資源簡(jiǎn)介

7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.掌握用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念.
3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法.
一、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系
問題1　有序?qū)崝?shù)對(duì)是與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)能與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)嗎？
知識(shí)梳理　
1.建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做________，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示____________.
2.復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)________，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.
例1　在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的圖象上，分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍.
反思感悟　利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的步驟
(1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來(lái)表示，是解決此類問題的依據(jù).
(2)列出方程(組)或不等式(組)：根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，建立方程(組)或不等式(組)，通過解方程(組)或不等式(組)求解.
跟蹤訓(xùn)練1　當(dāng)實(shí)數(shù)m分別取何值時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件？
(1)在x軸上方；
(2)在實(shí)軸負(fù)半軸上.
二、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系
問題2　能用平面向量表示復(fù)數(shù)嗎？
知識(shí)梳理　
如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量由點(diǎn)Z唯一確定；反過來(lái)，點(diǎn)Z也可以由向量唯一確定.
因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量建立了________________關(guān)系(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即z＝a＋bi平面向量.這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.
例2　在復(fù)平面內(nèi)的長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
反思感悟　復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系
(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.
(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)若O為復(fù)平面的原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則＋對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
(2)在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)1＋i對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________.
三、復(fù)數(shù)的模
知識(shí)梳理　
1.定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值.
2.記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作________________.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝________.
例3　(1)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.
(2)設(shè)z∈C，且滿足下列條件，求在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？
①|(zhì)z|<3；②|z|＝2.
反思感悟　復(fù)數(shù)模的計(jì)算
(1)計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用模長(zhǎng)公式計(jì)算.雖然兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.
(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的a＋bi(a，b∈R)的形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題求解.
跟蹤訓(xùn)練3　已知0A.(1，) B.(1，)
C.(1,3) D.(1,10)
四、共軛復(fù)數(shù)
知識(shí)梳理　
1.定義：一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部________，虛部________________時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做________________.
2.表示：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝________.
例4　(多選)下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.復(fù)數(shù)和其共軛復(fù)數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的
B.實(shí)數(shù)不存在共軛復(fù)數(shù)
C.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱
D.復(fù)數(shù)和其共軛復(fù)數(shù)的模相等
跟蹤訓(xùn)練4　復(fù)數(shù)z＝3－4i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1.知識(shí)清單：
(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
(2)復(fù)數(shù)的模及幾何意義.
(3)共軛復(fù)數(shù).
2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.
3.常見誤區(qū)：虛數(shù)不能比較大小，虛數(shù)的?？梢员容^大小.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(－1,2) B.(－2,1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)
3.在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，若點(diǎn)A關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　)
A.－2－i B.2＋i
C.1－2i D.－1＋2i
4.向量a＝(3,4)，設(shè)向量a對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z的共軛復(fù)數(shù)＝________，||＝________.
7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
問題1　復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)實(shí)質(zhì)上是有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)，復(fù)數(shù)可以與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).
知識(shí)梳理
1.虛軸　純虛數(shù)
2.Z(a，b)
例1　解　復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實(shí)部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10.
(1)由題意，得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或m＝4.
(2)由題意，得
∴2(3)由題意，
得m2－2m－8＝m2＋3m－10，
故m＝.
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)∵點(diǎn)Z在x軸上方，
∴m2－3m＋2>0，
解得m<1或m>2.
(2)若點(diǎn)Z在實(shí)軸負(fù)半軸上，
則解得m＝1.
問題2　在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，這樣就可以用平面向量來(lái)表示復(fù)數(shù).
知識(shí)梳理
一一對(duì)應(yīng)
例2　解　記O為復(fù)平面的原點(diǎn)，
由題意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3).
設(shè)＝(x，y)，則＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5).
由題意知，＝，
所以解得
故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－2i.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)C
(2)－1－i
解析　復(fù)數(shù)1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－1)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－i.
知識(shí)梳理
2.|z|或|a＋bi|
3.
例3　(1)解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
則|z|＝，
代入方程得
a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得
∴z＝－15＋8i.
(2)解　①由|z|<3得向量的模小于3，
所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓面，不包括邊界.
②由|z|＝2得向量的模等于2，
所以滿足|z|＝2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓.
跟蹤訓(xùn)練3　A　[0復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，
則|z|＝∈(1，).]
知識(shí)梳理
1.相等　互為相反數(shù)　共軛虛數(shù)
2.a－bi
例4　AD　跟蹤訓(xùn)練4　A
隨堂演練
1.C　2.B　3.C　4.3－4i　5

展開更多......

收起↑