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§6.3　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3.1　平面向量基本定理
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.
2.掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量.
3.會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題．
一、平面向量基本定理
問(wèn)題1　如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量．請(qǐng)你將向量a按e1，e2的方向分解．
問(wèn)題2　上述問(wèn)題中的分解方法是否唯一？為什么？
知識(shí)梳理　
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的________向量a，______________實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2____________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
例1　(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，能作為基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
反思感悟　考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一表示．
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列向量可作為這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是(　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
二、用基底表示向量
例2　如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，試用{a，b}為基底表示，.
反思感悟　用基底表示向量的一般方法
(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個(gè)基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量．用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上是利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算．
(2)基底的選取要靈活，必要時(shí)可以建立方程或方程組，通過(guò)方程或方程組求出要表示的向量．
跟蹤訓(xùn)練2　如圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則以{a，b}為基底時(shí)，可表示為_(kāi)_______，以{a，c}為基底時(shí)，可表示為_(kāi)_______．
三、平面向量基本定理的應(yīng)用
例3　如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝c.
(1)用a，c表示向量；
(2)若點(diǎn)F在AC上，且＝a＋c，
求AF∶CF.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在 ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.
1．知識(shí)清單：
(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的應(yīng)用．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：忽視基底中的向量必須是不共線的兩個(gè)向量．
1．(多選)下列選項(xiàng)中，正確的是(　　)
A．基底中的向量可以有零向量
B．一個(gè)平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底
C．一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底
D．平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的
2.如圖，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，則等于(　　)
A．－a＋b B.a－b
C.a＋b D．－a＋b
3．已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系式是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
4．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．
6.3.1　平面向量基本定理
問(wèn)題1　
＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2.
問(wèn)題2　分解方法唯一.如果a還可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全為0(假設(shè)λ1－μ1，λ2－μ2不全為0，不妨假設(shè)λ1－μ1≠0，則e1＝－e2.由此可得e1，e2共線，這與已知e1，e2不共線矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的.
知識(shí)梳理
1.不共線　任一　有且只有一對(duì)
2.不共線
例1　ACD　跟蹤訓(xùn)練1　AC
例2　解　因?yàn)镈C∥AB，AB＝2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，
所以＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
跟蹤訓(xùn)練2　a＋b　2a＋c
例3　解　(1)因?yàn)椋剑絚－a，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
所以＝＝(c－a)，
因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
所以＝(＋)
＝＋
＝－a＋(c－a)
＝c－a.
(2)設(shè)＝λ(0<λ<1)，
所以＝＋＝＋λ
＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.
又＝a＋c，所以λ＝，
所以＝，
所以AF∶CF＝4∶1.
跟蹤訓(xùn)練3　
隨堂演練
1.CD　2.D　3.A　4.

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