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第七章　復(fù)　數(shù)
§7.1　復(fù)數(shù)的概念
7.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程.
2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.
3.掌握復(fù)數(shù)的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
問(wèn)題　我們知道，方程x2＋1＝0在實(shí)數(shù)集中無(wú)解，聯(lián)系從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程，你能給出一種方法，適當(dāng)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程有解嗎？
知識(shí)梳理　
1.定義：我們把形如__________的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做____________，滿(mǎn)足i2＝________.
2.表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的______，b叫做復(fù)數(shù)z的________.
3.復(fù)數(shù)集
(1)定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做____________.
(2)表示：通常用大寫(xiě)字母________表示，即C＝.
例1　以2＋i的實(shí)部為虛部，2i＋1的虛部為實(shí)部的復(fù)數(shù)為_(kāi)_______.
反思感悟　在復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)中，實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號(hào)叫做復(fù)數(shù)的虛部.
跟蹤訓(xùn)練1　若復(fù)數(shù)2－bi(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為(　　)
A.2 B. C.－ D.－2
二、復(fù)數(shù)的分類(lèi)
知識(shí)梳理　
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)分類(lèi)如下：
復(fù)數(shù)
2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
例2　當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(m2－2m－15)i是下列數(shù)？
(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)；(3)實(shí)數(shù).
延伸探究　若本例中條件不變，當(dāng)m為何值時(shí)，z>0.
反思感悟　復(fù)數(shù)分類(lèi)問(wèn)題的求解方法與步驟
(1)化標(biāo)準(zhǔn)式：解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.
(2)定條件：復(fù)數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿(mǎn)足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為a＋bi(a，b∈R)的形式，列出實(shí)部和虛部滿(mǎn)足的方程(不等式)即可.
(3)下結(jié)論：設(shè)所給復(fù)數(shù)為z＝a＋bi(a，b∈R)，則
①z為實(shí)數(shù) b＝0；
②z為虛數(shù) b≠0；
③z為純虛數(shù) a＝0且b≠0.
跟蹤訓(xùn)練2　若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
三、復(fù)數(shù)相等的充要條件
知識(shí)梳理　
設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di __________.特別地，a＋bi＝0 ________.
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實(shí)數(shù)x，y的值.
(2)若關(guān)于x的方程3x2－x－1＝(3＋2x－x2)i有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值.
反思感悟　復(fù)數(shù)相等問(wèn)題的解題技巧
(1)必須是復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.
(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題解決.
(3)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.
跟蹤訓(xùn)練3　復(fù)數(shù)z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________.
1.知識(shí)清單：
(1)數(shù)系的擴(kuò)充.
(2)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.
(3)復(fù)數(shù)的分類(lèi).
(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件.
2.方法歸納：方程思想.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
1.在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(1＋)i的實(shí)部與虛部分別是(　　)
A.1， B.1＋，0
C.0,1＋ D.0，(1＋)i
3.(多選)下列說(shuō)法中正確的為(　　)
A.兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等
B.1－ai(a∈R)是一個(gè)復(fù)數(shù)
C.i2的虛部為1
D.－1的平方根只有一個(gè)，即為－i
4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為_(kāi)_______.
7.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
問(wèn)題　為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題，我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1.
知識(shí)梳理
1.a＋bi(a，b∈R)　虛數(shù)單位　－1
2.實(shí)部　虛部
3.(1)復(fù)數(shù)集　(2)C
例1　2＋2i　跟蹤訓(xùn)練1　A
知識(shí)梳理
1.實(shí)數(shù)　虛數(shù)　a＝0
例2　解　(1)當(dāng)
即m≠5且m≠－3時(shí)，z是虛數(shù).
(2)當(dāng)
即m＝3或m＝－2時(shí)，z是純虛數(shù).
(3)當(dāng)即m＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù).
延伸探究　解　因?yàn)閦>0，
所以z為實(shí)數(shù)，需滿(mǎn)足
解得m＝5.
跟蹤訓(xùn)練2　B
知識(shí)梳理
a＝c且b＝d　a＝b＝0
例3　(1)解　由復(fù)數(shù)相等的充要條件，
得解得
(2)解　設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為x＝m，
則原方程可變?yōu)?br/>3m2－m－1＝(3＋2m－m2)i，
所以
解得或
所以a的值為－4或.
跟蹤訓(xùn)練3　5
隨堂演練
1.C　2.C　3.AB　4.1,1

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