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6.3.5　平面向量數量積的坐標表示
[學習目標]　
1.掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的坐標運算.
2.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題．
一、平面向量數量積的坐標表示
問題1　在平面直角坐標系中，設i，j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，求i·i，j·j，i·j和j·i的值？
問題2　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b為多少？
知識梳理　
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
則a·b＝_______.這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的________________．
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A．10 B．－10 C．3 D．－3
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
反思感悟　進行向量數量積的坐標運算的注意點
(1)要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關系：
①|a|2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在解決平面幾何中的數量積的運算時，對于規(guī)則的圖形，一定要先建立恰當的平面直角坐標系，用向量的坐標法解決平面幾何中的數量積的問題．
跟蹤訓練1　已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，＝2，則·＝________.
二、平面向量的模
問題3　設a＝(x，y)，探究|a|的值．
知識梳理　
1．若a＝(x，y)，則|a|2＝__________，或|a|＝________.
2．如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
那么a＝________________，|a|＝.
例2　設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于(　　)
A. B.
C. D.
反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性質可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數運算與向量運算的相互轉化．
跟蹤訓練2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|等于(　　)
A. B.
C．5 D．25
三、平面向量的夾角、垂直問題
知識梳理　
設a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角．
(1)cos θ＝＝____________________________________.
(2)a⊥b ________________.
例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a與b夾角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數λ的值．
跟蹤訓練3　(1) 設P(－3，－2)，Q(x,2)，則與的夾角為鈍角時，x的取值范圍為________________．
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________.
1．知識清單：
(1)平面向量數量積的坐標表示．
(2)平面向量的模．
(3)平面向量的夾角、垂直問題．
2．方法歸納：轉化與化歸．
3．常見誤區(qū)：兩向量夾角的余弦公式易記錯．
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，則x等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于(　　)
A．1 B. C．2 D．4
4．已知點A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，則·＝________，||＝________.
6.3.5　平面向量數量積的坐標表示
問題1　i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0.
問題2　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j
＝x1x2＋y1y2.
知識梳理
x1x2＋y1y2　乘積的和
例1　(1)B　(2)C
跟蹤訓練1　
問題3　|a|2＝a2＝(xi＋yj)·(xi＋yj)＝x2i·i＋2xyi·j＋y2j·j＝x2＋y2，故|a|＝.
知識梳理
1.x2＋y2　
2.(x2－x1，y2－y1)
例2　A　跟蹤訓練2　C
知識梳理
(1)
(2)x1x2＋y1y2＝0
例3　解　(1)因為a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，
|b|＝＝，
設a與b的夾角為θ，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因為a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，
2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
解得λ＝.
跟蹤訓練3　(1)∪(3，＋∞)
解析　因為P(－3，－2)，Q(x,2)，
所以＝(－3，－2)，＝(x,2)，
當與的夾角為鈍角時，
·＝－3x－4<0，
解得x>－，
當與反向共線時，(－3，－2)＝k(x,2)(k<0)，
解得k＝－1，x＝3，
所以x的取值范圍為∪(3，＋∞).
(2)7
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)
＝(m－1,3).
又a＋b與a垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
隨堂演練
1.A　2.A　3.C　4.7　

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