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§8.3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
[學習目標]　
1.了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式.
2.理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積．
一、棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積
問題1　我們知道，空間幾何體的表面積是圍成多面體的各個面的面積之和，長方體、三棱錐、四棱臺的側面展開圖各是什么樣子的？
知識梳理　
多面體的表面積就是圍成多面體____________的面積的________．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和．
例1　已知正三棱臺(由正三棱錐截得的三棱臺)的上、下底面邊長分別為3 cm和6 cm，高為 cm，求此正三棱臺的表面積．
反思感悟　求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、側面底邊上的高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用
(1)高、側棱、上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面邊心距所成的直角梯形．
跟蹤訓練1　已知棱長均為5，底面為正方形的四棱錐S－ABCD如圖所示，求它的側面積、表面積．
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積
問題2　正方體、長方體的體積公式是什么？
知識梳理　
幾何體 體積 說明
棱柱 V棱柱＝Sh S為棱柱的_______，h為棱柱的________
棱錐 V棱錐＝Sh S為棱錐的_______，h為棱錐的________
棱臺 V棱臺＝h(S′＋＋S) S′，S分別為棱臺的_________________，h為棱臺的________
例2　正四棱臺兩底面邊長分別為20 cm和10 cm，側面面積為780 cm2.求其體積．
跟蹤訓練2　如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F為CC1上一點，則三棱錐A1－D1EF的體積為________．
三、簡單組合體的表面積與體積
例3　現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？
反思感悟　求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．
跟蹤訓練3　如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱錐A1－ABD，求剩余的幾何體A1B1C1D1－DBC的表面積和體積．
1．知識清單：
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．
(2)棱柱、棱錐、棱臺的體積．
(3)組合體的表面積與體積．
(4)棱柱、棱錐、棱臺體積公式之間的關系．
2．方法歸納：等體積法、割補法．
3．常見誤區：平面圖形與立體圖形的切換不清楚．
1．一個長方體的三個面的面積分別為，，，則這個長方體的體積為(　　)
A．6 B. C．3 D．2
2.已知高為3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐B1－ABC的體積為(　　)
A. B.
C. D.
3．已知正四棱錐，其底面邊長為8，側棱長為，則正四棱錐的側面積為(　　)
A．48 B．64 C．80 D．120
4．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側棱長為2，則其體積為________．
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
問題1　長方體、三棱錐、四棱臺的側面展開圖如圖所示.
知識梳理
各個面　和
例1　解　如圖所示，畫出正三棱臺ABC－A1B1C1，其中O1，O為正三棱臺上、下底面的中心，D，D1分別為BC，B1C1的中點，則OO1為正三棱臺的高，DD1為側面梯形BCC1B1的高，四邊形ODD1O1為直角梯形，所以DD1＝＝＝，所以此三棱臺的表面積S表＝S側＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm2).
跟蹤訓練1　解　∵四棱錐S－ABCD的各棱長均為5，
∴各側面都是全等的正三角形.
設E為AB的中點，連接SE(圖略)，則SE⊥AB，
∴S側＝4S△SAB＝4×AB·SE＝2×5× ＝25，S表＝S側＋S底＝25＋25
＝25(＋1).
問題2　V正方體＝a3(a是正方體的棱長)，V長方體＝abc(a，b，c分別是長方體的長、寬、高).
知識梳理
底面積　高　底面積　高　上、下底面面積　高
例2　解　正四棱臺的大致圖形如圖所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中點E1，AB的中點E，則E1E為側面底邊上的高.
設O1，O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1為直角梯形.
∵S側＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1B1＝5(cm)，
OE＝AB＝10(cm)，
∴O1O＝＝12(cm).
故該正四棱臺的體積為
V＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2 800(cm3).
跟蹤訓練2　a3
解析　
∵＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a，
∴＝×a2·a＝a3，
∴＝a3.
例3　解　由PO1＝2(m)，
知O1O＝4PO1＝8(m).
因為A1B1＝AB＝6(m)，
所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)，
故倉庫的容積是312 m3.
跟蹤訓練3　解　由圖可知△A1BD是邊長為a的等邊三角形，其面積為a2，
故所求幾何體A1B1C1D1－DBC的表面積S＝＝a2＋3×a2＋3a2＝a2.
幾何體A1B1C1D1－DBC的體積V＝
＝a3－××a×a×a＝a3.
隨堂演練
1.B　2.D　3.C　4.

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