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6.4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例
[學習目標]　
會用向量方法解決簡單的力學問題及其他實際問題，體會向量在解決物理和實際問題中的作用.
一、向量與力
例1　如圖，用兩根長分別為5 m和10 m的繩子，將100 N的物體M吊在水平屋頂AB上，平衡后，物體M距屋頂?shù)木嚯x恰好為5 m，求A處所受力的大小(繩子的重量忽略不計).
跟蹤訓練1　一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8 m，其中|F1|＝2 N，方向為北偏東30°；|F2|＝4 N，方向為北偏東60°；|F3|＝6 N，方向為北偏西30°.求這三個力的合力F所做的功.
二、向量與速度、加速度、位移
例2　有一條寬為 km的河，水流速度為2 km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速為4 km/h，問該船怎樣航行可使它從A碼頭最快到達B碼頭？用時多少？
反思感悟　速度、加速度、位移的合成與分解，實質(zhì)上就是向量的加、減運算.用向量解決速度、加速度、位移等問題，主要借助于向量的線性運算，有時也借助于坐標來運算.
跟蹤訓練2　某人從點O向正東方向走30 m到達點A，再向正北方向走30 m到達點B，則此人的位移的大小是______ m，方向是北偏東________.
三、向量與功
例3　已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50 N，一個質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運動了20 m.問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g＝10 m/s2)
反思感悟　力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是力和位移兩個向量的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F和s的夾角).
跟蹤訓練3　一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點A(1,1)移動到點B(0,5).則在這個過程中三個力的合力所做的功為________ J.
1.知識清單：
(1)利用向量的加、減、數(shù)乘運算解決力、位移、速度、加速度的合成與分解的問題.
(2)利用向量的數(shù)量積解決力所做的功的問題.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.
3.常見誤區(qū)：不能將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
1.人騎自行車的速度是v1，風速為v2，則逆風行駛的速度大小為(　　)
A.v1－v2
B.v1＋v2
C.|v1|－|v2|
D.
2.一物體受到相互垂直的兩個力F1，F(xiàn)2的作用，兩力大小都為5 N，則兩個力的合力的大小為(　　)
A.5 N
B.5 N
C.5 N
D.5 N
3.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為|s|＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為(　　)
A.7 B.10 C.14 D.70
4.當兩人提起重量為|G|的旅行包時，兩人用力方向的夾角為θ，用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為(　　)
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
6.4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例
例1　解　如圖，由已知條件可知DM與鉛垂方向成45°角，CM與鉛垂方向成60°角.
設(shè)A處所受力為FA，B處所受力為FB，物體的重力為G.
因為∠EMC＝60°，∠EMD＝45°，
則有|FA|cos 45°＋|FB|cos 60°
＝|G|＝100，①
且|FA|sin 45°＝|FB|sin 60°，②
由①②得|FA|＝(150－50)N，
所以A處所受力的大小為(150－50)N.
跟蹤訓練1　解　如圖所示，以物體的重心O為原點，正東方向為x軸的正方向建立平面直角坐標系，
則F1＝(1，)，
F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
∴F＝F1＋F2＋F3
＝(2－2,2＋4).
又位移s＝(4，4)，
∴合力F所做的功W＝F·s
＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24(J).
∴合力F所做的功為24 J.
例2　解　如圖所示，
設(shè)為水流速度，為航行速度，以AC和AD為鄰邊作 ACED，且當AE與AB重合時能最快到達B碼頭，根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，
∠AED＝90°，
∴||＝＝2，
又AB＝，
∴用時0.5 h，易知sin∠EAD＝，
∴∠EAD＝30°.
∴該船航行速度大小為4 km/h，與水流方向成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5 h.
跟蹤訓練2　60　30°
解析　如圖所示，
此人的位移是＝＋，且⊥，
則||＝
＝＝60(m)，
tan∠BOA＝＝＝，
所以∠BOA＝60°.所以的方向為北偏東30°.
例3　解　如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，
則WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J).
將力F分解，它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|＝|F|sin 30°
＝50×＝25(N)，
所以摩擦力f的大小為|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).
即F和f所做的功分別為500 J和－22 J.
跟蹤訓練3?。?0
解析　∵F1＝(3，－4)，
F2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40(J)，
即三個力的合力做的功為－40 J.
隨堂演練
1.C　2.D　3.D　4.D

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