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§7.2　復數的四則運算
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
[學習目標]　
1.熟練掌握復數的加、減運算法則.
2.理解復數加、減法的幾何意義，能夠利用“數形結合”的思想解題.
一、復數的加、減法運算
知識梳理　
1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則
(1)z1＋z2＝________________；
(2)z1－z2＝________________.
2.對任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝________；
(2)(z1＋z2)＋z3＝________.
例1　(1)復數(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝______.
(2)設m∈R，復數z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虛數，求m的取值范圍.
反思感悟　復數加、減運算的解題思路
兩個復數相加(減)，就是把兩個復數的實部相加(減)，虛部相加(減).復數的減法是加法的逆運算.當多個復數相加(減)時，可將這些復數的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).
跟蹤訓練1　復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應的點在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、復數加、減法的幾何意義
問題　我們知道，復數與復平面內以原點為起點的向量一一對應，平面向量的坐標運算法則是什么？向量加法的幾何意義是什么？
知識梳理　
如圖，設復數z1＝a＋bi，z2＝c＋di對應的向量分別為，，則＝(a，b)，＝(c，d)，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則向量＝(a＋c，b＋d)與復數________對應，向量＝(a－c，b－d)與復數________對應.
因此，復數的加法(減法)可以按照向量的加法(減法)來進行，這就是復數加法(減法)的幾何意義.
例2　如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應的復數分別為0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)對應的復數；
(2)對應的復數；
(3)對應的復數及||的長度.
反思感悟　復數與向量的對應關系的兩個關注點
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)與以原點為起點，Z(a，b)為終點的向量一一對應.
(2)一個向量可以平移，其對應的復數不變，但是其起點與終點所對應的復數發生改變.
跟蹤訓練2　
(1)已知復平面內的向量，對應的復數分別是－2＋i,3＋2i，則||＝________.
(2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，復數z2－z1所對應的點在第四象限內，則實數a的取值范圍是________.
三、復數模的綜合問題
例3　如果復數z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.
反思感悟　兩個復數差的模的幾何意義
(1)|z－z0|表示復數z，z0對應的點之間的距離，在應用時，要把絕對值號內變為兩復數差的形式.
(2)|z－z0|＝r表示以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓.
(3)涉及復數模的最值問題以及點的集合所表示的圖形問題，均可從兩點間距離公式的復數表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解.
跟蹤訓練3　△ABC的三個頂點所對應的復數分別為z1，z2，z3，復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點P是△ABC的(　　)
A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心
1.知識清單：
(1)復數代數形式的加、減運算法則.
(2)復數加、減法的幾何意義.
(3)復數模的綜合問題.
2.方法歸納：類比、數形結合.
3.常見誤區：忽略模的幾何意義.
1.計算(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A.－1＋i
B.1－i
C.i
D.－i
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，則復數z＝z2－z1對應的點位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為(　　)
A.
B.5
C.2
D.10
4.若復數z滿足|z|＝2，且z－4是純虛數，則復數z＝________________.
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
知識梳理
1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(2)(a－c)＋(b－d)i
2.(1)z2＋z1　(2)z1＋(z2＋z3)
例1　(1)8＋5i
解析　復數(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝(2－1＋7)＋(3＋1＋1)i＝8＋5i.
(2)解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虛數，
∴m2－2m－15≠0且m＋2≠0.
∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R.
即m的取值范圍為(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞).
跟蹤訓練1　A
問題　設＝(a，b)，＝(c，d)，則＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．幾何意義是以，為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2的對角線．
知識梳理
z1＋z2　z1－z2
例2　解　(1)因為＝－，
所以對應的復數為－3－2i.
(2)因為＝－，
所以對應的復數為
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因為＝＋，
所以對應的復數為
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以||＝＝.
跟蹤訓練2　(1)
(2)(－∞，2)
解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由題意知a－2<0，即a<2.
例3　A　[設復數z，－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z，Z1，Z2，Z3，
因為|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.
所以點Z在線段Z1Z2上移動，
|ZZ3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.]
跟蹤訓練3　A　[由復數模及復數減法運算的幾何意義，結合條件可知復數z對應的點P到△ABC的頂點A，B，C的距離相等，∴點P是△ABC的外心.]
隨堂演練
1.A　2.C　3.B　4.4＋2i或4－2i

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