資源簡介

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1課時　余弦定理
[學習目標]　
1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.
2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.
一、余弦定理的推導
問題1　在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c
問題2　在問題1的探究成果中，若C＝90°，公式會變成什么？你認為勾股定理和余弦定理有什么關系？
知識梳理　
1.余弦定理語言敘述：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊________________減去這兩邊與它們夾角的余弦的______________.
2.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有
a2＝____________，
b2＝____________，
c2＝____________.
二、已知兩邊及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值.
反思感悟　已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊，此時需根據題意進行檢驗，需滿足大角對大邊，兩邊之和大于第三邊.
跟蹤訓練1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，則c＝________.
(2)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，則b＝________.
三、已知三邊解三角形
問題3　在△ABC中，已知三邊分別是a，b，c，如何解三角形？
知識梳理　
余弦定理的推論：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，
則cos A＝____________，
cos B＝____________，
cos C＝____________.
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
反思感悟　已知三角形的三邊解三角形的方法
利用余弦定理求出三個角的余弦值，進而求出三個角.
跟蹤訓練2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
四、利用余弦定理判斷三角形形狀
問題4　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若角A為直角，則a，b，c有什么大小關系？若角A為銳角呢？若角A為鈍角呢？
例3　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀.
反思感悟　利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統一”入手，即使用轉化思想解決問題，一般有兩條思考路線
(1)先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數量關系.
(2)先化角為邊，再進行代數恒等變換，求出三邊之間的數量關系.
跟蹤訓練3　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等邊三角形
1.知識清單：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解決的兩類問題.
(3)利用余弦定理判斷三角形形狀.
2.方法歸納：轉化化歸、數形結合.
3.常見誤區：易忽略三角形中的隱含條件.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－，則該三角形的第三條邊長為(　　)
A.52 B.2 C.16 D.4
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)
A. B. C. D.
3.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，則角B為(　　)
A. B.
C.或 D.或
4.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀是______________.
第1課時　余弦定理
問題1　如圖，設＝a，＝b，＝c，
那么c＝a－b，①
我們的研究目標是用|a|，|b|和C表示|c|，
聯想到數量積的性質c·c＝|c|2，
可以考慮用向量c(即a－b)與其自身作數量積運算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
問題2　c2＝a2＋b2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一個特例.
知識梳理
1.平方的和　積的兩倍
2.b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
例1　解　(1)由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°
＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°，
即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2.
跟蹤訓練1　(1)2　(2)3
問題3　cos A＝，
cos B＝，
cos C＝.
知識梳理
　　
例2　解　根據余弦定理的推論，
得cos A＝
＝
＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
cos C＝
＝
＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.
跟蹤訓練2　解　∵a>c>b，
∴A為最大角.
由余弦定理的推論，得
cos A＝＝
＝－.
又∵0°∴最大角A為120°.
問題4　A為直角 a2＝b2＋c2；
A為銳角 b2＋c2>a2(前提是b，c是兩個較小邊)；
A為鈍角 b2＋c2例3　解　由acos B＋acos C＝b＋c并結合余弦定理的推論，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
跟蹤訓練3　D
隨堂演練
1.B　2.B　3.A　4.直角三角形第2課時　正弦定理(一)
[學習目標]　1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個數問題.
一、正弦定理的推導
問題1　在Rt△ABC中，＝＝，在銳角三角形和鈍角三角形中，上述關系是否成立？如何證明呢？
問題2　在△ABC中，＝＝，那么這個比值有什么特殊的含義嗎？
知識梳理　
正弦定理語言敘述：在一個三角形中，各邊和它所對角的_____的比相等，即____＝2R(R為△ABC外接圓的半徑).
二、已知兩角及任意一邊解三角形
例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
反思感悟　(1)正弦定理實際上是三個等式：＝，＝，＝，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.
(2)因為三角形的內角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角.
跟蹤訓練1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.
三、已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
延伸探究　若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個值？
反思感悟　已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理解三角形的步驟
(1)用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值，進而求出這個角.
(2)用三角形內角和定理求出第三個角.
(3)根據正弦定理求出第三條邊.
其中進行(1)時要注意討論該角是否可能有兩個值.
跟蹤訓練2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cos C等于(　　)
A. B. C. D.
四、三角形解的個數的判斷
例3　不解三角形，判斷下列三角形解的個數.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
反思感悟　已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數的方法
(1)應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數的值域判斷解的個數.
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數即為三角形解的個數，解的個數見下表：
A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a＝bsin A 一解
a跟蹤訓練3　(多選)根據下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是(　　)
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有兩解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，無解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
1.知識清單：
(1)正弦定理.
(2)利用正弦定理解三角形.
(3)三角形解的個數的判斷.
2.方法歸納：轉化化歸、數形結合.
3.常見誤區：已知兩邊及一邊所對的角解三角形時易忽略分類討論.
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，則的值是(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，則AC等于(　　)
A.4 B.2 C. D.
3.已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A.有一解 B.有兩解
C.無解 D.解的個數不確定
4.在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，則B＝________.
第2課時　正弦定理(一)
問題1　
在銳角三角形中，
如圖1，在銳角△ABC中，過點A作與垂直的單位向量j，
則j與的夾角為－A，j與的夾角為－C.
因為＋＝，
所以j·(＋)＝j·.
由分配律，得
j·＋j·＝j·，
即|j|||cos ＋|j|||cos
＝|j|||cos，
也即asin C＝csin A，
所以＝.
同理，過點C作與垂直的單位向量m，可得
＝.
因此＝＝.
在鈍角三角形中，當△ABC是鈍角三角形時，不妨設A為鈍角(如圖2所示)，過點A作與垂直的單位向量j，則j與的夾角為A－，j與的夾角為－C，
仿照上述方法，同樣可得
＝＝.
問題2　
如圖，無論怎么移動B′，都會有角B′＝B，
所以在△AB′C中，＝＝c，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圓的直徑，
所以對任意△ABC，均有＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑).
知識梳理
正弦　＝＝
例1　解　因為B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)
＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，
得＝＝，
解得a＝＝4，
c＝＝2(＋).
跟蹤訓練1　解　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得，
c＝＝
＝＝4(＋1).
所以A＝45°，c＝4(＋1).
例2　解　∵＝，
∴sin C＝＝＝，
∵0°∴C＝60°或C＝120°.
當C＝60°時，B＝75°，b＝＝＝＋1；
當C＝120°時，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
延伸探究　解　∵＝，
∴sin A＝＝＝.
∵c＝>2＝a，∴C>A.
∴A為小于45°的銳角，且正弦值為，這樣的角A只有一個.
跟蹤訓練2　B
例3　解　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解.
(2)sin B＝sin 60°＝×
＝，而<<1.
所以當B為銳角時，滿足sin B＝的角B的取值范圍是60°當B為鈍角時，滿足sin B＝的角B的取值范圍是90°(3)sin B＝＝sin C>sin C＝.
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形無解.
跟蹤訓練3　ABD　[A中，∵＝，∴sin B＝＝1，
∴B＝90°，即只有一解；B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有兩解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝，
∴sin B＝＝，
又b隨堂演練
1.A　2.B　3.C　4.60°或120°第3課時　正弦定理(二)
[學習目標]　
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角的關系.
2.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.
3.掌握正弦、余弦定理的簡單應用.
一、利用正弦、余弦定理解三角形
問題　利用正、余弦定理可以解決哪幾類問題？
例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形.
反思感悟　若已知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應用正弦定理求出另一邊的對角；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A求出c；不管利用正弦定理還是余弦定理，都需要檢驗，利用大邊對大角、小邊對小角、兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊以及內角和為180°等進行檢驗.
跟蹤訓練1　已知⊙O的半徑為R，在它的內接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sin B成立，求角C的大小.
二、利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀
例2　(1)已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acos B＝bcos A，則△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.
反思感悟　判斷三角形形狀的方法及注意事項
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知條件轉化為邊(或角)的關系，通過因式分解、配方等得出邊(或角)的相應關系，從而判斷三角形的形狀.
(2)統一成邊(或角)的關系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現漏解.
跟蹤訓練2　(1)在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是銳角，則△ABC的形狀是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
(2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，則此三角形為(　　)
A.等邊三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
三、正弦、余弦定理的綜合應用
例3　設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
反思感悟　利用正弦、余弦定理解三角形的注意點
正、余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，應抓住兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關鍵.
跟蹤訓練3　△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin A＋csin C－asin C
bsin B.
(1)求B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
1.知識清單：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形.
(2)利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.
(3)正弦、余弦定理的綜合應用.
2.方法歸納：轉化化歸、數形結合.
3.常見誤區：利用正弦定理進行邊和角的正弦相互轉化時易出現不等價變形.
1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，則AC等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果將直角三角形的三邊各增加同樣的長度，則新三角形的形狀是(　　)
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.由增加的長度確定的
3.在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，則角C為(　　)
A. B. C.或 D.或
4.若acos A＝bcos B，則△ABC是________三角形.
第3課時　正弦定理(二)
問題　①已知兩邊和夾角的問題：先利用余弦定理求第三邊，再用余弦定理的推論求另外兩角；
②已知三邊的問題：利用余弦定理的推論求三個角；
③已知兩角和任一邊的問題：先由三角形內角和求第三個角，再利用正弦定理求另外兩邊；
④已知兩邊和其中一邊對角的問題：可先由余弦定理求第三邊，此時需從邊的角度進行檢驗，需滿足任意兩邊之和大于第三邊，再由余弦定理的推論求另外兩角；也可由正弦定理求另外一邊的對角，此時需從角的角度進行檢驗，大邊對大角，小邊對小角，內角和為180°，再由內角和求第三個角，最后由正弦定理求第三邊.
例1　解　方法一　由余弦定理
b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，
解得a＝3或a＝6.
當a＝3時，A＝30°，∴C＝120°；
當a＝6時，由正弦定理，
得sin A＝＝＝1，
∴A＝90°，C＝60°.
方法二　由正弦定理，
得＝，解得sin C＝，
又c>b，∴30°∴C＝60°或C＝120°.
當C＝60°時，A＝90°，
由勾股定理，得a＝6；
當C＝120°時，A＝30°＝B，a＝b＝3.
跟蹤訓練1　解　由正弦定理，得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C.
因為2R(sin2A－sin2C)
＝(a－b)sin B，
所以(2R)2(sin2A－sin2C)
＝2R(a－b)sin B，
所以a2－c2＝(a－b)b，
即a2＋b2－c2＝ab.
因為cos C＝，
所以cos C＝.
因為0°例2　(1)A
(2)解　根據正弦定理，
得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.
∵A＝180°－(B＋C)，
sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
跟蹤訓練2　(1)D　(2)C
例3　解　(1)∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理，
得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
∴sin B＝cos B，
即得tan B＝，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，
∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
跟蹤訓練3　解　(1)由正弦定理，
得a2＋c2－ac＝b2，
即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理的推論，
得cos B＝＝.
又0°(2)sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
隨堂演練
1.A　2.A　3.C　4.等腰或直角第5課時　余弦定理、正弦定理的應用
[學習目標]　
1.理解三角形面積公式的推導過程，掌握三角形的面積公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應用.
3.掌握正弦、余弦定理與三角函數的綜合應用.
一、三角形面積公式
問題　已知△ABC的兩邊a，b和角C，如何求△ABC的面積？
知識梳理　
1.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積公式為S＝____________＝____________＝____________.
2.△ABC中的常用結論
(1)A＋B＋C＝________，
sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________；
(2)大邊對大角，即a>b A>B sin A>sin B cos A例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為________.
(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccos A＋
a＝b.
①求C的大小；
②求△ABC的面積.
反思感悟　求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉化為求兩邊及其夾角的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應用.
跟蹤訓練1　已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b，c的值.
二、余弦、正弦定理在平面幾何中的應用
例2　在四邊形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.
(1)求∠CBD的大小；
(2)求AB的值.
反思感悟　在平面幾何中求邊、求角，通常思路是先找所求的邊、角所在的三角形，再在三角形中通過余弦、正弦定理求邊和角.
跟蹤訓練2　如圖，在平面四邊形ABCD中，D＝，CD＝，△ACD的面積為.
(1)求AC的長；
(2)若AB⊥AD，B＝.求BC的長.
三、余弦、正弦定理與三角函數的綜合應用
例3　在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcos B＝acos C＋ccos A.
(1)求角B；
(2)若b＝，c≥b，求2c－a的取值范圍.
反思感悟　正弦、余弦定理與三角函數相結合，常見兩種考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出內角正弦值、余弦值，再結合和、差、倍、半角公式可以求解問題中出現的三角函數值；二是利用三角函數的性質，一般把求邊的范圍轉化成求角的范圍，解與三角形有關的問題.
跟蹤訓練3　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；
(2)若＝，求sin的值.
1.知識清單：
(1)三角形的面積公式.
(2)利用余弦、正弦定理解決平面幾何問題.
(3)余弦、正弦定理與三角函數的綜合應用.
2.方法歸納：轉化化歸、數形結合.
3.常見誤區：利用余弦、正弦定理求值時會出現增根，易忽略檢驗.
1.△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，則△ABC的面積為(　　)
A.2 B. C. D.
2.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，則△ABC的面積為(　　)
A. B. C. D.2
3.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，則sin B的值為(　　)
A. B. C. D.
4.在△ABC中，A＝60°，4sin B＝5sin C，S△ABC＝20，則其周長為________.
第5課時　余弦定理、正弦定理的應用
問題　邊b上的高h為asin C，故面積為S＝bh＝absin C.
知識梳理
1. absin C　bcsin A　casin B
2.(1)180°　sin C　－cos C
例1　(1)
(2)解　①由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C，
即sin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，∴cos C＝，
又C∈(0，π)，∴C＝.
②由余弦定理，
得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，
故ab＝6，
∴S△ABC＝absin C
＝×6×＝，
故△ABC的面積為.
跟蹤訓練1　解　(1)因為cos B＝，
所以sin B＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
即＝，
所以sin A＝＝.
(2)因為S△ABC＝acsin B＝4，
所以×2×c×＝4，解得c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，
所以b＝，
綜上，b＝，c＝5.
例2　解　(1)在△BCD中，
由余弦定理，得
BD＝
＝＝.
由BC＝1，CD＝2，
得BC2＋BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°.
(2)∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝105°－90°＝15°，
∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°，
在△ABD中，由正弦定理得
＝，
∴AB＝
＝＝.
跟蹤訓練2　解　(1)∵D＝，
CD＝，△ACD的面積為，
∴S△ACD＝AD·CD·sin D
＝×AD××＝，
∴AD＝，
∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×＝18，
∴AC＝3.
(2)由(1)知，在△ACD中，AD＝，CD＝，D＝，
∴∠DAC＝，
∵AB⊥AD，∴∠BAC＝.
又∵B＝，AC＝3，
∴在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
即＝，∴BC＝3.
例3　解　(1)由bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理得，2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
因為B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以cos B＝，所以B＝.
(2)因為b＝，B＝，由正弦定理可得＝＝
＝＝2，
所以a＝2sin A，c＝2sin C，
所以2c－a＝2×
＝2×
＝3sin C－cos C
＝2sin，
由c≥b且B＝，可得≤C<，所以≤C－<，
所以≤sin<1，
所以≤2c－a<2，
即2c－a的取值范圍為.
跟蹤訓練3　解　(1)因為a＝3c，
b＝，cos B＝，
由余弦定理的推論
cos B＝，
得＝，
即c2＝.
所以c＝.
(2)因為＝，
由正弦定理＝，
得＝，
所以cos B＝2sin B.
從而cos2B＝(2sin B)2，
即cos2B＝4(1－cos2B)，
故cos2B＝.
因為sin B>0，
所以cos B＝2sin B>0，
從而cos B＝.
因此sin＝cos B＝.
隨堂演練
1.B　2.C　3.D　4.18＋2第4課時　余弦定理、正弦定理應用舉例
[學習目標]　
1.會用正弦定理、余弦定理解決生產實踐中有關距離、高度、角度的測量問題.
2.培養提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力.
一、距離問題
例1　如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40 m的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B兩點之間的距離.
反思感悟　求兩個不可到達的點之間的距離問題，一般是把問題轉化為求三角形的邊長問題，基本方法是
(1)認真理解題意，正確作出圖形，根據條件和圖形特點尋找可解的三角形.
(2)把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解.
跟蹤訓練1　(1)A，B兩地之間隔著一個山岡，如圖，現選擇另一點C，測得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，則A，B兩點之間的距離為________ km.
(2)如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸的標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則河的寬度是________ m.
二、高度問題
例2　如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10 m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是(　　)
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
反思感悟　測量高度問題的解題策略
(1)“空間”向“平面”的轉化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉化為平面問題.
(2)“解直角三角形”與“解非直角三角形”結合，全面分析所有三角形，仔細規劃解題思路.
跟蹤訓練2　如圖，照片中的建筑是某校的新宿舍樓，學生李明想要測量宿舍樓的高度MN.為此他進行了如下測量：首先選定觀測點A和B，測得A，B兩點之間的距離為33米，然后在觀測點A處測得仰角∠MAN＝30°，進而測得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°.根據李明同學測得的數據，該宿舍樓的高度為________米.
　
三、角度問題
例3　甲船在A點發現乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？
反思感悟　測量角度問題的基本思路
測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解.
跟蹤訓練3　地圖測繪人員在點A測得某一目標參照物P在他的北偏東30°的方向，且距離為40 m，之后該測繪人員沿正北方向行走了40 m，到達點B.試確定此時目標參照物P在他北偏東的度數以及他與目標參照物P的距離.
1.知識清單：不可到達的距離、高度、角度等實際問題的測量方案.
2.方法歸納：數形結合.
3.常見誤區：方位角是易錯點.
1.若點A在點C的北偏東30°方向上，點B在點C的南偏東60°方向上，且AC＝BC，則點A在點B的(　　)
A.北偏東15°方向上 B.北偏西15°方向上
C.北偏東10°方向上 D.北偏西10°方向上
2.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以計算出A，B兩點之間的距離為(　　)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
3.如圖，要測出山上一座天文臺BC的高，從山腰A處測得AC＝60 m，天文臺最高處B的仰角為45°，天文臺底部C的仰角為15°，則天文臺BC的高為(　　)
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
4.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100 m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cos θ等于(　　)
A. B. C.－1 D.－1
第4課時　余弦定理、正弦定理應用舉例
例1　解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，
BC＝＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，
∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°
＝2 400，
∴AB＝20，
故A，B兩點之間的距離為20 m.
跟蹤訓練1　(1)
(2)60
解析　tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，
故CD＝60.即河的寬度是60 m.
例2　D　[在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，
∠DBC＝30°，
由正弦定理，
得＝，
故BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
故AB＝BC×tan 60°＝10(m).]
跟蹤訓練2　11
解析　在△ABM中，因為∠MAB＝105°，∠MBA＝45°，
所以∠AMB＝30°，又AB＝33，
所以＝，
即＝，解得AM＝33；
在Rt△AMN中，因為∠MAN＝30°，AM＝33，
所以MN＝AM·tan 30°＝11，
即該宿舍樓的高度為11米.
例3　解　如圖所示.設經過t小時兩船在C點相遇，
則在△ABC中，BC＝at(海里)，
AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船應沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇.
跟蹤訓練3　解　如圖，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m.
由余弦定理，得
PB＝
＝
＝40(m).
因為AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此測繪人員到達點B時，目標參照物P在他的北偏東60°方向上，且目標參照物P與他的距離為40 m.
隨堂演練
1.B　2.A　3.B　4.C

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