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圓錐曲線專題復習（曲線方程與基本量問題）
基礎知識
1.橢圓、雙曲線
橢圓 雙曲線
焦點 焦點在軸上 焦點在軸上 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程 (
____________
) (
____________
) (
____________
) (
____________
)
定義 （）
軸長 長軸,短軸 實軸，虛軸
焦距 (
___________________________
) (
___________________________
)
離心率
漸近線 方程
通徑 過焦點且垂直于長軸（實軸）的弦叫通徑： ； 如第一象限交點坐標
焦點三角形面積 (
________
) (
_________
)
2.拋物線：
定義： （與定點和定直線的距離相等的點的集合）
準方程
焦點
準線
焦半徑
過焦點的直線與拋物線相交 (
____
) (
____________
)過焦點的弦長：； 拋物線的通經： （過焦點的最短弦長） 以弦為直徑的圓與準線相切（梯形中位線）
二、典型例題分析
【例1】（漸近線）（2021·新高考II卷）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程_____________________.
【變式1.1】（2022·新高考II卷）已知雙曲線：的右焦點為，漸近線方程為．求的方程。
【例2】（離心率）（2023·新高考Ⅰ卷）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（2023·新高考Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．求C的方程；
【例3】(焦點三角形、離心率)（2018·新課標Ⅱ卷）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3.1】（2020·全國Ⅲ卷）設雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．
若△PF1F2的面積為4，則a等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【例4】（曲線定義）（2021·新高考I卷）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【變式4.1】（2021·新高考I卷）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.求的方程；
【例5】（2022·全國乙卷）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸、軸，且過兩點．求的方程；
【例6】（2021·新高考II卷）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【例7】（2023·新高考Ⅱ卷多選）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
三、課堂小節
四、課后作業
1．（2023·新高考Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·新高考I卷多選）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
3.（2022·新高考II卷多選）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
4.（2021·新高考I卷）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.
5.（2021·新高考Ⅱ卷）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．求橢圓C的方程；圓錐曲線專題復習答案
【例1】【詳解】解：由題可知，離心率，即，
又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.
【變式1.1】【詳解】（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；
【例2】A【詳解】由，得，因此，而，所以.
【變式2.1】【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，雙曲線方程為.
【例3】解：在中，設，則，
又由橢圓定義可知，則離心率，故選D.
【例4】C 【詳解】由題，，則，
所以（當且僅當時，等號成立）．
【變式4.1】【詳解】(1) 因為，
所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
【例5】【詳解】（1）解：設橢圓E的方程為，過，
則，解得，， 所以橢圓E的方程為：.
【例6】【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去). 故選：B.
【例7】【答案】AC【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.
四、課后作業
1．【詳解】將直線與橢圓聯立，消去可得，
因為直線與橢圓相交于點，則，解得，
設到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或（舍去），故選：C.
2．BCD 【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯立，可得，解得，故B正確；
設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，設其方程為，，
聯立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因為，，
所以，而，故D正確.
3.【答案】ACD 【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
4.【詳解】拋物線： ()的焦點,
∵P為上一點，與軸垂直，
所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,
不妨設,
因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，
又，
因為，所以,
，
所以的準線方程為 故答案為：.
5.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；

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