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第十一章 數系的擴充與復數
§11.1 數系的擴充與復數的概念
一、知識導學
復數：形如的數（），復數通常有小寫字母表示，即,其中叫做復數的實部、叫做復數的虛部，稱做虛數單位.
分類：復數()中，當時，就是實數；除了實數以外的數，即當b時，叫做虛數；當,b時，叫做純虛數.
復數集：全體復數所構成的集合.
復數相等：如果兩個復數與的實部與虛部分別相等，記作：=.
復平面、實軸、虛軸：建立直角坐標系來表示復數的平面.在復平面內，軸叫做實軸， 軸叫做虛軸.
復數的模：設=,則向量的長度叫做復數的模（或絕對值），記作.
(1)；
(2)=；
(3)；
7．共扼復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數互為共扼復數.
二、疑難知識導析
1．兩個實數可以比較大小，而不全是實數的兩個復數不能比較大小
2．則，而，則不一定成立，如時；
3．，而則不一定成立；
4．若不一定能推出；
5．若，則=，但若則上式不一定成立.
三、經典例題導講
[例1]兩個共扼復數的差是（ ）
.實數 .純虛數 .零 .零或純虛數
錯解:當得到時就錯誤的選B，忽略了b可以為零的條件.
正解：設互為共扼的兩復數分別為及則 或
當時，，為純虛數
當時，，，因此應選D.
注：要認真審題，看清題設條件，結論. 學會全面辯證的思考問題，準確記
憶有關概念性質.
[例2]判斷下列命題是否正確
(1)若, 則
(2)若且，則
(3)若，則
錯解：(1)認為任何一個實數的平方大于零可推廣到復數中，從而(1)是正
確的
(2)認為兩實數之差大于零等價于前一個大于后一個實數，也可推到復
數中來.認為兩復數差為實數則這兩個復數也為實數.而認為命題(2)是正確的.
(3)把不等式性質錯誤的推廣到復數中，忽略不等式是在實數中成立的
前提條件.
正解：(1)錯，反例設則
(2)錯，反例設，，滿足，但
不能比較大小.
(3)錯，，，故，都是虛數，不能比較大小.
[例3]實數分別取什么值時，復數是(1)實數；
(2)虛數;(3)純虛數.
解：實部，虛部.
（1）當 時，是實數；
（2）當 ，且 時，是虛數；
（3） 當 或 時是純虛數．
[例4] 設，當取何值時，
(1) ; (2).
分析：復數相等的充要條件，提供了將復數問題轉化為實數問題的依據，這是解復數問題常用的思想方法，這個題就可利用復數相等的充要條件來列出關于實數 的方程，求出 的值．
解：(1)由可得：解之得，
　　即：當 時
　　(2)當 可得：
　　 或 ，即 時.
[例5]是兩個不為零的復數，它們在復平面上分別對應點P和Q，且，證明△OPQ為直角三角形（O是坐標原點），并求兩銳角的度數．
分析? 本題起步的關鍵在于對條件的處理．等式左邊是關于的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方．
解：由（，不為零），得
　　　　　　　
　　　　即向量與向量的夾角為，
　　　　在圖中，，又，設，
　　　　在△OPQ中，由余弦定理
△OPQ為直角三角形，
．
四、典型習題導練
1. 設復數z滿足關系，那么z等于（?? ）．
　　A．? B．? C．? D．
2.復數系方程有實數根，則這個實數是.
3.?實數m取何值時，復數是(1)純虛數；(2)在復平面上的對應點位于第二象限．
4.已知且求復數
5.設復數滿足且在復平面上對應的點在第二象限、四象限的角平分線上，求的值
　　 §11.2 復數的運算
一、知識導學
1.復數加、減法的幾何意義
(1)加法的幾何意義
復數 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對角線所對應的復數.
(2)復數減法的幾何意義
復數是連接向量、的終點，并指向被減數的向量所對應的復數.
2. 重要結論
對復數z 、、和自然數m、n，有
，，
(2) ，，，；
，，，.
(3) ，，.
(4)設，，，，，
二、疑難知識導析
1.對于，是復數運算與實數運算相互轉化的主要依據，也是把復數看作整體進行運算的主要依據，在解題中加以認識并逐漸體會.
2.在進行復數的運算時，不能把實數的某些法則和性質照搬到復數集中來，如下面的結論.
當時，不總是成立的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
三、經典例題導講
[例1] 滿足條件的點的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓
錯解：選A或B.
錯因：如果把看作動點Z到定點（0，2）的距離，由上式表示到兩個定點（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數
動點的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點間的距離小于定常數.
正解：點（0，2）與（-1，0）間的距離為，
動點在兩定點（0，-2）與（-1，0）之間，選C
評注：加強對概念的理解加深，認真審題.
[例2] 求值：
錯解：原式=


錯因：上面的解答錯在沒有真正理解的含義，只是用了三個特殊整數代替了所有整數，犯了用特殊代替一般的錯誤.另外還可以看出對虛數單位的整數冪的運算不熟悉，沒有掌握虛數單位整數冪的運算結果的周期性.
正解：原式=
=
=
評注：虛數單位整數冪的值具有以4為周期的特點，根據必須按被4整除余數為0、1、2、3四種情況進行分類討論.
[例3]已知，求的值.
分析：結論是等比數列的求和問題，所以應聯想到求和公式，若直接將條件代入求和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡.

原式=
評注：由于數列中的數可以是復數，所以數列的諸性質在復數集中仍成立.
[例4] （06年上海春卷）已知復數滿足為虛數單位），，求一個以為根的實系數一元二次方程.
解法一： ，
.
若實系數一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根.
，
所求的一個一元二次方程可以是.
解法二：設
，
得
，
以下解法同解法一.
[例5]
解析





四、典型習題導練
1．（06年四川卷）非空集合關于運算滿足：（1）對任意，都有；
（2）存在，使得對一切，都有，則稱關于運算為“融洽集”；現給出下列集合和運算：
①
②
③
④
⑤
其中關于運算為“融洽集”__________;（寫出所有“融洽集”的序號）
2.
3．計算
4.計算
5．解下列方程：
　　(1)；
　　(2).
第十二章 統計
12．1抽樣方法
知識導學
1．抽簽法：
（1）將總體中的所有個體編號（號碼可以從1到N）；
（2）將1到N這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作）；
（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；
（4）從箱中每次抽出1個號簽，并記錄其編號，連續抽取k次；
（5）從總體中將與抽到的簽的編號相一致的個體取出.
2．隨機數表法：
（1）對總體中的個體進行編號（每個號碼位數一致）；
（2）在隨機數表中任選一個數作為開始；
（3）從選定的數開始按一定的方向讀下去，得到的數碼若不在編號中，則跳過；若在編號中，則取出；如果得到的號碼前面已經取出，也跳過；如此繼續下去，直到取滿為止；
根據選定的號碼抽取樣本.
3．系統抽樣（等距抽樣）：
（1）采用隨機的方式將總體中的個體編號；
（2）將整個的編號按一定的間隔（設為k）分段，當（N為總體中的個體數，n為樣本容量）是整數時，；當不是整數時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數N能被n整除，這時，并將剩下的總體重新編號；
（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；
（4）將編號為的個體抽出.
4．分層抽樣：
（1）將總體按一定標準分層；
（2）計算各層的個體數與總體的個數的比；
（3）按各層個體數占總體的個體數的比確定各層應抽取的樣本容量；
（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統抽樣）.
二．疑難知識導析
1．簡單隨機抽樣是從總體中逐個不放回地抽取.
2．簡單隨機抽樣和系統抽樣都是一種等概率抽樣，即每個個體被抽到的可能性都是相同的.
3．簡單隨機抽樣適用于總體中個體較少的情況；系統抽樣適用于總體中個體數較多的情形；分層抽樣用于總體由幾個差異明顯的部分組成的情況.
分層抽樣時，在每一層內進行抽樣時可根據具體情況，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣.
在使用分層抽樣時，在每一層內抽樣的比例相同.
三．經典例題導講
[例1]某工廠生產A,B,C,D四種不同型號的產品，產品數量之比依次為2：3：5：1，現用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號有16件，那么此樣本容量n是多少？
錯解：樣本容量16=2（件）
錯因：混淆了A型號產品與樣本容量的比例關系.
正解：在分層抽樣中，每一層所抽的個體數的比例與總體中各層個體數的比例是一致的，所以，樣本容量為
答：此樣本容量為88件.
[例2]從1002名學生中選取100名進行抽樣檢查.請用系統抽樣法設計一種方案，敘述其步驟.
解：（1）將1002名學生進行編號，號碼分別為1，2，……，1002；
（2）用隨機數表法剔除2個個體，并將剩下的學生重新編號，號碼分別為1，2，……1000；
（3）將1000個號碼平均分成100組，并在第一組1，2，……，10中用簡單隨機抽樣法確定一個號碼（如）；
將號碼為的個體抽出.
[例3]某學校有2005名學生，從中選取20人參加學生代表大會，采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣，是用抽簽法還是隨機數表法？如何具體實施？
分析：由于學生人數較大，制作號簽比較麻煩，所以決定用隨機數表法
解：采用隨機數表法
實施步驟：
對2005名同學進行編號，0000-2004
在隨機數表中隨機地確定一個數作為開始，如21行45列的數字9開始的4位：9706；依次向下讀數，5595，4904,………，如到最后一行，轉向左邊的四位數字號碼，并向上讀，凡不在0000-2004范圍內的，則跳過，遇到已讀過的數也跳過，最后得到號碼為：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的學生組成容量為20的樣本.
[例4]某工廠有3條生產同一產品的流水線，每天生產的產品件數分別是3000件，4000件，8000件.若要用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為150件產品的樣本，應該如何抽樣？
解：總體中的個體數N=3000+4000+8000=15000
樣本容量n=150
抽樣比例為
所以應該在第一條流水線生產的產品中隨機抽取3000=30件產品
在第二條流水線生產的產品中隨機抽取：4000=40件產品
在第三條流水線生產的產品中隨機抽取：5000=50件產品
這里因為每條流水線所生產的產品數都較多，所以，在每條流水線的產品中抽取樣品時，宜采用系統抽樣方法
四．典型習題導練
1．為了解某班50名同學的會考及格率，從中抽取10名進行考查分析，則在這次考查中，考查的總體內個體總數為 樣本容量為 .
2．采用系統抽樣從含有2000個個體的總體（編號為0000，0001，……，1999）中抽取一個容量為100的樣本，則第一段的編號為 若在第一段中用簡單隨機抽樣得到起始個體編號為0013，則前6個入樣編號為 .
3．某市為了了解職工的家庭生活狀況，先將職工所在的國民經濟行業分成13類，然后每個行業抽的職工家庭進行調查，這種抽樣方法是 .
4．用分層抽樣的方法在一個企業中抽取一個樣本容量為50的樣本，其中在管理營銷部門抽了15人，技術部門10人，其余在生產工人中抽取，已知該企業有生產工人375人，那么這個企業共有多少職工？
5．采用簡單隨機抽樣從含有5個人的身高的總體中抽取一個容量為2的樣本，寫出全部樣本，并計算各個樣本的平均值，各樣本平均值的平均值.
12.2頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖
一、知識導學
1．頻率分布表：反映總體頻率分布的表格.
2．一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）求全距，決定組數和組距，組距=；（2）分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；（3）登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表.
頻率（分布）直方圖：利用直方圖反映樣本的頻率分布規律.
一般地，作頻率分布直方圖的方法為：（1）把橫軸分成若干段，每一線段對應一個組的組距；（2）以此線段為底作矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形；（3）每個矩形的面積恰好是該組上的頻率.
頻率折線圖：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起，就得到一條折線，稱這條折線為本組數據的頻率折線圖.
制作莖葉圖的方法是：將所有兩位數的十位數字作為“莖”，個位數字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到小（或從小到大）的順序同行列出.
二、疑難知識導析
在編制頻率分布表時，要選擇適當的組距和起始點才可以使頻率分布表更好地反映數據的分布情況.
在編制頻率分布表時，如果取全距時不利于分組（如不能被組數整除），可適當增大全距，如在左右兩端各增加適當范圍（盡量使兩端增加的量相同）.
頻率折線圖的優點是它反映了數據的變化趨勢，如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線.
莖葉圖對于分布在0~99的容量較小的數據比較合適，此時，莖葉圖比直方圖更詳盡地表示原始數據的信息.
在莖葉圖中，莖也可以放兩位，后面位數多可以四舍五入后再制圖.
三、典型例題導講
[例1]（06全國卷）一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這10000人用再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在（元）月收入段應抽出 人.
解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人，
按分層抽樣應抽出人.故答案 25
點評：頻率分布直方圖中，關健要理解圖中數據的意義，特別是圖中每個小矩形的面積才是這一組距內個體的頻率.
[例2]從有甲乙兩臺機器生產的零件中各隨機抽取15個進行檢驗，相關指標的檢驗結果為：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512
乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514
畫出上述數據的莖葉圖
錯解：
甲 乙
8 0 7
87632 1 024668
8764220 2 013468
43 3 02
4
錯因：對于兩位數是將兩位數的十位數字作為“莖”，個位數字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到小（或從小到大）的順序同行列出，對于三位數字，應該把前兩位數字作為莖，最后一位數字作為葉，然后從圖中觀察數據的分布情況，而不是仍考慮兩位數，盡管此題的效果一樣.
正解：用前兩位數作為莖，莖葉圖為
甲 乙
8 50 7
87632 51 024668
8764220 52 013468
43 53 02
54
從圖中可以看出，甲機床生產的零件的指標分布大致對稱，平均分在520左右，中位數和眾數都是522，乙機床生產的零件的指標分布也大致對稱，平均分也在520左右，中位數和眾數分別是520和516，總的看，甲的指標略大一些.
[例3]在繪制頻率分布直方圖的第三個矩形時，矩形高度
與這個矩形的寬度（組距）有關；
與樣本容量n無關；
與第三個分組的頻數有關；
與直方圖的起始點無關.
以上結論中正確的共有（）
A．0個 B.1個 C. 2個 D.3個
錯解：D.
錯因：起始點與組距均影響第三組的頻數，所以矩形高度與以上各因素均有關，①③正確，正解：C.
[例4]根據中國銀行的外匯牌價，2005年第一季度的60個工作日中，歐元的現匯買入價（100歐元的外匯可兌換的人民幣）的分組與各組頻數如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2.
（1）列出歐元的現匯買入價的頻率分布表；（2）估計歐元的現匯買入價在區間1065~1105內的頻率；（3）如果歐元的現匯買入價不超過x的頻率的估計值為0.95，求此x
解：（1）歐元的現匯買入價的頻率分布表為：
分組
頻數
頻率
［1050，1060﹚
1
0.017
［1060，1070﹚
7
0.117
［1070，1080﹚
20
0.333
［1080，1090﹚
11
0.183
［1090，1100﹚
13
0.217
［1100，1110﹚
6
0.100
［1110，1120﹚
2
0.033
合計
60
1.000
（2）歐元現匯買入價在區間1065~1105內的頻率的估計值為
（3）因為0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以在［1100，1110］內，且滿足0.867+0.100即歐元現匯買入價不超過1108.3的頻率的估計為0.95
[例5]初一年級某班期中考試的數學成績統計如下：
分數段
100
90—99
80--89
70--79
60--69
0--59
人數
2
6
12
21
7
2
如果80分以上（包括80分）定為成績優秀，60分以上（包括60分）定為成績及格.那么，在這個班級的這次成績統計中，成績不及格的頻率是多少？成績及格的頻率是多少？成績優秀的頻率是多少？
解：被統計的對象（參加這次考試的本班學生）共有2+6+12+21+7+2=50個.60分以上的有48個，80分以上的有20個，所以成績不及格的頻率是，成績及格的頻率是，成績優秀的頻率是.
說明 要計算一組數據中某個對象的頻率，要先計算數據的總的個數，再計算符合這個對象要求的數據的個數.某個對象可以是一個確定的數據，也可以是在某一范圍內數據的總數.
[例6]在英語單詞frequency和英語詞組relative frequency中，頻數最大的各是哪個字母？它們的頻數和頻率各是多少？
解：在frequency和英語詞組relative frequency中，頻數最大的字母都是e，在單詞frequency中，e的頻數是2，頻率是；在詞組relative frequency中，e的頻數是4，頻率是.
點評：在兩組數據中，同一個對象的頻數相等，但頻率不一定相等，頻數大，不一定頻率大.在同一組數據中，某兩個對象的頻數相等，頻率也相等；頻數大，頻率也大.
典型習題導練
1．（06年重慶卷）為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區100名年齡為歲的男生體重，得到頻率分布直方圖如下：
根據上圖可得這100名學生中體重在的學生人數是（ ）.
A． 20 B.30 C.40 D. 50
一個容量為800的樣本，某組的頻率為6.25%，則這一組的頻數是
某校隨機抽取了20名學生，測量得到的視力數據如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0
列出頻率分布表（共分5組）
估計該校學生的近視率（視力低于4.9）
用一個容量為200的樣本制作頻率分布直方圖時，共分13組，組距為6，起始點為10，第4組的頻數為25，則直方圖中第4個小矩形的寬和高分別是多少？
200名學生某次考試的成績的分組及各組頻率如下表：
分組
頻數
2
11
30
52
85
20
則及格率，優秀率（）的估計分別是
6．某地隨機檢查了140名成年男性紅細胞（L），數據的分組及頻率如下表：
分組
頻數
頻率
分組
頻數
頻率
2
17
6
13
11
4
25
2
32
1
27
合計
140
（1）完成上面的頻率分布表
（2）根據上面的圖表，估計成年男性紅細胞數在正常值（4.0~5.5）內的百分比
7．名著《簡愛》的中英文版本中，第一節部分內容每句句子所含單詞（字）數如下：英文句子所含單詞數10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字數11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.
（1）作出這些數據的莖葉圖；
（2）比較莖葉圖，你能得到什么結論？
12．3平均數、方差與標準差
一、知識導學
1．n 個數據，，…….的平均數或平均值一般記為=.
2．一般地，若取值的頻率分別為，則其平均數為.
3．把一組數據的最大值與最小值的差稱為極差.
一般地，設一組樣本數據，其平均數為，則稱為這個樣本的方差，算術平方根為樣本的標準差，分別簡稱樣本方差，樣本標準差.
二、疑難知識導析
1.平均數，中位數和眾數都是總體的數字特征，從不同角度反映了分布的集中趨勢，平均數是最常用的指標，也是數據點的“重心”位置，它易受極端值（特別大或特別小的值）的影響，中位數位于數據序列的中間位置，不受極端值的影響，在一組數據中，可能沒有眾數，也可能有多個眾數.
2.方差和標準差是總體的數字特征，反映了分布的分散程序（波動大小），標準差也會受極端值（特別大或特別小的值）的影響.
3.分布的分散程序還可以用極差來描述，但較粗略.
4.樣本方差也可以用公式計算.
三、經典例題導講
[例1]（06年江蘇卷）某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為已知這組數據的平均數為10，方差為2，則的值為（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均數公式為10，得，則，又由于方差為2，則得

所以有，故選D.
[例2]數據是一名運動員的次射擊的命中環數，則他的平均命中環數的估計是（ ）.
A．樣本平均數均值 B．樣本極差
C．樣本方差 D．樣本平均差AD=
錯解：C.
錯因：后三個選項都表示了樣本的波動程度，不能用于總體平均值的估計.
正解：A.
[例3]某房間中10個人的平均身高為1.74米，身高為1.85米的第11個人，進入房間后，這11個人的平均身高是多少？
解：原來的10個人的身高之和為17.4米，所以，這11個人的平均身高為=1.75.即這11個人的平均身高為1075米
[例4]若有一個企業，70%的人年收入1萬，25%的人年收入3萬，5%的人年收入11萬，求這個企業的年平均收入及年收入的中位數和眾數
解：年平均收入為1（萬）；中位數和眾數均為1萬
[例5]下面是某快餐店所有工作人員的收入表：
老板
大廚
二廚
采購員
雜工
服務生
會計
3000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
（1）計算所有人員的月平均收入；
（2）這個平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？
（3）去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？
（4）根據以上計算，以統計的觀點對（3）的結果作出分析
解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）這個平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產生了較大的影響，并且他不是打工人員
（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.這能代表打工人員的月收入水平
（4）由上可見，個別特殊數據可能對平均值產生大的影響，因此在進行統計分析時，對異常值要進行專門討論，有時應剔除之
四、典型習題導練
在一次知識競賽中，抽取20名選手，成績分布如下：
成績
6
7
8
9
10
人數分布
1
2
4
6
7
則選手的平均成績是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生兒的身長（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長的估計為 ，約有一半的新生兒身長大于等于 ，新生兒身長的最可能值是 .
3．某醫院急診中心關于其病人等待急診的時間記錄如下：
等待時間（分鐘）
人數
4
8
5
2
1
用上述分組資料計算得病人平均等待時間的估計值= ，病人等待時間的標準差的估計值=
4．樣本的平均數為5，方差為7，則3的平均數、方差，標準差分別為
5．下面是一個班級在一次測驗時的成績（已按從小到大的次序排列），分別計算男生和女生的成績和平均值，中位數以及眾數，試問中位數的含義是什么？對比兩個平均值和中位數，你分析一下這個班級的學習情況
男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97
6．某工廠甲，乙兩個車間包裝同一產品，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽一包產品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數據如下：甲車間：102，101，99，103，98，99，98；乙車間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間的產品較穩定.
12.4線性回歸方程
一、知識導學
變量之間的常見關系有如下兩類：一類是確定性函數關系，變量之間的關系可以用函數表示；一類是相關關系，變量之間有一定的聯系，但不能完全用函數來表達
能用直線方程近似表示的相關關系叫做線性相關關系
一般地，設有（x,y）的n對觀察數據如下：
……
……
當a,b使
取得最小值時，就稱為擬合這n對數據的線性回歸方程，將該方程所表示的直線稱為回歸直線.
4．線性回歸方程中的系數滿足：
由此二元一次方程組便可依次求出的值：
（*）
5．一般地，用回歸直線進行擬合的一般步驟為：
（1）作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；
（2）如果散點在一條直線附近，用公式（*）求出，并寫出線性回歸方程.
二、疑難知識導析
1．現實世界中兩個變量的關系中更多的是相關關系而不是確定性關系，許多物理學中公式看起來是確定性關系，實際上由于公式的使用范圍，測量誤差等的影響，試驗得到的數據之間是相關關系.
2．用最小二乘估計方法計算得到的使函數達到最小
3．還有其他尋找較好的回歸直線的原則（如使y方向的偏差和最小，使各點到回歸直線的距離之和最小等）
比較相關關系絕對值的大小可以比較一組變量之間哪兩個變量有更強的（線性）相關關系.
“最好的”直線方程中“最好”可以有多種解釋，也就有不同的求解方法，現在廣泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散點到直線在垂直方向上的距離的平方和最小的直線，用這個方法，的求解最簡單
三、經典例題導講
[例1]有如下一組y與x的數據
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
問y與x的(樣本)相關系數r是多少?這是否說明y與x沒有關系?
錯解：
所以相關系數r=0,即y與x沒有關系.
錯因：相關系數r=0并不是說明y與x沒有關系，而是說明y與x沒有線性相關關系，但有可能有非線性相關關系.
正解：
所以相關系數r=0,即y與x沒有線性相關關系，但有可能有非線性相關關系.
此題中y與x之間存在著的二次相關關系的.
[例2]某工廠在2004年的各月中，一產品的月總成本y（萬元）與月產量x（噸）之間有如下數據：
x
4.16
4.24
4.38
4.56
4.72
4.96
5.18
5.36
5.6
5.74
5.96
6.14
y
4.38
4.56
4.6
4.83
4.96
5.13
5.38
5.55
5.71
5.89
6.04
6.25
若2005年1月份該產品的計劃產量是6噸，試估計該產品1月份的總成本.
分析：可將此問題轉化為下面三個問題：
（1）畫出散點圖，根據散點圖，大致判斷月總成本y與月產量之間是否有線性相關關系；
（2）求出月總成本y與月產量x之間的線性回歸方程；
若2005年1月份該產品的計劃產量是6噸，試估計該產品1月份的總成本.
錯解：省去第一步，即把判斷判斷月總成本y與月產量之間是否有線性相關關系的過程舍去，想當然其具有線性相關關系，直接代入公式，求出線性回歸方程.
錯因：此題的月總成本y與月產量x之間確實是有線性相關關系，若不具有則會導致錯誤.因此判斷的過程不可少.
正解：（1）散點圖見下面，從圖中可以看到，各點大致在一條直線附近，說明x與y有較強的線性相關關系.
（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，線性回歸方程是：y=0.9100x+0.6477.
（3）當x=6.0時，y=0.9100（萬元），即該產品1月份的總成本的估計值為6.11萬元.
[例3]變量與有線性回歸方程，現在將的單位由變為的單位由 變為，則在新的回歸方程中. .
錯解：0.1
錯因：由 且的值變為原來的 ，的值變為原來的可得的值應為原來的.
正解：0.01
[例4]假定一個物體由不同的高度落下，并測量它落下的時間，幾個測量結果如下表所示：
高度s(cm)
40
60
100
130
150
180
200
220
240
時間t(ms)
353
387
505
552
579
648
659
700
725
高度（距離）與時間之間的關系由公式給出，這里g是重力加速度的值.
（1）畫出s關于t的散點圖，這些點在一條直線附近嗎？
（2）設，畫出s關于x的散點圖，這些點在一條直線附近嗎？
（3）求出s關于x的線性回歸方程.
解：（1）高度s關于時間t的散點圖見下面，從圖中可以看到這些點似乎在一條直線附近，也好像在一條拋物線附近
（2）高度s關于x的散點圖見下面，從圖中可以看到這些散點大致在一條直線附近
（3）可以求得s關于x的線性回歸方程是s=0.0004901x－18.8458
[例5]測得某國10對父子身高（單位：英寸）如下：
父親身高（x）
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
兒子身高（y）
63.5
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
（1）畫出散點圖；
（2）求出y與x之間的線性回歸方程；
（3）如果父親的身高為73英寸，估計兒子的身高.
解：（1）散點圖見下面：
（2）從散點圖可以看出，這些點都分布在一條直線附近，可求得線性回歸方程為
（3）當時，
所以當父親的身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸.
四、典型習題導練
1．回歸直線方程的系數a,b的最小二乘估計使函數最小，函數指（ ）.
A． B. C． D.
2．“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關系時，高爾頓提出的，他的研究結果是子代的平均身高向中心回歸.根據他的結論在兒子的身高y與父親的身高x的線性回歸方程中，b（ ）.
A．在（－1，0）內 B.等于0 C．在（0，1）內 D.在[1，+∞]內
3．在研究硝酸鈉的可溶性程度時，對不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得到觀測結果如下：
溫度x
0
10
20
50
70
溶解度 y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
則由此得到的回歸直線的斜率是 （保留4位有效數字）
4．下面的數據是年齡在40至60歲的男子中隨機抽取的6個樣本，分別測定了心臟功能水平y（滿分100），以及每天畫在看電視上的平均時間x（小時）
看電視平均時間x
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心臟功能水平y
52
53
69
57
89
65
則x與y的樣本相關系數為 .
5．某地區近年來冬季的降雨量x(cm)與次年夏季空氣中碳氫化合物的最高平均濃度y（ppm），的觀測數據如下表：
年份 n
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
x
28
22
31
23
58
33
21
20
45
31
23
16
14
y
4.5
4.1
4.8
4.2
4.6
3.6
3.1
2.8
3.4
2.6
2.3
2.2
2.0
你認為y與x是什么關系？y與n是什么關系？
6．每立方米混凝土的水泥用量x（單位：kg）與28天后混凝土的托壓強度（單位：kg/cm）的關系有如下數據：
x
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
Y
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
（1）y與x是否具有線性相關關系？
（2）如果y與x具有線性相關關系，求線性回歸方程.
第十三章 算法初步
§13.1 流程圖
一、 知識導學
流程圖：是由一些圖框和帶箭頭的流線組成的，其中圖框表示各種操作的類型，圖框中的文字和符號表示操作的內容，帶箭頭的流線表示操作的先后次序.
2．算法的三種基本的邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構.
3．根據對條件的不同處理，循環結構又分為兩種：
直到型(until型)循環：在執行了一次循環體之后，對控制循環條件進行判斷，當條件不滿足時執行循環體.滿足則停止.如圖13-1-3，先執行A框，再判斷給定的條件是否為“假”，若為“假”，則再執行A，如此反復，直到為“真”為止.
當型（while型）循環：在每次執行循環體前對控制循環條件進行判斷，當條件滿足時執行循環體，不滿足則停止.如圖13-1-4，當給定的條件成立（“真”）時，反復執行A框操作，直到條件為“假”時才停止循環.

圖13-1-1 圖13-1-2
二、疑難知識導析
1.“算法“沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了描述性說明，算法具有如下特點：
（1）有限性：一個算法的步驟是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.
（2）確定性：算法的每一步驟和次序應當是確定的.
（3）有效性：算法的每一步驟都必須是有效的.
2. 畫流程圖時必須注意以下幾方面：
（1）使用標準的圖形符號.
（2）流程圖一般按從上到下、從左到右的方向畫.
（3）除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點.判斷框具有超過一個退出點的唯一符號.
（4）判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果.
（5）在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚.
3. 算法三種邏輯結構的幾點說明：
（1）順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的.在流程圖中的體現就是用流程線自上而下地連接起來，按順序執行算法步驟.（2）一個條件結構可以有多個判斷框.
（3）循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷.在循環結構中都有一個計數變量和累加變量.計數變量用于記錄循環次數，累加變量用語輸出結果，計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次.
三、經典例題導講
[例1] 已知三個單元存放了變量，，的值，試給出一個算法，順次交換，， 的值（即取的值，取的值，取的值），并畫出流程圖.
錯解：第一步
第二步
第三步
流程圖為

圖13-1-3
錯因：未理解賦值的含義，由上面的算法使得，均取的值.
舉一形象的例子：有藍和黑兩個墨水瓶，但現在卻把藍墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯裝在了藍墨水瓶中，要求將其互換，請你設計算法解決這一問題.對于這種非數值性問題的算法設計問題，應當首先建立過程模型，根據過程設計步驟完成算法. 我們不可將兩個墨水瓶中的墨水直接交換，因為兩個墨水瓶都裝有墨水，不可能進行直接交換.正確的解法應為：
S1 取一只空的墨水瓶，設其為白色；
S2 將黑墨水瓶中的藍墨水裝入白瓶中；
S3 將藍墨水瓶中的黑墨水裝入黑瓶中；
S4 將白瓶中的藍墨水裝入藍瓶中；
S5 交換結束.
正解：第一步 ｛先將的值賦給變量，這時存放的單元可作它用}
第二步 ｛再將的值賦給，這時存放的單元可作它用}
第三步 ｛同樣將的值賦給，這時存放的單元可作它用}
第四步 ｛最后將的值賦給，三個變量，，的值就完成了交換}
流程圖為

圖13-1-4
點評：在計算機中，每個變量都分配了一個存儲單元，為了達到交換的目的，需要一個單元存放中間變量.
[例2]已知三個數，，.試給出尋找這三個數中最大的一個算法，畫出該算法的流程圖.
解：流程圖為
圖13-1-5
點評：條件結構可含有多個判斷框，判斷框內的內容要簡明、準確、清晰.此題也可將第一個判斷框中的兩個條件分別用兩個判斷框表示，兩兩比較也很清晰.若改為求100個數中的最大數或最小數的問題則選擇此法較繁瑣，可采用假設第一數最大（最小）將第一個數與后面的數依依比較，若后面的數較大（較小），則進行交換，最終第一個數即為最大（最小）值.
點評：求和時根據過程的類同性可用循環結構來實現，而不用順序結構.
[例3]畫出求的值的算法流程圖.
解：這是一個求和問題，可采用循環結構實現設計算法，但要注意奇數項為正號，偶數項為負號.
思路一：采用-1的奇偶次方（利用循環變量）來解決正負符號問題；

圖13-1-6 圖13-1-7
思路二：采用選擇結構分奇偶項求和；

圖13-1-8
思路三：可先將化簡成，轉化為一個等差數列求和問題，易利用循環結構求出結果.
[例4] 設計一算法，求使成立的最小正整數的值.
解： 流程圖為

圖13-1-9
點評：這道題仍然是考察求和的循環結構的運用問題，需要強調的是求和語句的表示方法.若將題改為求使成立的最大正整數的值時，則需注意的是輸出的值.
[例5]任意給定一個大于1的整數n，試設計一個程序或步驟對n是否為質數做出判斷.
解：算法為：
S1 判斷n是否等于2，若n=2，則n是質數；若n>2，則執行S2
S2 依次從2～n-1檢驗是不是的因數，即整除n的數，若有這樣的數，則n不是質數；若沒有這樣的數，則n是質數.
點評：要驗證是否為質數首先必須對質數的本質含義作深入分析：
（1）質數是只能被1和自身整除的大于1的整數.
（2）要判斷一個大于1的整數n是否為質數，只要根據定義，用比這個整數小的數去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整數整除，則這個數便是質數.
圖13-1-10
[例6]設計一個求無理數的近似值的算法.
分析：無理數的近似值可看作是方程的正的近似根，因此該算法的實質是設計一個求方程的近似根的算法.其基本方法即運用二分法求解方程的近似解.
解：設所求近似根與精確解的差的絕對值不超過0.005,算法:
S1 令.因為,所以設
S2 令,判斷是否為0,若是,則m為所求;若否,則繼續判斷大于0還是小于0.
S3 若>0,則;否則,令.
S4 判斷是否成立，若是，則之間的任意值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步.
點評：二分法求方程近似解的算法是一個重要的算法案例，將在第三節中詳細闡述.
四、典型習題導練
1．已知兩個單元分別存放了變量和的值，則可以實現變量交換的算法是（ ）.
A．S1 B．S1 C．S1 D．S1
S2 S2 S2 S2
S3 S3
下面流程圖中的錯誤是（ ）

圖13-1-11
A．沒有賦值 　B．循環結構有錯
C．S的計算不對 D．判斷條件不成立
3.將“打電話”的過程描述成一個算法，這個算法可表示為 ，由此說明算法具有下列特性 .
4. 在表示求直線（，為常數，且，不同時為0）的斜率的算法
的流程圖中，判斷框中應填入的內容是
5. 3個正實數，設計一個算法，判斷分別以這3個數為三邊邊長的三角形是否存在，畫
出這個算法的流程圖.
6.一隊士兵來到一條有鱷魚的深河的左岸.只有一條小船和兩個小孩，這條船只能承載兩個小孩或一個士兵.試設計一個算法，將這隊士兵渡到對岸，并將這個算法用流程圖表示.
§13.2基本算法語句
一、知識導學
賦值語句用符號“←”表示，“”表示將 的值賦給，其中是一個變量，是一個與同類型的變量或表達式.
條件語句主要有兩種形式：“行If 語句”和“塊If語句”.
“行If 語句”的一般形式為：
If A Then B [Else C] .
一個行If 語句必須在一行中寫完，其中方括號中的Else部分可以缺省.
“塊If 語句”的一般格式為:
If A Then
B
Else
C
End if
Then 部分和 Else 部分是可選的，但塊If語句的出口“End if”不能省.
循環語句主要有兩種類型：For語句和While語句.
當循環的次數已經確定，可用“For”語句表示.“For”語句的一般形式為：
For I from“初值” to step“步長”… End for
上面“For”和“End for”之間縮進的步驟稱為循環體.
當循環次數不能確定是，可用“While”語句來實現循環.“While”語句的一般形式為：
While A
…
End while
其中A表示判斷執行循環的條件.
上面“While”和“End While”之間縮進的步驟稱為循環體.
二、疑難知識導析
有的條件語句可以不帶“Else”分支，即滿足條件時執行B，否則不執行任何操作.條件語句也可以進行嵌套，在進行條件語句的嵌套時，書寫要有層次.例如：
If A Then
B
Else if C Then
D
Else
E
End if
2.“For”語句是在執行過程中先操作，后判斷.而“While”語句的特點是“前測試”，即先判斷，后執行.若初始條件不成立，則一次也不執行循環體中的內容.任何一種需要重復處理的問題都可以用這種前測試循環來實現.
三、經典例題導講
[例1] 下列程序的運行結果是 .
If >5 Then
If >4 Then
If >3 Then
Print
錯解：8+7=15
錯因：誤認為在一個程序中只執行一個條件語句，與在一個條件語句中只選擇其中一個分支相混淆.If A Then B [Else C] 若滿足條件A 則執行B，否則是執行C，B和C是這個條件語句的分支，而這個程序省略了Else部分.
正解：這里是有三個條件語句，各個條件語句是獨立的，三個條件均成立，所以按順序依次執行，結果為8+7+6+6=27.
[例2] 下面的偽代碼的效果是
While <10
End While
End
錯解：執行10次循環
錯因：將For語句和While語句混淆. For語句中有步長使循環變量不斷變化，而While語句則無.
正解：無限循環下去，這是因為這里始終為0，總能滿足條件“”，故是一個“死循環”.
點評：“死循環”是設計循環結構的大忌，此題可改變的初始值或每一次循環都增加一個值.
[例3]下面的程序運行時輸出的結果是（ ）

While
End while
Print S
End
錯解：第一次循環時，I被賦予2，S被賦予4；第二次循環時，I被賦予3，S被賦予4+=13；第三次循環時，I被賦予4，S被賦予13+=29；第四次循環時，I被賦予5，S被賦予.由于此時，故循環終止，輸出S為54.
正解：由于在循環內，每經過一次循環后S都被賦值0，因此，只要求滿足條件的最后一次循環S的值，即當時，.
[例4]用語句描述求使成立的最大正整數的算法過程.
解：

While


End while
Print
點評：此題易錯的是輸出值，根據While循環語句的特征當時跳出循環體，此時的值是時的最小的整數，則使的最大整數應為的前一個奇數即.
[例5]已知當時，，當時，，當時，，設計一算法求的值.
解： Read x
If then

Else if Then

Else
End if
End
點評：嵌套If語句可用如上的緊湊形式書寫，要注意的是如不是采取緊湊形式，則需注意一個塊If語句對應一個End If，不可省略或缺少.
[例6]設計一個算法，使得輸入一個正整數，輸出1！+2！+3！+…+！的值.寫出偽代碼.
解：思路一：利用單循環，循環體中必須包括一個求各項階乘的語句以及一個求和語句.
Read n

For I from 1 to n

End For
Print S
思路二：運用內外雙重循環，但尤其注意的是每一次外循環T的值都要從1開始.
Read n

For I from 1 to n

For J from 1 to I

End For

End For
Print S
四 、典型習題導練
1． 下列的循環語句循環的次數為（ ）
For I from 1 to 7
For J from 1 to 9
Pint I+J
End for
End for
End
A.7次 B.9次 C.63次 D.16次
2．運行下面的程序后輸出的結果是 ，若將程序中的A語句與B語句的位置互換，再次執行程序后輸出的結果為 .
While
′A語句
′B語句
End While
Print x,y
End
3.偽代碼描述的求T的代數式是 ,求的代數式是 .
Read n
For I from 1 to n
End for
Print T,S
4.運行下面程序后輸出的結果為
For I from 10 to 1 step -2
Print I
End for
End
5. 將100名學生的一門功課的成績依次輸入并計算輸出平均成績.
§ 13．3 算法案例
一、知識導學
1．算法設計思想：
（1）“韓信點兵—孫子問題”對正整數m從2開始逐一檢驗條件，若三個條件中有任何一個不滿足，則m遞增1，一直到m同時滿足三個條件為止(循環過程用Goto語句實現)
（2）用輾轉相除法找出的最大公約數的步驟是：計算出的余數，若，則為的最大公約數；若，則把前面的除數作為新的被除數，繼續運算，直到余數為0，此時的除數即為正整數的最大公約數.
2.更相減損術的步驟：（1）任意給出兩個正數，判斷它們是否都是偶數.若是，用2約簡；若不是，執行第二步.（2）以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數.繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數.
（3）二分法求方程在區間內的一個近似解的解題步驟可表示為
S1 取[]的中點，將區間 一分為二；
S2 若，則就是方程的根；否則判別根在的左側還是右側：
若，，以代替；
若，則，以代替；
S3 若，計算終止，此時，否則轉S1.
二、疑難知識導析
1．表示不超過的整數部分，如，但當是負數時極易出錯，如就是錯誤的，應為-2.
2．表示除以所得的余數，也可用 表示.
3．輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的聯系與區別：
（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯.
（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到.
4．用二分法求方程近似解，必須先判斷方程在給定區間[]上是否有解,即連續且滿足.并在二分搜索過程中需對中點處函數值的符號進行多次循環判定，故需要選擇結構、循環結構，即可用Goto 語句和條件語句實現算法.
三、經典例題導講
[例1] ， ，
， 7= .
A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3
錯解：根據表示不超過的整數部分, 表示除以所得的余數,選擇B.
錯因:對表示的含義理解不透徹,將不超過-0.05的整數錯認為是0,將負數的大小比較與正數的大小比較相混淆.
正解：不超過-0.05的整數是-1,所以答案為D.
[例2] 所謂同構數是指此數的平方數的最后幾位與該數相等.請設計一算法判斷一個大于0且小于1000的整數是否為同構數.
錯解： 算法思想：求出輸入數的平方，考慮其個位或最后兩位或最后三位與輸入數是否相等，若相等，則為同構數.
Read x

If or or Then
Print x
End if
End
錯因：在表示個位或最后兩位或最后三位出現錯誤，“/”僅表示除，y/10,y/100,y/1000都僅僅表示商.
正解：可用來表示個位，最后兩位以及最后三位.
Read x

If or or Then
Print x
End if
End
[例3]《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”可以用下面的算法解決：先在紙上寫上2，每次加3，加成5除余3的時候停下來，再在這個數上每次加15，到得出7除2的時候，就是答數.
試用流程圖和偽代碼表示這一算法.
解：流程圖為：

偽代碼為：
10
20
30 If Then Goto 20
40 If Then
Print
Goto 80
50 End if
60
70 Goto 40
80 End
點評：這是孫子思想的體現，主要是依次滿足三個整除條件.
[例4]分別用輾轉相除法、更相減損法求192與81的最大公約數.
解：輾轉相除法：
S1
S2
S3
S4
S5
故3是192 與81 的最大公約數.
更相減損法：
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
故3 是192與81的最大公約數.
點評：輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少.輾轉相除法是當大數被小數整除時停止除法運算，此時的小數就是兩者的最大公約數，更相減損術是當大數減去小數的差等于小數時減法停止，較小的數就是最大公約數.
[例5]為了設計用區間二分法求方程在[0，1]上的一個近似解（誤差不超過0.001）的算法,流程圖的各個框圖如下所示,請重新排列各框圖,并用帶箭頭的流線和判斷符號“Y”、“N”組成正確的算法流程圖,并寫出其偽代碼.(其中分別表示區間的左右端點)

圖13-3-2
流程圖為

圖13-3-3
偽代碼為
10 Read
20
30
40
50 If Then Goto 120
60 If Then
70
100 End if
80 Else
90
100 End if
110 If Then Goto 20
120 Print
130 End
點評：二分法的基本思想在必修一中已滲透，這里運用算法將二分法求方程近似解的步驟更清晰的表述出來.
[例6] 用秦九韶算法計算多項式在時的值時， 的值為 .
解： 根據秦九韶算法，此多項式可變形為
按照從內到外的順序，依次計算一次多項式當時的值：




故當時多項式的值為.
點評：秦九韶算法的關鍵是n次多項式的變形.
把一個次多項式改寫成，求多項式的值，首先計算最內層括號內一次多項式的值，然后由內向外逐層計算一次多項式的值，這樣把求次多項式的值問題轉化為求個一次多項式的值的問題，這種方法成為秦九韶算法.這種算法中有反復執行的步驟，因此，可考慮用循環結構實現.
四、典型習題導練
1．以下短文摘自古代《孫子算經》一書，其引申出的“大衍求一術”稱為“中國剩余原理”：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”答曰（ ）.
A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四
2．用輾轉相除法求52與39的最大公約數的循環次數為（ ）.
A．1次 B.2次 C.3次 D.5次
3．下面程序功能是統計隨機產生的十個兩位正整數中偶數和奇數的個數，并求出偶數與奇數各自的總和.
For I from 1 to 10

Print x;
If Then

Else


End If
End for
Print
Print “奇數個數=”； ，“偶數個數=”；
4．若一個數的各因子之和正好等于該數本身，則該數成為完數.請補充完整下列找出1～100之間的所有完數的偽代碼.
For from 2 to 100
For b from 2 to
If mod(a,b)=0 Then

End if
End For
If Then
Print a
End if
End For
End
5．設計求被9除余4，被11除余3的最小正整數的算法，畫出流程圖，寫出偽代碼.
6．利用輾轉相除法或更相減損術求324,243,135的最大公約數.

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