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習題課　平面向量數量積的綜合應用
向量的數量積運算、向量的垂直是考查的熱點，平面向量數量積的計算，向量垂直的條件與數量積的性質常以客觀題形式考查．解答題以向量為載體，常與三角函數交匯命題，重視數形結合與轉化化歸思想的考查，培養數學運算、直觀想象等核心素養．
一、平面向量數量積的計算
例1　如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________.
反思感悟　平面向量數量積的運算方法
(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ為非零向量a，b的夾角)．
(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)選擇合適的基底，轉化為基底去解決問題．
提醒：解決涉及幾何圖形的向量的數量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數量積的運算律化簡后再運算．但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關系是相等還是互補．
跟蹤訓練1　在△ABC中，已知與的夾角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一點，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，則的值為________．
二、平面向量數量積的應用
角度1　求模
例2　已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC的中點，則||＝______.
角度2　求夾角
例3　已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2＝，設向量，的夾角為θ，則cos θ＝________.
角度3　垂直問題
例4　已知O為坐標原點，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，則在線段OC上是否存在點M，使得⊥？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
反思感悟　(1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運算化為數量積運算；
②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，然后求解．
(2)求平面向量的夾角的方法
①定義法：由向量數量積的定義知，cos θ＝，其中兩個向量的夾角θ的范圍為[0，π]，求解時應求出三個量：a·b，|a|，|b|或者找出這三個量之間的關系；
②坐標法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cos θ＝.
(3)兩向量垂直的應用
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟蹤訓練2　(1)(多選)已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，設a，b的夾角為θ，則(　　)
A．|a|＝|b| B．a⊥c
C．b∥c D．θ＝135°
(2)(多選)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,1)(m<0)，且向量b滿足b·(a＋b)＝3，則(　　)
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b與a－2b的夾角為
D．向量a在向量b上的投影向量的模為
三、平面向量的數量積與三角函數的綜合問題
例5　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值．
反思感悟　平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路
(1)題目條件給出的向量坐標中含有三角函數的形式時，先運用向量相關知識，得到三角函數的關系式，然后求解．
(2)當給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式時，其解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求解．
跟蹤訓練3　已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求α；
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
習題課　平面向量數量積的綜合應用
例1　12
解析　因為·＝2·，
所以·－·
＝·，
所以·＝·.
因為AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，
化簡得||＝2.
故·＝·(＋)
＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
跟蹤訓練1　
例2　2
解析　因為＝(＋)
＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2
＝4(a2－2a·b＋b2)
＝4×
＝4，
則||＝2.
例3　－
解析　因為2＝，
所以E為BC的中點.
設正方形的邊長為2，
則||＝，||＝2，
·＝·(－)
＝||2－||2＋·
＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
例4　解　假設存在點M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
使得⊥.
則＝(2－6λ，5－3λ)，
＝(3－6λ，1－3λ)，
且·＝0，
所以(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝或λ＝，
∴＝(2,1)或＝，
∴存在M(2,1)或M滿足題意.
跟蹤訓練2　(1)BD　[根據題意知，
a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，
則a＝(－1,1)，b＝(2,0)，
對于A，|a|＝，|b|＝2，
則|a|＝|b|不成立，A錯誤；
對于B，a＝(－1,1)，c＝(1,1)，
則a·c＝0，即a⊥c，B正確；
對于C，b＝(2,0)，c＝(1,1)，b∥c不成立，C錯誤；
對于D，a＝(－1,1)，b＝(2,0)，則a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，則cos θ＝＝－，又0°≤θ≤180°，則θ＝135°，D正確.]
(2)AC　[將a＝(1,2)，b＝(m,1)代入b·(a＋b)＝3，得(m,1)·(1＋m,3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1,1)，所以|b|＝＝，故A正確；
因為2a＋b＝(1,5)，a＋2b＝(－1,4),1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b與a＋2b不平行，故B錯誤；
設向量2a－b與a－2b的夾角為θ，因為2a－b＝(3,3)，a－2b＝(3,0)，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正確；
向量a在向量b上的投影向量的模為＝＝，故D錯誤.]
例5　解　f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x
＝2cos.
因為x∈[0，π]，
所以x＋∈，
從而－1≤cos≤，
－2≤f(x)≤3.
于是，當x＋＝，
即x＝0時，f(x)取得最大值3；
當x＋＝π，即x＝時，f(x)取得最小值－2.
跟蹤訓練3　解　(1)若m⊥n，
則m·n＝0，
即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
解得sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
(2)若|m－n|＝，則(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2，
即4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即8－8sin α＝2，可得sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.

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