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6.4.2 向量在物理中的應用舉例3題型分類
向量方法解決物理問題的步驟
用向量方法討論物理學中的相關問題，一般來說分為四個步驟：
(1)問題轉化，即把物理問題轉化為數學問題.
(2)建立模型，即建立以向量為載體的數學模型.
(3)求解參數，即求向量的模、夾角、數量積等.
(4)回答問題，即把所得的數學結論回歸到物理問題.
（一） 向量在物理中的應用 用向量解決物理問題的一般步驟 (1)問題的轉化，即把物理問題轉化為數學問題. (2)模型的建立，即建立以向量為主體的數學模型. (3)參數的獲得，即求出數學模型的有關解——理論參數值. (4)問題的答案，即回到問題的初始狀態，解釋相關的物理現象.
題型1：力的合成 1-1．（2023·江蘇·高一專題練習）已知力，且和三個力的合力為，則 ． 1-2．（2023·高一課時練習）一物體在力的共同作用下從點移動到點．在這個過程中三個力的合力所做的功為 ． 1-3．（2023上·安徽合肥·高三校考開學考試）一質點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為 牛頓. 1-4．（2023·四川資陽·高一校考期末）如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為的物體，恰好使得系統處于平衡狀態，求正數的取值范圍. 1-5．（2023下·四川綿陽·高一校考期末）平面上三個力、、作用于一點且處于平衡狀態，，，與的夾角為，求： (1)的大小； (2)與夾角的大小． 1-6．（2023下·上海虹口·高一華東師范大學第一附屬中學校考期末）高一學生將質量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力與大小的比值為 . 1-7．（2023下·山西·高一統考期末）如圖，作用于同一點的三個力，，處于平衡狀態，已知，，與的夾角為，則的大小為 .
題型2：速度、位移的合成 2-1．（2023下·湖北荊州·高一公安縣車胤中學校考階段練習）某人先向東走，位移記為，接著再向北走，位移記為，則表示（ ） A．向東南走 B．向東北走 C．向東南走 D．向東北走 2-2．（2023高一練習）長江某地南北兩岸平行.如圖所示，江面寬度，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在A的正北方向.回答下面的問題. （1）當時，判斷游船航行到達北岸的位置在的左側還是右側，并說明理由. （2）當為多大時，游船能到達處？需要航行多長時間？ 2-3．（2023下·山東濱州·高一統考期末）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準備從河南岸的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度大小是 . 2-4．（2023下·北京通州·高一統考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發，向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為.設這艘船行駛方向與水流方向的夾角為，行駛完全程需要的時間為，若船的航程最短，則（ ） A．， B．， C．， D．，
題型3：功、動量的計算 3-1．（2023下·高一課時練習）力作用于質點P，使P產生的位移為,則力對質點P做的功是 . 3-2．（2023下·陜西渭南·高一統考期末）如圖，一個力作用于小車，使小車發生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向（的方向）的夾角為，則力做的功為 牛·米. 3-3．（2023下·江蘇無錫·高一輔仁高中校考階段練習）一物體在力F→的作用下，由點移動到點.已知，則F→對該物體所做的功為（ ） A． B．15 C．28 D．
一、單選題
1．（2023下·福建福州·高一福建省福州第八中學校考期中）當兩人提起重量為的旅行包時，夾角為，兩人用力都為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江蘇無錫·高三統考期中）一質點在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由點A(10，﹣5)移動到B(-4，0)，則，的合力F對該質點所做的功為（ ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
3．（陜西省寶雞市金臺區2022-2023學年高一下學期期末數學試題）已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·山東臨沂·高一校考階段練習）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學生的體重（單位：）約為（參考數據：取重力加速度大小為）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
5．（2023下·遼寧朝陽·高一校聯考階段練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2023年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動，在冰球運動中，冰球運動員腳穿冰鞋，身著防護裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝．小趙同學在練習冰球的過程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球從點A(1，1)移動到點B(6，11)，則對冰球所做的功為（ ）
A．-210 B．210 C．-270 D．270
6．（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學校校考期中）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸．假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設和的夾角為，北岸的點在A的正北方向，則游船正好到達處時，等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江蘇·高一專題練習）長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·山東煙臺·高一統考期中）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·山東·高一階段練習）若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態．已知，與的夾角為，則力的大小為（ ）．
A．7 B． C． D．1
二、多選題
10．（2023下·廣東佛山·高一統考期末）一物體受到3個力的作用，其中重力的大小為4N，水平拉力的大小為3N，另一力未知，則（ ）
A．當該物體處于平衡狀態時，
B．當與方向相反，且時，物體所受合力大小為
C．當物體所受合力為時，
D．當時，
11．（2023·高一課時練習）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（ ）
A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變
三、填空題
12．（2023下·北京豐臺·高一統考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個人從岸邊游向對岸.已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.
①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘 米；
②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要 分鐘.
13．（2023下·高一課時練習）如圖所示，一力作用在小車上，其中力的大小為，方向與水平面成角，當小車向前運動時，力做的功為 .
14．（2023下·江蘇南通·高一統考階段練習）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h．一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于對岸B（AB與河岸的方向垂直）的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨．若水流的速度與小貨船的速度（自身動力產生的速度）的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，航行的合速度方向與正西方向的夾角為 ，小貨船的速度大小為 km/h．
15．（2023·高一課時練習）在水流速度為的河中，要使船以的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為 ，與水流方向所成的角為 ．
四、解答題
16．（2023上·內蒙古赤峰·高一統考期末）一條寬為km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速為4km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達彼岸B碼頭？用時多少？
17．（2023·高一課時練習）某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.
18．（2023·江蘇·高一專題練習）在靜水中船的速度為，水流的速度為，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，則經過小時，該船的實際航程是多少 6.4.2 向量在物理中的應用舉例3題型分類
向量方法解決物理問題的步驟
用向量方法討論物理學中的相關問題，一般來說分為四個步驟：
(1)問題轉化，即把物理問題轉化為數學問題.
(2)建立模型，即建立以向量為載體的數學模型.
(3)求解參數，即求向量的模、夾角、數量積等.
(4)回答問題，即把所得的數學結論回歸到物理問題.
（一） 向量在物理中的應用 用向量解決物理問題的一般步驟 (1)問題的轉化，即把物理問題轉化為數學問題. (2)模型的建立，即建立以向量為主體的數學模型. (3)參數的獲得，即求出數學模型的有關解——理論參數值. (4)問題的答案，即回到問題的初始狀態，解釋相關的物理現象.
題型1：力的合成 1-1．（2023·江蘇·高一專題練習）已知力，且和三個力的合力為，則 ． 【答案】 【分析】利用平面向量線性運算的坐標表示即可求解. 【詳解】解：設，則，即，解得， 所以. 故答案為：. 1-2．（2023·高一課時練習）一物體在力的共同作用下從點移動到點．在這個過程中三個力的合力所做的功為 ． 【答案】 【分析】先根據向量坐標表示的加法運算求出合力，再求出位移，再求出即可得解. 【詳解】因為， 所以合力，又， 所以，即三個力的合力做的功等于. 故答案為：. 1-3．（2023上·安徽合肥·高三校考開學考試）一質點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為 牛頓. 【答案】6 【分析】根據向量的合成法則以及向量的模長公式，進行計算即可 【詳解】設三個力，，分別對于的向量為： 則由題知 所以 所以 又 所以 所以的大小為：6 故答案為：6 1-4．（2023·四川資陽·高一校考期末）如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為的物體，恰好使得系統處于平衡狀態，求正數的取值范圍. 【答案】 【分析】建立坐標系，設出坐標，把平衡關系轉化為向量關系，然后根據三角的相關公式整理出正數關于角的函數，再進行恒等變換求出參數的取值范圍. 【詳解】 如圖建立坐標系，記OB、OA與軸的正半軸的夾角 分別為，則由三角函數定義得， ， 由于系統處于平衡狀態，∴ ∴ ， 【方法一】移項，（1）、（2）平方相加得：， 即 ， 而存在正數使得系統平衡，∴△＝， ∴.（因滑輪大小忽略，寫成亦可， 不扣分．這時均為0） 由（*）解得，由（2）式知 ∴，這是關于的增函數， ∴正數的取值范圍為 . 【方法二】（1）、（2）平方相加得：， 由（1）知，，而 ∴ 隨單調遞增，∴ （這里的銳角滿足，此時） 且（寫成不扣分，這時均為0） ∴從而， ∴，即， ∴, ∴正數的取值范圍為. 【點睛】本題考查平面向量的正交分解及坐標表示，考查了有實際物理背景的向量之間的運算，利用向量加法的法則建立起相關的方程，然后求出參數，用向量法求解物理問題是向量的一個重要運用. 1-5．（2023下·四川綿陽·高一校考期末）平面上三個力、、作用于一點且處于平衡狀態，，，與的夾角為，求： (1)的大小； (2)與夾角的大小． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）三個力平衡則三個力的和為；移項，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小． （2）利用三角函數的余弦定理求出兩個向量的夾角大小． 【詳解】（1）解：三個力平衡，， ， （2）解：與的夾角可由余弦定理求得， ， 與的夾角為 則與的夾角為． 1-6．（2023下·上海虹口·高一華東師范大學第一附屬中學校考期末）高一學生將質量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力與大小的比值為 . 【答案】 【分析】根據繩子拉力的水平方向上分力的合力為0可求出答案. 【詳解】設N，N， 則， 可得. 故答案為： 1-7．（2023下·山西·高一統考期末）如圖，作用于同一點的三個力，，處于平衡狀態，已知，，與的夾角為，則的大小為 . 【答案】1 【分析】根據力的平衡，可得向量的和為 ，由向量的模長即可求解力的大小. 【詳解】，，三個力處于平衡狀態，即 則 故答案為：1
題型2：速度、位移的合成 2-1．（2023下·湖北荊州·高一公安縣車胤中學校考階段練習）某人先向東走，位移記為，接著再向北走，位移記為，則表示（ ） A．向東南走 B．向東北走 C．向東南走 D．向東北走 【答案】D 【分析】根據向量方向和模長可得結果. 【詳解】由題意知：，位移方向為東北方向，表示向東北走. 故選：D. 2-2．（2023高一練習）長江某地南北兩岸平行.如圖所示，江面寬度，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在A的正北方向.回答下面的問題. （1）當時，判斷游船航行到達北岸的位置在的左側還是右側，并說明理由. （2）當為多大時，游船能到達處？需要航行多長時間？ 【答案】（1）左側，理由見解析 （2）； 【分析】（1）先計算出，也即合速度的大小，然后利用向量夾角的計算公式，計算得，由此判斷出游船航行到達北岸的位置在的左側. （2）先求得與合速度方向的夾角的正弦值，利用誘導公式求得，此時游船能到達處.利用路程除以，求得需要航行的時間. 【詳解】（1）左側，理由如下： ， 由，得 . . 由，得. ∵游船航行到達北岸的位置在點的左側（如圖（1）） （2）如圖（2），要使游船航行到達北岸的處，必須. ， . 需要航行的時間. 【點睛】本小題主要考查利用向量解決實際應用問題，考查向量模、夾角和數量積的運算，屬于中檔題. 2-3．（2023下·山東濱州·高一統考期末）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準備從河南岸的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度大小是 . 【答案】 【分析】由已知條件求解直角三角形，根據向量的平行四邊形法則，結合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小. 【詳解】由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段， 設小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下： 因為一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東， ，在中，有， 所以， 所以， 所以， 所以小貨船航行速度的大小為． 故答案為： 2-4．（2023下·北京通州·高一統考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發，向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為.設這艘船行駛方向與水流方向的夾角為，行駛完全程需要的時間為，若船的航程最短，則（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作出圖形，由題意可得，可分析的范圍，再由同角三角函數基本關系求出，據此可求出速度，再由求解. 【詳解】如圖， 由圖可知，，所以，故， 所以又因為，所以， 所以（），故. 故選：B
題型3：功、動量的計算 3-1．（2023下·高一課時練習）力作用于質點P，使P產生的位移為,則力對質點P做的功是 . 【答案】 【解析】直接由功的公式，利用數量積的坐標運算得答案． 【詳解】解:由題易得，， 故答案為：． 【點睛】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查了數量積的物理意義，屬于基礎題． 3-2．（2023下·陜西渭南·高一統考期末）如圖，一個力作用于小車，使小車發生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向（的方向）的夾角為，則力做的功為 牛·米. 【答案】1000 【分析】根據平面向量數量積的幾何意義，求出小車位移方向力的大小，即可求出力做的功. 【詳解】解：小車位移方向力的大小為牛， 所以力做的功為牛·米. 故答案為：1000. 3-3．（2023下·江蘇無錫·高一輔仁高中校考階段練習）一物體在力F→的作用下，由點移動到點.已知，則F→對該物體所做的功為（ ） A． B．15 C．28 D． 【答案】B 【分析】利用數量積的坐標公式進行計算. 【詳解】由題意得：，設F→對該物體所做的功為： 故選：B
一、單選題
1．（2023下·福建福州·高一福建省福州第八中學校考期中）當兩人提起重量為的旅行包時，夾角為，兩人用力都為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據力的平衡或平面向量的和為零向量即可求出．
【詳解】由題意作出示意圖，由可知，
，四邊形為菱形，且都是正三角形，所以．
故選：D．
2．（2023上·江蘇無錫·高三統考期中）一質點在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由點A(10，﹣5)移動到B(-4，0)，則，的合力F對該質點所做的功為（ ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
【答案】A
【解析】先求出，的合力F的坐標、的坐標，再求出由共點力平衡得合力對該質點所做的功.
【詳解】由題意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，，
則由共點力平衡得合力對該質點所做的功為.
故選：A.
3．（陜西省寶雞市金臺區2022-2023學年高一下學期期末數學試題）已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加減法及其幾何意義求解
【詳解】因為兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，
所以的大小為，
故選：B
4．（2023下·山東臨沂·高一校考階段練習）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學生的體重（單位：）約為（參考數據：取重力加速度大小為）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
【答案】D
【分析】用向量表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出，再化為千克即可得．
【詳解】如圖，，，
作平行四邊形，則是菱形，，
，
所以，
因此該學生體重為（kg）.
故選：D．
5．（2023下·遼寧朝陽·高一校聯考階段練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2023年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動，在冰球運動中，冰球運動員腳穿冰鞋，身著防護裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝．小趙同學在練習冰球的過程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球從點A(1，1)移動到點B(6，11)，則對冰球所做的功為（ ）
A．-210 B．210 C．-270 D．270
【答案】D
【分析】由平面向量數量積的定義即可得出答案.
【詳解】由題意得=(5，10)，故力對冰球所做的功為·=5×6+24×10=270．
故選：D.
6．（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學校校考期中）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸．假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設和的夾角為，北岸的點在A的正北方向，則游船正好到達處時，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意分析可得，即可求解.
【詳解】設船的實際速度為，因為點在A的正北方向，所以，
所以.
故選：D.
7．（2023·江蘇·高一專題練習）長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合圖形，利用平面向量的線性運算、數量積公式、模長公式以及兩向量垂直的充要條件求解.
【詳解】由題意知，
則，
因為，，
即，
所以.故A，C，D錯誤.
故選：B.
8．（2023下·山東煙臺·高一統考期中）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知條件求解直角三角形，根據向量的平行四邊形法則，結合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小．
【詳解】解：由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段，設小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小貨船航行速度的大小為，
故選：C.
9．（2023下·山東·高一階段練習）若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態．已知，與的夾角為，則力的大小為（ ）．
A．7 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根據三力平衡得到，然后通過平方將向量式數量化得到，代入數據即可得到答案.
【詳解】根據三力平衡得，即，
兩邊同平方得，
即
即,
解得
故選：D.
二、多選題
10．（2023下·廣東佛山·高一統考期末）一物體受到3個力的作用，其中重力的大小為4N，水平拉力的大小為3N，另一力未知，則（ ）
A．當該物體處于平衡狀態時，
B．當與方向相反，且時，物體所受合力大小為
C．當物體所受合力為時，
D．當時，
【答案】ACD
【分析】根據向量的加法法則作圖可判斷AB；根據題意分析與的合力大小可判斷C；由與共線時合力取得最值可判斷D.
【詳解】A選項：由題知，的大小等于重力與水平拉力的合力大小，由圖知，故A正確；
B選項：如圖，物體所受合力應等于向量與的和向量的大小，顯然B錯誤；
C選項；當物體所受合力為時，說明與的合力為，所以，C正確；
D選項：由上知，重力與水平拉力的合力為，N，易知當與同向時合力最大，最大值為7N，反向時合力最小，最小值為3N，
即，故D正確.
故選：ACD
11．（2023·高一課時練習）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（ ）
A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變
【答案】AC
【分析】設水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，根據題意則有，然后逐一分析判斷即可.
【詳解】解：設水的阻力為，繩子的拉力為,與水平方向的夾角為，
則有，
所以，
因為增大，減小，
所以增大，
加上浮力等于船的重力，
所以船的浮力減小.
故選：AC.
三、填空題
12．（2023下·北京豐臺·高一統考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個人從岸邊游向對岸.已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.
①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘 米；
②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要 分鐘.
【答案】 24； 20.
【分析】（1）求出即得解；
（2）求出他游到河對岸的速度即得解.
【詳解】解：（1）如圖所示，當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小為，他實際前進速度的大小每分鐘24米.
（2）如圖所示，當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的速度為，所以他游到河對岸的需要分鐘.
故答案為：24；20.
13．（2023下·高一課時練習）如圖所示，一力作用在小車上，其中力的大小為，方向與水平面成角，當小車向前運動時，力做的功為 .
【答案】50
【分析】根據力做功的計算公式計算可得；
【詳解】解：.
故答案為：.
14．（2023下·江蘇南通·高一統考階段練習）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h．一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于對岸B（AB與河岸的方向垂直）的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨．若水流的速度與小貨船的速度（自身動力產生的速度）的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，航行的合速度方向與正西方向的夾角為 ，小貨船的速度大小為 km/h．
【答案】 30°
【分析】①利用圖象結果求正切值即可求解；②利用余弦定理求得船速，結合三角形求得航行方向.
【詳解】
如圖，，
，
，
∴合速度的方向與水流的方向成150°的角，與正西方向的夾角為30°，
設小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，
∴小船航行速度的大小為.
故答案為：①30°；②
15．（2023·高一課時練習）在水流速度為的河中，要使船以的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為 ，與水流方向所成的角為 ．
【答案】 20
【分析】表示水流方向，表示垂直于對岸橫渡的方向，表示船實際航行的方向，則，由可得答案.
【詳解】如圖，表示水流方向，表示垂直于對岸橫渡的方向，表示船實際航行的方向，則，由題意知，，所以，且．所以船行駛速度的大小為，與水流方向所成的角為．
故答案為：①20②．
四、解答題
16．（2023上·內蒙古赤峰·高一統考期末）一條寬為km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速為4km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達彼岸B碼頭？用時多少？
【答案】船實際航行速度大小為4km/h，與水流成120°角時能最快到達B碼頭，用時半小時
【詳解】如圖所示，設為水流速度，為航行速度，以AC和AD為鄰邊作 ACED且當AE與AB重合時能最快到達彼岸．根據題意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.
∴||＝＝2，
sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用時0.5h.
答：船實際航行速度大小為4km/h，與水流成120°角時能最快到達B碼頭，用時半小時．
17．（2023·高一課時練習）某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.
【答案】實際風速的大小是，為西北風.
【分析】設實際風速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風速為，當速度為時感到的風速為，作出對應的圖形，根據向量的線性運算及向量的模長公式，即可得解.
【詳解】設實際風速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風速為，當速度為時感到的風速為，
如圖，設，，.
∵，∴，這就是速度為時感到的由正北方向吹來的風速.
∵，∴，這就是速度為時感到的由東北方向吹來的風速，
由題意知，，，∴為等腰直角三角形，
∴，，即.
∴實際風速的大小是，為西北風.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量的應用，解決問題的關鍵是抓住“人覺得風的速度是合速度”，再根據它們之間的關系進行分析，考查學生的分析判斷能力與轉化思想，屬于中檔題.
18．（2023·江蘇·高一專題練習）在靜水中船的速度為，水流的速度為，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，則經過小時，該船的實際航程是多少
【答案】
【分析】如圖，設水流的速度為，船航行的速度為，則這個速度的和為，則由題意可得，，解直角三角形求出合速度的大小，然后求解即可．
【詳解】解：如圖：設水流的速度為，船航行的速度為，則這個速度的和速度為，
則由題意可得，．
直角三角形中，由，，可得，
所以船的合速度的大小為，
故船行駛的方向與水流的方向成（即．
所以經過小時，該船的實際航程是千米．

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