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培優(yōu)課　與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題
與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題是立體幾何的一個重點(切、接問題的解題思路類似，此處以多面體的外接球為例)．研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系．
一、球與長(正)方體的簡單切、接問題
知識梳理　
1．正方體的內(nèi)切球
球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，若正方體的棱長為a，此時球的半徑為r1＝________，過在一個平面上的四個切點作截面，如圖1.
2．球與正方體的各條棱相切
球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，若正方體的棱長為a，此時球的半徑為r2＝________，過球心作正方體的對角面，如圖2.
3．長方體的外接球
長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑．若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，此時球的半徑為r3＝________________，過球心作長方體的對角面，如圖3.
4．正方體的外接球
正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為________．
例1　長方體的共頂點的三個側(cè)面的對角線長分別為，，，則它的外接球的表面積為________．
反思感悟　球與長(正)方體的切、接問題的關(guān)鍵是根據(jù)“接點”和“切點”作出適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢⒖臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
跟蹤訓(xùn)練1　已知正方體的內(nèi)切球的體積是π，則正方體的棱長為(　　)
A．2 B. C. D.
二、直接法
例2　一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為________．
反思感悟　本題運(yùn)用公式R2＝r2＋d2，求球的半徑，該公式是求球的半徑的常用公式．
跟蹤訓(xùn)練2　已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球O，球O的表面積為8π，則該圓柱的體積為(　　)
A. B.π C．2π D．2π
三、構(gòu)造法
例3　三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且側(cè)棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為________．
反思感悟　一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a，b，c，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑．設(shè)其外接球的半徑為R，則有2R＝.
跟蹤訓(xùn)練3　若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，，，則其外接球的表面積是________．
四、尋求軸截面圓半徑法
例4　若正四棱錐S－ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，則此球的體積為________．
反思感悟　根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑．這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究．這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí)．
跟蹤訓(xùn)練4　在半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，試求這個半球的體積與正方體的體積之比．
五、確定球心位置法
例5　已知三棱錐A－BCD的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐外接球的體積為________．
反思感悟　找?guī)缀误w的外接球球心，即找點O，使點O與幾何體各頂點的距離相等．正棱錐的外接球球心在垂線上，直棱柱的外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點．
跟蹤訓(xùn)練5　如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為________．
培優(yōu)課　與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題
知識梳理　
1.　
2.a　
3.　
4.2R＝a　
例1　　跟蹤訓(xùn)練1　A
例2　
解析　設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，
則有解得
∴正六棱柱的底面外接圓的半徑
r＝，
球心到底面的距離d＝.
∴外接球的半徑R＝＝1.∴V球＝.
跟蹤訓(xùn)練2　C　[
由球O的表面積S＝4πR2＝8π，得R＝，設(shè)圓柱的底面半徑為r，
則其高h(yuǎn)＝2r.由R2＝r2＋2＝2r2解得r＝1.
故圓柱的體積V＝πr2·2r＝2π.]
例3　4π
解析　因為AB⊥BC，BC⊥CD，
構(gòu)造如圖所示的長方體，
則AD為三棱錐A－BCD的外接球的直徑.設(shè)外接球的半徑為R.
∵VA－BCD＝××BC×CD×AB
＝×2×CD×2＝，
∴CD＝2，∴該長方體為正方體，
∴AD＝2，∴R＝，
∴三棱錐A－BCD外接球的體積為V＝πR3＝4π.
跟蹤訓(xùn)練3　6π
解析　根據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，
∴把這個三棱錐可以補(bǔ)成一個同一頂點處三條棱長分別為1，，的長方體，于是長方體的外接球就是該三棱錐的外接球.
設(shè)其外接球的半徑為R，
則有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6.
∴R2＝.
故其外接球的表面積S＝4πR2＝6π.
例4　
解析　如圖，設(shè)正四棱錐的底面中心為O1，
∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心為O，
∴△ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.
在△ASC中，
由SA＝SC＝，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2.
∴△ASC是以AC為斜邊的直角三角形.
∴＝1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.
故V球＝.
跟蹤訓(xùn)練4　解　作正方體對角面的截面，如圖所示，
設(shè)半球的半徑為R，正方體的棱長為a，
那么CC′＝a，OC＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋2＝R2，∴R＝a.
從而V半球＝πR3＝π3
＝πa3，
V正方體＝a3.
因此V半球∶V正方體＝πa3∶a3
＝π∶2.
例5　
解析　如圖所示，該三棱錐為正三棱錐，O為底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在線段AO上，O′為外接球球心，令O′A＝O′D＝R，
OD＝DE＝×2×＝2，
AD＝2，
∴AO＝＝4，
∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2，
∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝，
∴V球＝πR3＝.
跟蹤訓(xùn)練5　16π
解析　取PC的中點O(圖略)，
∵△PAC為直角三角形且∠PAC＝90°，
∴OA＝PC，同理OB＝PC，
即OA＝OB＝OP＝OC，即點O到點P，A，B，C四點的距離相等，
∴點O為外接球的球心，
PC＝＝4，
∴R＝PC＝2，
∴S球＝4πR2＝16π.

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