程的截距式: 的條件是:≠0且b≠0,本題忽略了這一情形.
正解：在原解的基礎上,再補充這樣的過程:當直線過(0,0)時,此時斜率為:,
∴直線方程為y=x
綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x .
［例2］已知動點P到y軸的距離的3倍等于它到點A(1,3)的距離的平方,求動點P的軌跡方程.
錯解：設動點P坐標為(x,y).由已知3
化簡3=x2-2x+1+y2-6y+9 .
當x≥0時得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①
當x＜0時得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②
錯因：上述過程清楚點到y軸距離的意義及兩點間距離公式,并且正確應用絕對值定義將方程分類化簡,但進一步研究化簡后的兩個方程,配方后得
(x-)2+(y-3)2 =  ① 和 (x+)2+(y-3)2 = -  ②
兩個平方數之和不可能為負數,故方程②的情況不會出現.
正解：　接前面的過程,∵方程①化為(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化為(x+)2+(y-3)2 = - ,由于兩個平方數之和不可能為負數,故所求動點P的軌跡方程為: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)
［例3］m是什么數時，關于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的圖象表示一個圓？
錯解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
∴當m=1或m=-3時，x2和y2項的系數相等，這時，原方程的圖象表示一個圓
錯因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：
A=C≠0且＜0.
正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
當m=1時，方程為2x2+2y2=-3不合題意，舍去.
當m=-3時，方程為14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的圖形表示圓.
［例4］自點A(-3，3)發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光線L所在的直線方程.
錯解：設反射光線為L′,由于L和L′關于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關于x軸的對稱點A′(-3，-3)，于是L′過A(-3，-3).
　　設L′的斜率為k，則L′的方程為y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圓方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r＝1
因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1
　　即
　　整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝　　L′的方程為y+3＝(x+3)
　　即4x-3y+3＝0　　因L和L′關于x軸對稱
　　故L的方程為4x+3y+3＝0.
錯因：漏解
正解：設反射光線為L′,由于L和L′關于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關于x軸的對稱點A′(-3，-3)，　于是L′過A(-3，-3).
　　設L′的斜率為k，則L′的方程為y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
　　已知圓方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r＝1
　　因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1
　　即
　　整理得12k2-25k+12＝0
　　解得k＝或k＝
　　L′的方程為y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。
　　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
　　因L和L′關于x軸對稱
　　故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求過直線和圓的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：
過原點；（2）有最小面積.
解：設所求圓的方程是：
即：
（1）因為圓過原點，所以，即
故所求圓的方程為：.
將圓系方程化為標準式，有：
當其半徑最小時，圓的面積最小，此時為所求.
故滿足條件的圓的方程是.
點評：（1）直線和圓相交問題，這里應用了曲線系方程，這種解法比較方便；當然也可以待定系數法。（2）面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.
［例6］（06年遼寧理科）已知點A()，B()（≠0）是拋物線上的兩個動點，O是坐標原點，向量滿足｜｜＝｜｜.設圓C的方程為
（1）證明線段AB是圓C的直徑；
（2）當圓C的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值.
解：（1）證明　∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，
　整理得：＝0　　∴＋＝0
設M（）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則＝0
即?。?
整理得：
故線段AB是圓C的直徑.
（2）設圓C的圓心為C（），則
∵，
∴
又∵＋＝0　，＝－
∴－
∵≠0，∴≠0
∴＝－4
　＝
所以圓心的軌跡方程為
設圓心C到直線的距離為ｄ，則
＝
當＝時，ｄ有最小值，由題設得＝
∴＝2.
四、典型習題導練　
1．直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 （ ）
A. B. C. D.
2.已知直線x=a(a＞0)和圓(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3. 如果實數x、y滿足等式(x-2)2+y2＝３，則的最大值為： .
4.設正方形ABCD（A、B、C、D順時針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D點所在直線l的斜率為.
（1）求外接圓圓心M點的坐標及正方形對角線AC、BD的斜率；
（2）如果在x軸上方的A、B兩點在一條以原點為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；
（3）如果ABCD的外接圓半徑為2，在x軸上方的A、B兩點在一條以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程.
5.如圖，已知圓C：（x+4）2+y2=4。圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切。圓 D與y軸交于A、B兩點，點P為(-3，0).
（1）若點D坐標為（0，3），求∠APB的正切值；
（2）當點D在y軸上運動時，求∠APB的正切值的最大值；
（3）在x軸上是否存在定點Q，當圓D在y軸上運動時，∠AQB是定值？如果存在，求出點Q坐標；如果不存在，說明理由.
§7.2圓錐曲線
一、知識導學　
1．橢圓定義：在平面內，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡
2．橢圓的標準方程：， （）
3橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內常數，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數就是離心率
橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式
4．橢圓的準線方程
對于，左準線；右準線
對于，下準線；上準線
5.焦點到準線的距離（焦參數）
橢圓的準線方程有兩條，這兩條準線在橢圓外部，與短軸平行，且關于短軸對稱
6橢圓的參數方程
7．雙曲線的定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距
8．雙曲線的標準方程及特點：
（1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：
焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)；
焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)
(2)有關系式成立，且
其中與b的大小關系:可以為
9焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數是正的，那么焦點在軸上；項的系數是正的，那么焦點在軸上
10．雙曲線的幾何性質：
（1）范圍、對稱性
由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-,x=之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心
（2）頂點
頂點：，特殊點：
實軸：長為2, 叫做半實軸長 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長
雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異
（3）漸近線
過雙曲線的漸近線（）
（4）離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：
雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊
11． 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數的點的軌跡是雙曲線 其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線 常數e是雙曲線的離心率．
12．雙曲線的準線方程：
對于來說，相對于左焦點對應著左準線，相對于右焦點對應著右準線；
焦點到準線的距離（也叫焦參數）
對于來說，相對于上焦點對應著上準線；相對于下焦點對應著下準線
拋物線
圖形
方程
焦點
準線
13 拋物線定義：
平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線
二、疑難知識導析　
橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義、標準方程及其推導過程以及簡單的幾何性質都存在著相似之處，也有著一定的區別,因此，要準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區別與聯系
1．等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率
2．共漸近線的雙曲線系
如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成
3．共軛雙曲線
以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變為-1
4．拋物線的幾何性質
（1）范圍
因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．
（2）對稱性
以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．
（3）頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點．
（4）離心率
拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．
19拋物線的焦半徑公式：
拋物線，
拋物線，
拋物線，
拋物線，
三、經典例題導講　
[例1]設雙曲線的漸近線為：，求其離心率.
錯解：由雙曲線的漸近線為：，可得：，從而
剖析：由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點的位置在x軸上的，當焦點的位置在y軸上時，，故本題應有兩解，即：
或.
［例2］設點P(x,y)在橢圓上，求的最大、最小值.
錯解：因 ∴，得：，同理得：，故 ∴最大、最小值分別為3,-3.
剖析：本題中x、y除了分別滿足以上條件外，還受制約條件的約束.當x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實本題只需令，則，故其最大值為，最小值為.
［例3］已知雙曲線的右準線為，右焦點,離心率,求雙曲線方程.
錯解一： 故所求的雙曲線方程為
錯解二： 由焦點知
故所求的雙曲線方程為
錯因：　這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產生錯誤解法.
解法一： 設為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為，右焦點，離心率，由雙曲線的定義知 整理得
解法二： 依題意，設雙曲線的中心為,
則 解得 ,所以
故所求雙曲線方程為
［例4］設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程.
錯解：依題意可設橢圓方程為
則 ，
所以 ，即
設橢圓上的點到點的距離為，
則

所以當時，有最大值，從而也有最大值。
所以 ，由此解得：
于是所求橢圓的方程為
錯因：盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結果正確只是碰巧而已。由當時，有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮到的取值范圍.事實上，由于點在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時，應分類討論.
正解：若，則當時，（從而）有最大值.
于是從而解得.
所以必有，此時當時，（從而）有最大值，
所以，解得
于是所求橢圓的方程為
［例5］從橢圓,(>b>0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F1，A、B分別是橢圓長、短軸的端點，AB∥OM設Q是橢圓上任意一點，當QF2⊥AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若⊿F1PQ的面積為20，求此時橢圓的方程
解：本題可用待定系數法求解
∵b=c, =c，可設橢圓方程為
∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)，
代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0，
根據弦長公式，得,
又點F1到PQ的距離d=c
∴ ,由
故所求橢圓方程為
［例6］已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長
解：a=3,b=1,c=2; 則F（-2，0）
由題意知：與聯立消去y得：
設A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理，
，又因為A、B、F都是直線上的點，
所以|AB|=
點評：也可利用“焦半徑”公式計算
［例7］（06年全國理科）設P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求｜PQ｜的最大值.
解： 依題意可設P（0,1），Q（），則｜PQ｜＝，又因為Q在橢圓上，所以，，｜PQ｜2＝＝
＝.
因為≤1，＞1，若≥，則≤1，當時，｜PQ｜取最大值；若1＜＜，則當時，｜PQ｜取最大值2.
［例8］已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點，且=4，求雙曲線方程
解：設所求雙曲線方程為，由右焦點為（2，0）知C=2，b2=4-2
則雙曲線方程為，設直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0
設M（x1,y1）,N(x2,y2),則，

解得　，
故所求雙曲線方程為：
點評：利用待定系數法求曲線方程，運用一元二次方程的根與系數關系將兩根之和與積整體代入，體現了數學的整體思想，也簡化了計算，要求學生熟練掌握
四、典型習題導練　
1. 設雙曲線兩焦點為F1、F2,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過F1作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則點P的軌跡是　?。? ）
A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分
C.拋物線的一部分 D.圓的一部分.
2．已知點(-2，3)與拋物線y2=2px(p＞0)的焦點 的距離是5，則p= .
3.平面內有兩定點上，求一點P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.
4.已知橢圓的離心率為.（1）若圓（x-2）2+(y-1)2=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；（2）設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為600，求的值.
5.已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值．
6.線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線
（1）求拋物線方程；
（2）若的取值范圍
§7.3 點、直線和圓錐曲線
一、知識導學　
點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關系
已知（a＞b＞0）的焦點為F1、F2, （a＞0,b＞0）
的焦點為F1、F2，(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到拋物線的準線的距離為d，則有：
上述結論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關系進行證明．
2．直線∶Ax＋B＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關系：
直線與圓錐曲線的位置關系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．這三種位置關系的判定條件可引導學生歸納為：
設直線:Ax+By+C=0,圓錐曲線C:f(x,y)=0,由
消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,（若a≠0時），
△＞0相交 △＜0相離 △= 0相切
注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．
二、疑難知識導析　
1．橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率。 焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點）.
焦半徑公式的兩種形式的區別只和焦點的左右有關，而與點在左在右無關 可以記為：左加右減，上減下加.
2．雙曲線的焦半徑
定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，叫做雙曲線的焦半徑.
焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：
焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：
（ 其中分別是雙曲線的下上焦點）
3．雙曲線的焦點弦：
定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦。
焦點弦公式：
當雙曲線焦點在x軸上時，
過左焦點與左支交于兩點時： ；
過右焦點與右支交于兩點時：。
當雙曲線焦點在y軸上時，
過左焦點與左支交于兩點時：；
過右焦點與右支交于兩點時：。
4．雙曲線的通徑：
定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 .
5．直線和拋物線
（1）位置關系：
相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點）.
聯立，得關于x的方程
當（二次項系數為零），唯一一個公共點（交點）；
當，則
若，兩個公共點（交點）；
，一個公共點（切點）；
，無公共點 （相離）.
（2）相交弦長：
弦長公式：.
（3）焦點弦公式：
拋物線， .
拋物線， .
拋物線， .
拋物線，.
（4）通徑：
定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 通徑：.
（5）常用結論：
和
和.
三、經典例題導講　
[例1]求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點.
錯解： 設所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為
，消去得整理得
直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為
正解： ①當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切.②當所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點.③一般地，設所求的過點的直線為,則，
令解得k = ,∴ 所求直線為
綜上，滿足條件的直線為：
[例2]已知曲線C：與直線L：僅有一個公共點，求m的范圍.
錯解：曲線C：可化為①，聯立，得：
，由Δ＝0,得.
錯因：方程①與原方程并不等價，應加上.
正解：原方程的對應曲線應為橢圓的上半部分.（如圖），結合圖形易求得m的范圍為.
注意：在將方程變形時應時時注意范圍的變化，這樣才不會出錯.
[例3]已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點，且P為AB中點.
錯解：（1）過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求.
（2）設過P的直線方程為，代入并整理得：
∴，又∵ ∴
解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的.
正解：接以上過程，考慮隱含條件“Δ>0”，當k=2時代入方程可知Δ<0，故這樣的直線不存在.
[例4]已知A、B是圓與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F, 使 | | PE |－| PF | | 為定值？若存在，求出E、F的坐標；若不存在，請說明理由.
解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),
設 P ( x, y ), C ( ) , 則 D (),
由A、C、P三點共線得 ①
由D、B、P三點共線得 ②
①×② 得 ③
又 , ∴， 代入③得 ，
即點P在雙曲線上， 故由雙曲線定義知，存在兩個定點E (－, 0 )、
F (, 0 )（即此雙曲線的焦點），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此雙曲線的實軸長為定值).
[例5]已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求橢圓的方程.
解：設所求橢圓的方程為=1.
　　依題意知，點P、Q的坐標滿足方程組：
　　
　　將②代入①，整理得
　　 ， ③
設方程③的兩個根分別為、，則直線y=x+1和橢圓的交點為
P(,+1)，Q(,+1)
　　由題設OP⊥OQ，｜OP｜=，可得
　　
　　整理得
　　
　　解這個方程組，得
或
　　根據根與系數的關系，由③式得
　　 (1) 或 (2)
　　解方程組(1)、(2)得
　 　 或
　　故所求橢圓方程為
　=1 ， 或 =1.
[例6]（06年高考湖南）已知橢圓C1：＝1，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點。（1）當AB⊥軸時，求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；（2）若＝，且拋物線C2的焦點在直線AB上，求的值及直線AB的方程.
解：（1）當AB⊥軸時，點A、B關于軸對稱，所以＝0，直線AB的方程為＝1，
　從而點A的坐標為（1，）或（1，－），
　因為點A在拋物線上，所以，＝.
　此時，拋物線C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.
(2)當拋物線C2的焦點在直線AB上時，由（1）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為　.
　由消去得　　　　①
設A、B的坐標分別為　（）、（）.
則，是方程①的兩根，＋＝.
因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是C2的焦點的弦，
所以｜AB｜＝（2－）＋（2－）＝4－，且
｜AB｜＝（）＋（）＝＝.
從而＝4－
所以，即
解得.
因為C2的焦點F、（）在直線上，所以，
即
當時直線AB的方程為；
當時直線AB的方程為.
四、典型習題導練　
1．頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線l：y=2x+1截得的弦長為，則拋物線方程為
2.直線m：y=kx+1和雙曲線x2－y2=1的左支交于A、B兩點，直線l過點P（－2，0）和線段AB的中點，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為
3．
試求m的取值范圍.

4． 設過原點的直線l與拋物線y2=4(x－1)交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線的焦點F，
（1）求直線l的方程；
（2）求|AB|的長.
5． 如圖，過拋物線y2=4x的頂點O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點的坐標；(2)求MN中點的軌跡方程.
9．設曲線C的方程是y＝x3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t,s單 位長度后得曲線C1.
　　(1)寫出曲線C1的方程；
　　(2)證明曲線C與C1關于點A()對稱；
　　(3)如果曲線C與C1有且僅有一個公共點，證明s＝且t≠0.
§7.4軌跡問題
一、知識導學　
1.方程的曲線
在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：
(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.
2.點與曲線的關系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y0)=0；
點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0兩條曲線的交點 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點
方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點.
3.圓錐曲線的統一定義
平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.
其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率.
當0＜e＜1時，軌跡為橢圓
當e=1時，軌跡為拋物線
當e＞1時，軌跡為雙曲線
4.坐標變換
（1）坐標變換 在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸.
（2）坐標軸的平移公式 設平面內任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是(x′,y′).設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則
(1) 或 (2)
公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.
二、疑難知識導析　
1.在求曲線軌跡方程的過程中,要注意：
(1)理解題意,弄清題目中的已知和結論,發現已知和未知的關系,進行知識的重新組合；
(2)合理進行數學語言間的轉換,數學語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,通過審題畫出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計算的關系化為能直接進行數學處理的關系式,把不便于進行數學處理的語言化為便于數學處理的語言；
(3)注意挖掘題目中的隱含條件；
(4)注意反饋和檢驗.
2.求軌跡方程的基本方法有：
(1)直接法：若動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關系,則將這些關系“翻譯”成x,y的關系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標系—設點—列式—代換—化簡、整理.
(2)定義法：即當動點的軌跡滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時,則可根據這種曲線的定義建立方程.
(3)待定系數法：已知動點的軌跡是某種圓錐曲線,則可先設出含有待定系數的方程,再根據動點滿足的條件確定待定系數.
(4)相關點法：當動點P(x,y)隨著另一動點Q(x1,y1)的運動而運動時,而動點Q在某已知曲線上,且Q點的坐標可用P點的坐標來表示,則可代入動點Q的方程中,求得動點P的軌跡方程.
(5)參數法：當動點P的坐標x、y之間的直接關系不易建立時,可適當地選取中間變量t,并用t表示動點的坐標x、y,從而得到動點軌跡的參數方程 ,消去t,便可得動點P的普通方程.
另外,還有交軌法、幾何法等.
3.在求軌跡問題時常用的數學思想是：
(1)函數與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程,是將幾何條件(性質)表示為動點坐標x、y的方程及函數關系；
(2)數形結合的思想：由曲線的幾何性質求曲線方程是“數”與“形”的有機結合；
(3)等價轉化的思想：通過坐標系使“數”與“形”相互結合,在解決問題時又需要相互轉化.
三、經典例題導講　
[例1]如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.
解：設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.
設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.
技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.
[例2]某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？
解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內切，與⊙A、⊙B相外切.
建立如圖所示的坐標系，并設⊙P的半徑為r,則
|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5
∴點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為
=1 ①
同理P也在以O、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為
(x－)2+y2=1 ②
由①、②可解得，∴r=
故所求圓柱的直徑為 cm.
[例3] 直線L：與圓O：相交于A、B兩點，當k變動時，弦AB的中點M的軌跡方程.
錯解：易知直線恒過定點P（5,0），再由，得：
∴，整理得：
分析：求動點軌跡時應注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點M應在圓內，故易求得軌跡為圓內的部分，此時.
[例4] 已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數λ,求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.
解：建立坐標系如圖所示，
設|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).
設M(x,y）是軌跡上任意一點.
則由題設，得=λ,坐標代入，得=λ,化簡得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)當λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸).
(2)當λ≠1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點M的軌跡是以
(－，0)為圓心，為半徑的圓.
[例5]若拋物線y=ax2-1上，總存在不同的兩點A、B關于直線y+x=0對稱，求實數a的取值范圍.
分析：若存在A、B關于直線y+x=0對稱，A、B必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax2-1相交的直線上，并且A、B的中點M恒在直線y+x=0上.
解：如圖所示，設與直線y+x=0垂直的直線系方程為
y=x+b
由 得
ax2-x-(b+1)=0　　 ①
令 △＞0
即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0
整理得
4ab+4a+1＞0 ?、?br/>在②的條件下，由①可以得到直線y=x+b、拋物線y=ax2-1的交點A、B的中點M的坐標為
（,+b）,要使A、B關于直線y+x=0對稱，則中點M應該在直線y+x=0上，所以有
+（+b）=0 ③
即 b=- 代入②解不等式得 a＞
因此，當a＞時，拋物線y=ax2-1上總存在不同的兩點A、B關于直線y+x=0對稱.
四、典型習題導練　
1.已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線的一支 D.拋物線
2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_________.
3．設直線2x-y-=0與y軸的交點為P，點P把圓(x+1)2+y2 ＝25的直徑分為兩段，則其長度之比是
4.已知A、B、C是直線上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線于點A，又過B、C作⊙O′異于的兩切線，設這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程.
5.雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.
6.已知橢圓=1(a＞b＞0),點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，∠F1PF2的外角平分線為，點F2關于的對稱點為Q，F2Q交于點R.
(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
(2)設點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值.
§7．5綜合問題選講
一、知識導學　
(一)直線和圓的方程
1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程.
2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系.
3．了解二元一次不等式表示平面區域.
4．了解線性規劃的意義，并會簡單的應用.
5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.
6．掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程.
(二)圓錐曲線方程
掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質.
掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.
掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.
4．了解圓錐曲線的初步應用.
（三）目標
1.能正確導出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發推導出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據已知條件，熟練地選擇恰當的方程形式寫出直線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉化，能利用直線的方程來研究與直線有關的問題了.
2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區域，知道線性規劃的意義，知道線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規劃方法在數學方面的應用；會用線性規劃方法解決一些實際問題.
3.理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.
4．掌握圓的標準方程：（r＞0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化，能根據條件，用待定系數法求出圓的方程，理解圓的參數方程（θ為參數），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關系的判定方法.
5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握、b、、、之間的關系及相應的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數方程，并掌握它的應用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關系的判定方法.
二、疑難知識導析　
1． ⑴ 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率反映了直線相對于軸的傾斜程度.當斜率存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當斜率不存在時，直線方程為=（∈R）.因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率存在與否，要分別考慮.
⑵ 直線的截距式是兩點式的特例，、b分別是直線在軸、軸上的截距，因為≠0，b≠0，所以當直線平行于軸、平行于軸或直線經過原點，不能用截距式求出它的方程，而應選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結果，如無特別強調，都應寫成一般式.
⑷當直線或的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質的運用，這樣可以簡化計算.
2. ⑴用待定系數法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在軸上還是軸上，還是兩種都存在.
⑵注意橢圓定義、性質的運用，熟練地進行、b、、間的互求，并能根據所給的方程畫出橢圓.
⑶求雙曲線的標準方程 應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程后，運用待定系數法求解.
⑷雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：
，其中是一個不為零的常數.
⑸雙曲線的標準方程有兩個和（＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.
⑹求拋物線的標準方程，要線根據題設判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方程，要線根據題設判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數的值.同時，應明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.
三、經典例題導講
[例1]已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=(0<<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.
(1)寫出直線的方程；
（2）計算出點P、Q的坐標；
（3）證明：由點P發出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.
解: (1 ) 顯然, 于是 直線的方程為；
（2）由方程組 解出 、；
（3）, .
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.
[例2]設P是圓M：(-5)2+(-5)2=1上的動點，它關于A(9, 0)的對稱點為Q，把P繞原點依逆時針方向旋轉90°到點S，求|SQ|的最值.
解：設P(,)，則Q(18-, -)，記P點對應的復數為+，則S點對應的復數為： (+)·=-+，即S(-, )
∴
其中可以看作是點P到定點B(9, -9)的距離，共最大值為最小值為，則
|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為.
[例4]（02年天津卷）已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數列，
（1）點P的軌跡是什么曲線？
（2）若點P坐標為，為的夾角，求tanθ.
解：（1）記P（, ），由M（-1，0）N（1，0）得

所以

于是， 是公差小于零的等差數列等價于
即
所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.
（2）點P的坐標為。.
因為 0〈， 所以 .
[例4]艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發現動物信號，4秒后B、C同時發現這種信號，A發射麻醉炮彈.設艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發射炮彈的方位角和仰角應是多少？
分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應對方位角的概念掌握清楚.
技巧與方法：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.
解：取AB所在直線為軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為(3，0)、(－3，0)、(－5，2).
由于B、C同時發現動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為－3+7=0.
又由A、B兩艦發現動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線=1的右支上.
直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.
據已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發射炮彈的方位角應是北偏東30°.
設發射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則,
∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.
答：方位角北偏東300，仰角30°.
解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.
(1)對于求曲線方程中參數的取值范圍問題，需構造參數滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數的取值范圍；或建立關于參數的目標函數，轉化為函數的值域.
(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值.
[例5]已知拋物線C：2=4.
(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線C的焦點F及準線分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；
(2)若M(m,0)是軸上的一定點，Q是(1)所求軌跡上任一點，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.
解：由拋物線2=4,得焦點F(1,0),準線：=－1.
(1)設P(,)，則B(2－1,2),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=,又設點B到的距離為,則|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2－2)2+(2)2=2(2－2),化簡得P點軌跡方程為2=－1(＞1).
(2)設Q(,y),則
|MQ|=?
(ⅰ)當m－≤1,即m≤時，函數=[－(m－)2]+m－在(1，+∞)上遞增，故無最小值，亦即|MQ|無最小值.
(ⅱ)當m－＞1,即m＞時，函數=[2－(m－)2]+m－在=m－處有最小值m－,∴|MQ|min=.
[例6]已知拋物線C的對稱軸與軸平行，頂點到原點的距離為5.若將拋物線C向上平移3個單位，則在軸上截得的線段長為原拋物線C在軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線C的方程.
解:設所求拋物線方程為(-)2=(-)( ∈R, ≠0) 　　 ①
由①的頂點到原點的距離為5，得=5 ?、?br/>在①中，令=0，得2-2+2+=0。設方程的二根為1,2，則
|1-2|=2.
將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為
(-h)2=(--3)
令=0，得2-2+2++3=0。設方程的二根為3,4，則
|3-4|=2.
依題意得2=·2，
即 4(+3)= ③
將拋物線①向左平移1個單位，得(-+1)2=(-),
由拋物線過原點，得(1-)2=- ④
由②③④得=1，=3, =-4或=4，=-3, =-4.
∴所求拋物線方程為(-3)2=+4，或(+3)2=4(+4).
四、典型習題導練　
1．過拋物線2=4的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點.
（1）設點P分有向線段所成的比為，證明:；
（2）設直線AB的方程是-2+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.
2．制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目. 根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損分別為30﹪和10﹪. 投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元. 問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？
3．直線的右支交于不同的兩點A、B.
（1）求實數的取值范圍；
（2）是否存在實數，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
4.已知傾斜角為的直線過點A（1，－2）和點B，B在第一象限，｜AB｜＝3.
(1) 求點B的坐標；
若直線與雙曲線相交于、兩點，且線段的中點坐標為（4,1），求的值；
對于平面上任一點，當點Q在線段AB上運動時，稱｜PQ｜的最小值為與線段的距離. 已知點在軸上運動，寫出點到線段的距離關于的函數關系式.
5．已知橢圓的中心在原點，離心率為 ，一個焦點是F（-m,0）(m是大于0的常數).
(1)求橢圓的方程；
(2)設Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線與軸交于點M. 若｜MQ｜＝2｜QF｜，求直線的斜率.
第八章 平面向量與空間向量
§8.1平面向量及其運算
一、知識導學
1.模（長度）：向量的大小，記作||。長度為０的向量稱為零向量，長度等于１個單位長度的向量，叫做單位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。
3.相等向量：長度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我們把與向量長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。記作-。
5.向量的加法：求兩個向量和的運算。
已知，。在平面內任取一點，作=，=，則向量叫做與的和。記作+。
6. 向量的減法：求兩個向量差的運算。
已知，。在平面內任取一點O，作=，=，則向量叫做與的差。記作-?！　　?br/>7.實數與向量的積：
（1）定義： 實數λ與向量的積是一個向量，記作λ，并規定：　 ①λ的長度|λ|=|λ|·||； ②當λ＞0時，λ的方向與的方向相同； 當λ＜0時，λ的方向與的方向相反； 當λ＝0時，λ= （2）實數與向量的積的運算律：設λ、μ為實數，則 ①λ(μ)=(λμ)  ②(λ+μ) =λ+μ ③λ(+)=λ+λ
8.向量共線的充分條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得＝λ。
另外，設=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，則//x1y2－x2y1=0
9.平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2使　＝λ1＋λ2 ，其中不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
10.定比分點設P1，P2是直線l上的兩點，點P是不同于P1，P2的任意一點則存在一個實數λ,使=λ，λ叫做分有向線段所成的比。若點P1、P、P2的坐標分別為(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，則有 　
特別當λ=1，即當點P是線段P1P2的中點時，有　11.平面向量的數量積(1)定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為θ，則數量||||cosθ叫做與的數量積(或內積)，記作·，即·＝||||cosθ規定：零向量與任一向量的數量積是0。(2)幾何意義：數量積·等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積。
(3)性質：設，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，θ是與的夾角，則·＝·＝||cosθ　，⊥·＝0 當與同向時，·＝|||| 　當與反向時，·＝－|||| 特別地，·＝||2或||＝ cosθ＝ |·|≤||||(4)運算律： ·＝· (交換律) (λ)·＝λ(·)＝·(λ) (＋)·＝·＋·
（5）平面向量垂直的坐標表示的充要條件：設=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，則·=||·||cos90°=0x1x2+y1y2=0
12.平移公式：設P（x，y）是圖形F上的任意一點，它在平移后圖形F/上對應點為P/（x/，y/），且設的坐標為（h，k），則由＝＋，得：（x/，y/）＝（x，y）+（h，k）
二、疑難知識導析
1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”
向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正數或0，是可以進行大小比較的，由于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的．兩個向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個向量相等，兩個零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；
2．在運用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時要注意起點和終點；
3．對于坐標形式給出的兩個向量，在運用平行與垂直的充要條件時，一定要區分好兩個公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時對比記憶；
4．定比分點公式中則要記清哪個點是分點；還有就是此公式中橫坐標和縱坐標是分開計算的；
5．平移公式中首先要知道這個公式是點的平移公式，故在使用的過程中須將起始點的坐標給出，同時注意順序。
三、經典例題導講
[例1] 和= (3,－4)平行的單位向量是_________；
錯解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即 (，－)
錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。
正解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量是，即(，－)或(－，)
點評：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的單位向量”，結果也應該是兩個。
[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點D的坐標。
錯解：設D的坐標為（x，y），則有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐標為（-2，3）。
錯因：思維定勢。習慣上，我們認為平行四邊形的四個頂點是按照ABCD的順序。其實，在這個題目中，根本就沒有指出四邊形ABCD。因此，還需要分類討論。
正解：設D的坐標為（x，y）
當四邊形為平行四邊形ABCD時，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐標為（-2，3）；
當四邊形為平行四邊形ADBC時，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐標為（6，-1）；
當四邊形為平行四邊形ABDC時，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐標為（0，5）。
故第四個頂點D的坐標為（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若點P在直線P1P2上，且滿足|P1P|=2|PP2|，求點P的坐標。
錯解：由|P1P|=2|PP2|得，點P 分P1P2所成的比為2，代入定比分點坐標公式得P（）
錯因：對于|P1P|=2|PP2|這個等式，它所包含的不僅是點P為 P1，P2 的內分點這一種情況，還有點P是 P1，P2的外分點。故須分情況討論。
正解：當點P為 P1，P2 的內分點時，P 分P1P2所成的比為2，此時解得P（）；
當點P為 P1，P2 的外分點時，P 分P1P2所成的比為-2，此時解得P（13，4）。
則所求點P的坐標為（）或（13，4）。
點評：在運用定比分點坐標公式時，要審清題意，注意內外分點的情況。也就是分類討論的數學思想。
[例4] 設向量 ，，，則“”是“”的
? A.充分不必要條件???????????????? B.必要不充分條件
? C.充要條件?????????????????????? D.既不充分也不必要條件
分析：根據向量的坐標運算和充要條件的意義進行演算即可．
解：若，∵，則，代入坐標得：，即且 ．消去，得；
反之，若，則且，即
? 則，∴
? 故“”是“ ”的充要條件．
答案：C
點評：本題意在鞏固向量平行的坐標表示．
[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求實數x、y，使=x +y ．
分析：根據向量坐標運算和待定系數法，用方程思想求解即可．
解：由

展開更多......

收起↑