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7.2.2　復數的乘、除運算
[學習目標]　
1.掌握復數的乘法和除法運算.
2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.
3.掌握在復數范圍內解方程的方法.
一、復數乘法的運算法則和運算律
問題1　類比多項式的乘法，我們該如何定義兩復數的乘法呢？
問題2　類比實數的乘法運算律，你認為復數的乘法滿足哪些運算律？請證明你的猜想.
知識梳理　
1.復數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝______________.
2.復數乘法的運算律
對于任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝________
結合律 (z1z2)z3＝________
乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
例1　計算下列各題.
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
反思感悟　(1)兩個復數代數形式的乘法運算的一般步驟
①首先按多項式的乘法展開；
②再將i2換成－1；
③然后再進行復數的加、減運算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
跟蹤訓練1　(1)計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　)
A.2i－13
B.13＋2i
C.13－2i
D.－13－2i
(2)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，1)
B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞)
D.(－1，＋∞)
二、復數除法的運算法則
問題3　類比實數的除法運算是乘法運算的逆運算，你認為該如何定義復數的除法運算？
知識梳理　
復數除法的法則是：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋____________(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).
例2　(1)若復數z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數單位)，則z為(　　)
A.3＋5i
B.3－5i
C.－3＋5i
D.－3－5i
(2)計算：＝________.
反思感悟　復數的除法運算法則的應用
復數的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算.
跟蹤訓練2　設復數z滿足＝i2 025，則|z|等于(　　)
A.1 B. C. D.2
三、在復數范圍內解方程
例3　在復數范圍內解方程x2＋6x＋10＝0.
反思感悟　在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①當Δ≥0時，x＝；
②當Δ<0時，x＝(此時，兩根互為共軛復數).
(2)利用復數相等的定義求解
設方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復數相等的定義求解.
跟蹤訓練3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實數)的一個根.
(1)求b，c的值；
(2)試判斷1－i是不是方程的根.
1.知識清單：
(1)復數的乘法運算及運算律.
(2)復數的除法運算.
(3)在復數范圍內解方程.
2.方法歸納：分母實數化、配方法、求根公式法.
3.常見誤區：分母實數化時忽視i2＝－1造成運算錯誤.
1.若a，b∈R，i為虛數單位，且(a＋i)i＝b＋i，則(　　)
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1
D.a＝1，b＝－1
2.在復平面內，復數＋(1＋i)2對應的點位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.方程x2＋3＝0在復數范圍內的解為x＝________.
4.如圖，在復平面內，向量與復數z對應，則＝________.
7.2.2　復數的乘、除運算
問題1　復數的乘法法則如下：
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
問題2　猜想：
對于任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交換律：z1z2＝z2z1；
(2)結合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
證明：
設z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，
z3＝a3＋b3i.
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)
＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2) (3)略.
知識梳理
1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.z2z1　z1(z2z3)　z1z2＋z1z3
例1　解　(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2
＝1－i2＋4＋4i＋i2
＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
跟蹤訓練1　(1)D　(2)B
問題3　設復數a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商為x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi.
∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，
∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.
由復數相等，可知
解這個方程組，得
于是有(a＋bi)÷(c＋di)
＝＋i.
知識梳理
i
例2　(1)A　(2)－2＋i
跟蹤訓練2　A
例3　解　方法一　因為x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因為i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因為Δ＝62－4×1×10
＝－4<0，
所以方程的根為
x＝＝－3±i.
跟蹤訓練3　解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c為實數，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程，左邊＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，
即方程成立.
∴1－i是方程的根.
隨堂演練
1.D　2.B　3.±i　4.1－2i

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