資源簡介

6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
[學習目標]　
1.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.
2.掌握兩個向量加、減運算的坐標表示．
一、平面向量的正交分解及坐標表示
問題1　如圖，在光滑斜面上的一個木塊受到了哪些力的作用？這些力之間有什么關系？
問題2　如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．對于平面內的任意一個向量a，可以用{i，j}表示成什么？
知識梳理　
1．把一個向量分解為兩個________________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個________________分別為i，j，取{i，j}作為基底．對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝________，則有序數對________叫做向量a的坐標．
3．坐標表示：a＝________.
4．特殊向量的坐標：i＝______，j＝______，0＝(0,0)．
例1　如圖，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量{i，j}作為基底，若|a|＝，θ＝45°，則向量a的坐標為(　　)
A．(1, 1) B．(－1，－1)
C．(，) D．(－，－)
反思感悟　求點和向量坐標的常用方法
(1)求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標．
(2)求一個向量的坐標，先求該向量的模在x軸、y軸上正交分解的長度，其正負需要注意方向．
(3)求一個向量的坐標實際上是把該向量的起點平移到坐標原點，其終點的坐標即是該向量的坐標．
跟蹤訓練1　已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐標．
二、平面向量加、減運算的坐標表示
問題3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐標嗎？
問題4　如圖，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎樣求的坐標？
知識梳理　
1．兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的________．
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有
符號表示
加法 a＋b＝(________，________)
減法 a－b＝(________，________)
2.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．例如，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝____________.
例2　已知點A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b.
(1)求a＋b－c；
(2)求點M，N的坐標及向量的坐標．
反思感悟　平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行運算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
跟蹤訓練2　已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
三、平面向量坐標運算的應用
例3　已知點A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R)．若＝＋，試求λ為何值時，
(1)點P在第一、三象限的角平分線上；
(2)點P在第三象限內．
反思感悟　坐標形式下向量相等的條件及其應用
(1)條件：相等向量的對應坐標相等．
(2)應用：利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關系，由此可以求出某些參數的值或點的坐標．
跟蹤訓練3　已知平面上三點的坐標分別為A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求點D的坐標，使這四點為平行四邊形的四個頂點．
1．知識清單：
(1)平面向量的正交分解及坐標表示．
(2)平面向量加、減運算的坐標表示．
(3)平面向量坐標運算的應用．
2．方法歸納：數形結合．
3．常見誤區：已知A，B兩點求的坐標時，一定是用終點的坐標減去起點的坐標．
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a等于(　　)
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
2．若A(3,1)，B(2，－1)，則的坐標是(　　)
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(1,2) D．(－1，－2)
3．如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
4．已知點A(2,1)，B(－2,3)，O為坐標原點，且＝，則點C的坐標為________．
6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
問題1　該木塊受到重力G的作用，產生兩個效果，一是木塊受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木塊產生垂直于斜面的壓力F2，也就是說，重力G的效果等價于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2.
問題2　由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.
知識梳理
1.互相垂直
2.單位向量　xi＋yj　(x，y)
3.(x，y)
4.(1,0)　(0,1)
例1　A
跟蹤訓練1　解　設點A(x，y)，
則x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，
y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6).
問題3　a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).
問題4　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).
知識梳理
1.和(差)　x1＋x2　y1＋y2　x1－x2
y1－y2　
2.(x2－x1，y2－y1)
例2　解　由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8).
(1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1,8)＝(－2，－16).
(2)設O為坐標原點.
∵＝－＝c，
∴＝c＋＝(1,8)＋(－3，－4)＝(－2,4)，
∴M(－2,4).
又∵＝－＝b，
∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，
∴N(－9，－7)，
∴＝－＝(－9，－7)－(－2,4)＝(－7，－11).
跟蹤訓練2　A
例3　解　設點P的坐標為(x，y)，
則＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ)
＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵＝＋，且與不共線，
∴則
(1)若點P在第一、三象限的角平分線上，則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若點P在第三象限內，
則∴λ<－1.
跟蹤訓練3　解　設點D的坐標為(x，y)，
當平行四邊形為ABCD時，由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，且＝，得D(2,2)；
當平行四邊形為ACDB時，由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6)；
當平行四邊形為ACBD時，由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，得D(－6,0)，
故點D的坐標為(2,2)或(4,6)或(－6,0).
隨堂演練
1.B　2.C　3.C　4.(0,4)

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