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培優課　平面向量中的最值與范圍問題
平面向量中的最值、范圍問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合，其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量的夾角、參數的范圍等等，解題思路是建立目標函數的函數解析式，轉化為求函數的最值，同時向量兼顧“數”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數形結合．
一、向量線性運算中的最值與范圍問題
例1　如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實數)，求＋的最小值．
跟蹤訓練1　如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與BA的延長線交于圓O外一點D.若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________．
二、向量數量積的最值與范圍問題
例2　在邊長為1的正方形ABCD中，M為邊BC的中點，點E在線段AB上運動，則·的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D．[0,1]
反思感悟　建立適當的坐標系，將平面向量數量積的運算坐標化，然后利用二次函數、基本不等式等求最值或范圍．
跟蹤訓練2　在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.動點E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則·的最小值為________．
三、向量模的最值問題
例3　向量a，b滿足|a|＝1，a與b的夾角為，則|a－b|的最小值為________．
跟蹤訓練3　已知|a＋b|＝2，向量a，b的夾角為，則|a|＋|b|的最大值為________．
四、向量夾角的最值問題
例4　已知|a|＝1，向量b滿足2|b－a|＝b·a，設a與b的夾角為θ，則cos θ的最小值為______．
反思感悟　將向量夾角的大小問題轉化為夾角余弦值的大小問題，利用函數求最值或范圍．
跟蹤訓練4　已知向量a，b滿足a＝(t,2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，則a，b的夾角的最小值為(　　)
A. B. C. D.
培優課　平面向量中的最值與范圍問題
例1　解　由題意得＝＋＝－，
所以＝m＋n
＝m＋n
＝＋n，
由P，B，C三點共線得，
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2
＝＋＝(當且僅當3n2＝4m2，即 時取等號)，
則＋的最小值為.
跟蹤訓練1　(－1,0)
解析　由點D是圓O外一點，
可設＝λ(λ>1)，
則＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ).
又因為C，O，D三點共線，
令＝－μ(μ>1)，
則＝－
＝－－(λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－，
則m＋n＝－－
＝－∈(－1,0).
例2　C　[
將正方形放入如圖所示的平面直角坐標系中，
設E(x,0)，0≤x≤1.
則M，C(1,1)，
所以＝，
＝(1－x,1)，
所以·＝(1－x,1)·
＝(1－x)2＋.
因為0≤x≤1，
所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范圍是.]
跟蹤訓練2　
解析　根據題意，可知·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，當且僅當λ＝時，等號成立.
例3　
解析　|a－b|2＝(a－b)2
＝a2－2a·b＋b2
＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2
＝|b|2－|b|＋1
＝2＋≥，
所以|a－b|≥，
當|b|＝時取得最小值.
跟蹤訓練3　
解析　將|a＋b|＝2兩邊平方并化簡得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，當且僅當|a|＝|b|＝時，等號成立，
所以|a|＋|b|的最大值為.
例4　
解析　∵|a|＝1，
∴設a＝(1,0)，b＝(x，y)，
∴b－a＝(x－1，y)，
由2|b－a|＝b·a得，
2＝x，則x>0，
∴4(x－1)2＋4y2＝x2，
∴y2＝－x2＋2x－1，
∴cos θ＝＝
＝
＝
＝
＝，
∴當＝1即x＝1時，cos θ取最小值.
跟蹤訓練4　C　[因為(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，
cos〈a，b〉＝＝＝＝
＝，
又因為2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夾角的最小值為.]

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