資源簡介

6.2平面向量的運算
【題型歸納】
題型一：向量加法法則
1．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【解析】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，
則，再作，則，即.
解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，
如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，
再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.
2．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1)
(2)
【解析】（1）作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.
（2）作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.
3．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．
(1)
(2)
(3)
【解析】（1）作，，，則即為所求作的向量.
（2）作，，，則即為所求作的向量.
（3）作，，，則即為所求作的向量.
題型二：向量加法運算律的應用
4．（2024·新疆·高一?？计谀┗喯铝懈魇?
(1)
(2)
【解析】（1）原式.
（2）原式
5．（2024·高一課前預習）化簡
(1)；
(2) .
【解析】（1）=
（2）==.
6．（2024·全國·高一專題練習）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【解析】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
題型三：向量加法的實際應用
7．（2024·高一課前預習）正方形的邊長為1，則為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】在正方形中，如圖所示,
根據向量加法的平行四邊形法則，,
又因為正方形的邊長為1，
所以，
故選：B.
8．（2024·安徽蕪湖·高一統考期末）如圖，正六邊形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正六邊形ABCDEF中，因為，
所以，
故選：B.
9．（2024·高一課時練習）已知||＝10，||＝7，則||的取值范圍是（ ）
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
【答案】A
【解析】，
，等號成立當且僅當與共線時，
故選：A.
題型四：向量的減法運算
10．（2024·高一課時練習）如圖，已知向量、，求作下列向量：
(1)；
(2)．
【解析】（1）作，，則，則即為所求作的向量.
（2）作，，則，則即為所求作的向量.
11．（2024·高一課時練習）已知向量，，如圖所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【解析】如圖所示.
（1）
（2）
12．（2024·高一課時練習）如圖，已知向量和向量，用三角形法則作出
【解析】作法：作向量，向量，則向量,
如圖所示，作向量，則
題型五：向量減法法則的應用
13．（2024·高一課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【解析】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
14．（2024·全國·高一專題練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
15．（2024·高一課前預習）化簡下列式子：
(1)；
(2)；
【解析】（1）原式
（2）原式
題型六：向量的線性運算
16．（2024·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
17．（2024·廣西南寧·高一校考階段練習）已知向量，計算
【解析】，
所以
18．（2024·高一課前預習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
題型七：用已知向量表示其他向量
19．（2024·全國·高一隨堂練習）在中，為的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
.
故選：A.
20．（2024·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，.
故選：C
21．（2024·全國·高一假期作業）在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因為在等腰梯形ABCD中，，所以,
因為M為BC的中點，所以
,
故選:B.
題型八：向量共線的判定及應用
22．（2024·甘肅蘭州·高一蘭州一中校考階段練習）設兩個非零向量不共線，且，，，則（ ）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
【答案】D
【解析】對于A，，，
不存在實數，使得成立，三點不共線，A錯誤；
對于B，，，
不存在實數，使得成立，三點不共線，B錯誤；
對于C，，，
不存在實數，使得成立，三點不共線，C錯誤；
對于D，，，
，三點共線，D正確.
故選：D.
23．（2024·全國·高一專題練習）已知向量，不共線，若，，，則（ ）
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
【答案】B
【解析】對于A，因為，，
若A，B，C三點共線，則存在實數使得，
則，無解，所以A，B，C三點不共線，故A錯誤；
對于B，∵，
∴，又∵A是公共點，∴A，B，D三點共線，
故B正確；
對于C，因為，，所以，
若A，C，D三點共線，則存在實數使得，又，
所以，無解，所以A，C，D三點不共線，故C錯誤；
對于D，若B，C，D三點共線，則存在實數使得，
又，，所以，無解，
所以B，C，D三點不共線，故D錯誤；
故選：B.
24．（2024·全國·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．
【解析】證明:因為，
，
所以，
因此，A，B，C三點共線．
題型九：三點共線的常用結論
25．（2024·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期末）如圖，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．
【解析】∵是的重心，∴是邊上的中線，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三點共線，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
當且僅當，即，時，等號成立，
∴的最小值為.
26．（2024·遼寧鐵嶺·高三校聯考期末）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則 ．
【答案】/0.1
【解析】因為E為AD的中點，所以，
因為B，D，C三點共線，所以，
所以，解得．
故答案為：
27．（2024·山東菏澤·高一統考期末）在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線于點，且，，其中且，若的最小值為 .
【答案】
【解析】依題意，作出圖形如下，
因為，，，則，
所以 ，
因為三點共線，所以，
因為，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
題型十：求兩向量的數量積
28．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習）向量，夾角為，且，|，則在方向上的投影的數量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【解析】由題意，在方向上的投影的數量等于.
故選：D
29．（2024·全國·高一隨堂練習）已知，，與的夾角為，計算下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）因為，，
所以.
（2）因為，，與的夾角為，
所以，
所以.
30．（2024·全國·高一期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點，，，且與的夾角為60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求實數k的值；
(3)若，且，求的值．
【解析】（1）由已知，，且與的夾角為60°，
可得
因為，故；
又，所以可得；
（2）因為，且，
所以
化簡得，顯然不成立，
故k不存在；
（3）因為，故，
所以，
.
所以的值為.
31．（2024·湖北黃岡·高一?？茧A段練習）如圖，在底角為的等腰梯形中，，，分別為，的中點．設
(1)用，表示，；
(2)若，求．
【解析】（1），
；
（2）由題意可得,過作的垂線，則由,
，
.
題型十一：向量的模和夾角的計算問題
32．（2024·浙江寧波·高一鎮海中學?？计谀﹩挝幌蛄?，滿足.
(1)求與夾角的余弦值：
(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.
【解析】（1）因為，，
所以，即，則，
則，即與夾角的余弦值.
（2）因為與的夾角為銳角，
所以且與不共線，
當與共線時，有，即，
由（1）知與不共線，所以，解得，
所以當與不共線時，，
由，得，
即，解得，
所以且，即實數的取值范圍為.
33．（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學?？计谀┮阎蛄颗c的夾角為，且，．向量與共線，
(1)求實數的值；
(2)求向量與的夾角．
【解析】（1）若向量與共線，
則存在實數，使得，
則，則；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
34．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，分別為上的點，且

(1)求的值；
(2)求.
【解析】（1）.
（2），，，，
，
.
35．（2024·江蘇鎮江·高一校聯考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【解析】（1），
；
（2）因為，所以，
因為，，
所以，
把代入式，得，
.
題型十二：與垂直有關的問題
36．（2024·全國·高一課堂例題）如圖所示，已知中，分別為邊上的高，而且與相交于點O，連接并延長，與相交于點D.求證：.

【解析】因為，所以，即，
因此①，
又因為，所以，即，
因此②，
由①―②可得，因此，
從而，故，即.
37．（2024·遼寧丹東·高一?？计谀┮阎矫嫦蛄?，，，，且與的夾角為
(1)求
(2)若與垂直，求的值
【解析】（1）與的夾角為，
，
，
；
（2）與垂直，
，
，
.
38．（2024·高一單元測試）已知向量，不共線，，．
(1)若，求的值，并判斷，是否同向；
(2)若，與夾角為，當為何值時，．
【解析】（1），，，
，即．
又向量，不共線，，
解得，，即，
故與反向．
（2）因為，與夾角為，
所以
，
又，故，因為，所以，解得，
故時，．
39．（2024·安徽宣城·高一統考期末）已知平面向量滿足，，且．
(1)求在方向上的投影向量；
(2)若，求實數的值．
【解析】（1）由，，且，
平方得，解得，
所以在方向上的投影向量為.
（2）因為，所以，
化簡得，所以，解得
40．（2024·河北唐山·高一統考期末）已知平面向量與的夾角為，且，.
(1)求；
(2)若與垂直，求的值.
【解析】（1）
.
（2）因為與垂直，所以，
所以，
所以，得.
41．（2024·山東濱州·高一統考期末）已知，是夾角為的兩個單位向量，，.
(1)求與的夾角；
(2)若與（）互相垂直，求的值.
【解析】（1）因為，是夾角為的兩個單位向量，故，
則，
則，
，
故，而，
故.
（2）因為與（）互相垂直，
故，即，
故.
42．（2024·山東濟南·高一統考期末）已知是兩個單位向量，夾角為，設．
(1)求；
(2)若，求的值．
【解析】（1）因為是兩個單位向量，夾角為，所以，
所以；
（2）因為，所以，即
即，.
43．（2024·廣東茂名·高一統考期末）已知不共線的兩個平面向量，滿足，.
(1)若與的夾角，求的值；
(2)若，求實數的值.
【解析】（1）由題意，，，
所以
，所以.
（2）因為，所以，
即,因為，，所以，解得.6．2平面向量的運算
【題型歸納】
題型一：向量加法法則
1．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

2．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1)
(2)
3．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．
(1)
(2)
(3)
題型二：向量加法運算律的應用
4．（2024·新疆·高一?？计谀┗喯铝懈魇?
(1)
(2)
5．（2024·高一課前預習）化簡
(1)；
(2) .
6．（2024·全國·高一專題練習）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
題型三：向量加法的實際應用
7．（2024·高一課前預習）正方形的邊長為1，則為（ ）
A．1 B． C．3 D．
8．（2024·安徽蕪湖·高一統考期末）如圖，正六邊形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·高一課時練習）已知||＝10，||＝7，則||的取值范圍是（ ）
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
題型四：向量的減法運算
10．（2024·高一課時練習）如圖，已知向量、，求作下列向量：
(1)；
(2)．
11．（2024·高一課時練習）已知向量，，如圖所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
12．（2024·高一課時練習）如圖，已知向量和向量，用三角形法則作出
題型五：向量減法法則的應用
13．（2024·高一課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
14．（2024·全國·高一專題練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
15．（2024·高一課前預習）化簡下列式子：
(1)；
(2)；
題型六：向量的線性運算
16．（2024·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3).
17．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習）已知向量，計算
18．（2024·高一課前預習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型七：用已知向量表示其他向量
19．（2024·全國·高一隨堂練習）在中，為的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習）在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·全國·高一假期作業）在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
題型八：向量共線的判定及應用
22．（2024·甘肅蘭州·高一蘭州一中校考階段練習）設兩個非零向量不共線，且，，，則（ ）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
23．（2024·全國·高一專題練習）已知向量，不共線，若，，，則（ ）
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
24．（2024·全國·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．
題型九：三點共線的常用結論
25．（2024·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期末）如圖，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．
26．（2024·遼寧鐵嶺·高三校聯考期末）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則 ．
27．（2024·山東菏澤·高一統考期末）在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線于點，且，，其中且，若的最小值為 .
題型十：求兩向量的數量積
28．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習）向量，夾角為，且，|，則在方向上的投影的數量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
29．（2024·全國·高一隨堂練習）已知，，與的夾角為，計算下列各式：
(1)；
(2)．
30．（2024·全國·高一期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點，，，且與的夾角為60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求實數k的值；
(3)若，且，求的值．
31．（2024·湖北黃岡·高一?？茧A段練習）如圖，在底角為的等腰梯形中，，，分別為，的中點．設
(1)用，表示，；
(2)若，求．
題型十一：向量的模和夾角的計算問題
32．（2024·浙江寧波·高一鎮海中學?？计谀﹩挝幌蛄?，滿足.
(1)求與夾角的余弦值：
(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.
33．（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學校考期末）已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，
(1)求實數的值；
(2)求向量與的夾角．
34．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，分別為上的點，且

(1)求的值；
(2)求.
35．（2024·江蘇鎮江·高一校聯考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
題型十二：與垂直有關的問題
36．（2024·全國·高一課堂例題）如圖所示，已知中，分別為邊上的高，而且與相交于點O，連接并延長，與相交于點D.求證：.

37．（2024·遼寧丹東·高一校考期末）已知平面向量，，，，且與的夾角為
(1)求
(2)若與垂直，求的值
38．（2024·高一單元測試）已知向量，不共線，，．
(1)若，求的值，并判斷，是否同向；
(2)若，與夾角為，當為何值時，．
39．（2024·安徽宣城·高一統考期末）已知平面向量滿足，，且．
(1)求在方向上的投影向量；
(2)若，求實數的值．
40．（2024·河北唐山·高一統考期末）已知平面向量與的夾角為，且，.
(1)求；
(2)若與垂直，求的值.
41．（2024·山東濱州·高一統考期末）已知，是夾角為的兩個單位向量，，.
(1)求與的夾角；
(2)若與（）互相垂直，求的值.
42．（2024·山東濟南·高一統考期末）已知是兩個單位向量，夾角為，設．
(1)求；
(2)若，求的值．
43．（2024·廣東茂名·高一統考期末）已知不共線的兩個平面向量，滿足，.
(1)若與的夾角，求的值；
(2)若，求實數的值.

展開更多......

收起↑