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第七章　復(fù)數(shù)
一、復(fù)數(shù)的概念
1.復(fù)數(shù)的概念是掌握復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模等.有關(guān)復(fù)數(shù)的題目不同于實(shí)數(shù)，應(yīng)注意根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念解答.
2.掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
例1　已知z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，試求實(shí)數(shù)m的取值，使(1)z是純虛數(shù)；(2)z是實(shí)數(shù)；(3)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.
反思感悟　處理復(fù)數(shù)概念問題的兩個注意點(diǎn)
(1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是a＋bi(a，b∈R)的形式時，要通過變形化為a＋bi的形式，以便確定其實(shí)部和虛部.
(2)求解時，要注意實(shí)部和虛部本身對變量的要求，否則容易產(chǎn)生增根.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋2的虛部為(　　)
A.0
B.－1
C.1
D.－2
(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若z1－z2＝0，則m的值為(　　)
A.4
B.－1
C.6
D.－1或6
二、復(fù)數(shù)的幾何意義
1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合是高考常見的考試題型，解答此類問題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)運(yùn)算將復(fù)數(shù)化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題.
2.通過復(fù)數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).
例2　(1)已知復(fù)數(shù)z1＝＋i，z2＝－＋i，則z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知復(fù)數(shù)z1＝2＋3i，z2＝a＋bi(a，b∈R)，z3＝1－4i，它們在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若O為原點(diǎn)，且＝2＋，則a＝________，b＝________.
反思感悟　在復(fù)平面內(nèi)確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的步驟
(1)由復(fù)數(shù)確定有序?qū)崝?shù)對，即由z＝a＋bi(a，b∈R)確定有序?qū)崝?shù)對(a，b).
(2)由有序?qū)崝?shù)對(a，b)確定復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b).
跟蹤訓(xùn)練2　復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆時針順序作 ABCD，求||.
三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)運(yùn)算是本章的重要內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，每年高考都有考查，一般以復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算為主.
2.借助復(fù)數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
例3　設(shè)z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
反思感悟　進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的策略
(1)復(fù)數(shù)的運(yùn)算的基本思路就是應(yīng)用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.
(2)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)復(fù)數(shù)z滿足z(＋1)＝1＋i，其中i是虛數(shù)單位，則z等于(　　)
A.1＋i或－2＋i
B.i或1＋i
C.i或－1＋i
D.－1－i或－2＋i
(2)已知z＝－，則z100＋z50＋1的值為(　　)
A.i
B.－i
C.1＋i
D.1－i
章末復(fù)習(xí)課
例1　解　(1)
由得m＝3.
∴當(dāng)m＝3時，z是純虛數(shù).
(2)由
得m＝－1或m＝－2.
∴當(dāng)m＝－1或m＝－2時，z是實(shí)數(shù).
(3)由
得－1∴當(dāng)－1跟蹤訓(xùn)練1　(1)A　(2)B
例2　(1)D　(2)－3?。?0
跟蹤訓(xùn)練2　解　如圖，設(shè)D(x，y)，F(xiàn)為 ABCD的對角線的交點(diǎn)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
所以即
所以點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝3＋3i，
因?yàn)椋剑?br/>所以表示的復(fù)數(shù)為
3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
例3　解　因?yàn)閦1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝＝23＋2i，
＝＝
＝＝－i.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)C
(2)B　[因?yàn)?1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，
所以z100＋z50＋1＝100＋50＋1＝100(1－i)100＋50·(1－i)50＋1
＝(－2i)50＋(－2i)25＋1
＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i.]

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