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6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
[學習目標]　
1.掌握平面向量數乘運算的坐標表示.
2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
3.能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、平面向量數乘運算的坐標表示
問題1　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐標嗎？
知識梳理　
已知a＝(x，y)，則λa＝________，這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數________________________．
例1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
反思感悟　平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行運算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性運算可完全類比數的運算進行．
跟蹤訓練1　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c等于(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
(2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則等于(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
二、向量共線的判定
問題2　已知a，b兩向量，則兩個向量共線的條件是什么？如何用坐標表示兩個向量共線？
知識梳理　
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
向量a，b(b≠0)共線的充要條件是________．
例2　已知A，B，C三點的坐標分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝，求證：∥.
反思感悟　向量共線的判定應充分利用向量共線定理或向量共線的坐標表示進行判斷，特別是利用向量共線的坐標表示進行判斷時，要注意坐標之間的搭配．
跟蹤訓練2　在平面直角坐標系中，O為坐標原點，向量＝(1,1)，＝(2，－3)，＝
(－6,29)，試判斷A，B，C三點是否共線，寫出理由．
三、利用向量共線的坐標表示求參數
例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，則k＝________.
(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相異三點A，B，C共線，則實數k＝________.
跟蹤訓練3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)與向量b＝(1，－2)平行，則實數m的值為(　　)
A．－1或 B．1或－
C．－1 D.
(2)若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，則銳角α＝________.
四、有向線段的定比分點坐標公式及應用
問題3　直線l上有兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在l上取不同于P1，P2的任一點P，存在一個實數λ，使＝λ，λ叫做點P分有向線段所成的比．當λ＝1時，點P位于何位置？你能求出點P的坐標嗎？
知識梳理　
若線段P1P2的端點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點P是直線P1P2上的一點，則當＝λ時， 點P的坐標為(λ≠－1)．
例4　如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是邊AB的中點，G是CD上的一點，且＝2，求點G的坐標．
反思感悟　用有向線段的定比分點坐標公式(λ≠－1)可以求解有向線段的定比分點坐標及定點分有向線段所成的比．
跟蹤訓練4　已知點A(2,3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且|AP|＝2|BP|，則點P的坐標為________．
1．知識清單：
(1)平面向量數乘運算的坐標表示．
(2)兩個向量共線的坐標表示．
(3)有向線段的定比分點坐標公式及應用．
2．方法歸納：轉化與化歸．
3．常見誤區：兩個向量共線的坐標表示的公式易記錯．
1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C．a＝，b＝(10,5)
D．a＝(0，－1)，b＝(3,1)
2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b等于(　　)
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，則實數x的值為(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
4．已知兩點A(－2,2)，B(4,4)，則AB的中點坐標為________．
6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
問題1　λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy).
知識梳理
(λx，λy)　乘原來向量的相應坐標
例1　解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－
＝.
跟蹤訓練1　(1)A　(2)D
問題2　設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb，則有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即消去λ，得x1y2－x2y1＝0.
知識梳理
x1y2－x2y1＝0
例2　證明　設E(x1，y1)，F(x2，y2).
由題意知＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，
＝＝，
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，
(x2，y2)＝，
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，
∴∥.
跟蹤訓練2　解　因為＝－＝(2，－3)－(1,1)＝(1，－4)，
＝－＝(－6,29)－(1,1)＝(－7,28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，
所以∥.又直線AB和AC有公共點A，故A，B，C三點共線.
例3　(1)－
解析　由題意3a－b＝(0，－10)，
a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因為(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
解得k＝－.
(2)－
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，
＝－＝(1－2k，－3)，
由題意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)·(1－2k)＝0，
解得k＝－(k＝1不合題意，舍去).
跟蹤訓練3　(1)D　(2)
問題3　當λ＝1時，點P為P1P2的中點，點P的坐標為.
例4　解　∵D是AB的中點，
∴點D的坐標為，
∵＝2，∴＝2，
設G點坐標為(x，y)，由定比分點坐標公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即點G的坐標為.
跟蹤訓練4　(6，－9)
解析　設點P的坐標為(x，y)，由條件可知＝－2，由定比分點坐標公式可知
即點P的坐標為(6，－9).
隨堂演練
1.B　2.A　3.D　4.

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